6.3正弦型函数的图像和性质（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.3正弦型函数的图像和性质 1 学习目标 1.理解正弦型函数中参数的几何意义，掌握由正弦函数的图像通过平移、伸缩变换得到正弦型函数图像的方法。 2.能根据正弦型函数的解析式，用“五点法”画出其简图，并能结合图像说出函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调性等性质。 3.能够运用正弦型函数的图像和性质解决简单的实际问题。 4.通过观察、比较、归纳等数学活动，经历正弦型函数图像的变换过程，体会数形结合的思想方法。 5.通过学习正弦型函数在实际生活中的应用，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 在物理学、电工和工程技术中, 经常会遇到形如 y=Asin(ωx+φ) (其中 A, ω, φ都是常数)的函数, 它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数 y=sinx 等三角知识有着密切的联系． 下面来研究这类函数的作图方法和性质． 情境导入 筒车是我国古代发明的一种依靠水流动力灌溉的工具．据史料记载, 筒车发明于隋而盛与唐, 距今已有1000多年的历史, 因其材料成本低廉、结构简单、效率高且持续性强, 一些地区沿用至今．这种自动提水灌溉的古老筒车, 安装在郁郁葱葱的山涧、溪流间, 构成了一幅幅美丽的田园风景画．当筒车翻转喷溅水珠时, 既灌溉了农田, 又是一道靓丽的风景． 情境导入 假设匀速转动的筒车半径为R, 转动的角速度为ω．以筒车的中心为坐标原点建立坐标系, 如图所示． 若点P表示盛水筒在 t 时的位置, 点P0表示盛水筒的初始位置, 已知∠MOP0=φ, 问点P的纵坐标 y 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 由正弦函数数的定义, 得 =Rsin(ωt+φ) , 所以点 P的纵坐标 y 与时间t的函数关系为 y=Rsin(ωt+φ) ． 情境导入 形如y=Asin(ωx+φ)  (其中 A, ω, φ都是常数)的函数称为正弦型函数． 在物理学中, 正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等． A称为振幅, ωx+φ称为相位, φ称为初相, T= 称为周期 , f = = 称为频率． 探索新知 当A=1, ω=1, φ=0时, 函数y=Asin(ωx+φ)就是 y=sinx． 因此,  正弦函数是正弦型函数的特殊情况． 类比作正弦函数 y=sinx图像的方法, 可作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像, 从而研究它的性质． 探索新知 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （1）y=sinx; 解（1）列表 描点作图, 得到函数y=sinx, x∈[0, 2π]的简图． 典型例题 解 （2）因为T== π, 所以函数y=sin2x的周期为π． 令2x=0, , π, , 2 π, 并列表． 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （2） y=sin2x ; 典型例题 解 描点作图, 得到函数y=sin2x, x∈[0, π]的简图． 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （2） y=sin2x ; 典型例题 一般地, 对于函数f(x), 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内任一个 值 时, 都有f(x+T)= f(x), 则非零常数T为这个函数的一个周期． 读一读 解 （3）因为T== π, 所以函数y=sin (2x+ )的周期为π． 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （3） y=sin(2x+ ) ; 典型例题 令2x+ = 0, , π, , 2 π, 并列表． 解 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （3） y=sin(2x+ ) ; （3）描点，作函数y=sin (2x+ )在[-, ]上的简图． 典型例题 解 （4）因为T== π, 所以函数y=2sin (2x+ )的周期为π． 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （4） y=2sin(2x+ ) ． 典型例题 令2x+ = 0, , π, , 2 π, 并列表． 解 描点作图, 得到函数y=2sin(2x+ ), x∈ [-, ]的简图． 例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （4） y=2sin(2x+ ) ． （4） 典型例题 试一试：说明函数 y=3sin(x- )的图像是由函数y=sinx的图像如何变换得到的？ 方法总结 正弦函数图像变换为正弦型函数图像要点： 方法总结 想一想：如何用五点法做函数y=Asin(ωx+φ) 的图像？ 1.确定函数基本参数 振幅(A)影响纵向伸缩，角频率ω决定周期，初相φ影响左右平移。 2.计算周期与关键区间 根据ω计算周期(T)，设ωx+φ∈[0,2π]，解不等式得x的区间，此为一个周期范围。 3.确定五个关键点的相位值 选取正弦函数y=sint（t=ωx+φ）在周期[0,2π]内的五个特殊点，t值为0、、π、、2π。 4.计算五个关键点的坐标 由t=ωx+φ得x，代入y=Asint得y值，得到五个关键点坐标。 5.描点连线绘制函数图像 在坐标系中描出五个关键点，用平滑曲线连接得函数y=Asin(ωx+φ)一个周期的图像，如需多周期可平移扩展。 方法总结 y=sinx y=sin2x; y=sin2x y=sin(2x+ ); y=sin(2x+ ) y=2sin(2x+ )． 探索新知 将例1中作出的四条曲线画在同一个平面直角坐标系中, 如图所示． 可以看出, 横坐标变为原来的 (纵坐标不变), 沿x轴向左平移个单位, 纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变) , 方法一：先伸缩，后平移 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 图像向左或向右 平移 个单位 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 正弦函数图像变换为正弦型函数图像： 探索新知 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 横坐标变为原来的 倍 方法二：先平移，后伸缩 纵坐标不变 图像向左或向右 平移 个单位 探索新知 绘制正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像： （1）五点法； （2）由函数y=sinx的图像经过平移、伸缩得到． 利用正弦函数的性质及正弦型函数的图像, 可以得到 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0, ω>0) 定义域：实数集R ． 值域：[-A, A]． 周期：T= ． 探索新知 解 因为y=sin2x+cos2x=2(sin2x+ cos2x) =2(sin2xcos+cos2x sin) =2sin(2x+) 例2 求函数y= sin2x+cos2x的周期、最大值和最小值, 并指出当x取何值时, 函数取得最大值和最小值． 所以函数的周期为T= =π． 当2x+=2kπ+, 即x=kπ+, ymax=2; 当2x+=2kπ-, 即x=kπ-, ymin=-2; 典型例题 解 由函数图像可知, A= , = -= , 所以, 周期T=π． 例3 如图所示为函数y=Asin(ωx+φ) 在一个周期的图像, 其中 A>0, ω>0, | φ |< , x∈R, 求该函数的解析式． 因为| φ |< , 所以 = , 因此解析式为 由T=可得, ω= =2．所以, 函数 y= sin(2x+φ) ． 因为函数图像经过点 , 所以 = sin 得 = +2kπ, k∈Z,即φ= +2kπ, k∈Z． 典型例题 1.要得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 练习巩固 B 解析：左加右减 2.要得到y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 解析：y＝cos 2x→y＝cos 2＝cos(2x＋1)，故选C. 练习巩固 C 3.为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 解析：因为y＝cos＝sin＝sin. 由题意知，要得到y＝sin的图象只需将y＝sin 2x的图象向左平移 个单位长度． 练习巩固 A 4.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向右平移 个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 解析：y＝sin＝cos ＝cos＝cos ＝cos.故选B. 练习巩固 B 5.函数y＝sin的图象如何由y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到？ 解：方法一　 (1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象； (2)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到y＝sin的图象； (3)将y＝sin的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，得到y＝sin的图象． 练习巩固 解：方法二　 (1)将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，而纵坐标不变，得到 y＝ sin 2x的图象； (2)将y＝sin 2x的图象向左平移 个单位长度，得到y＝sin的图象； (3)将y＝sin的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的 ，而横坐标不变，得到 y＝ sin的图象． 练习巩固 5.函数y＝sin的图象如何由y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到？ 归纳汇总 作业布置 1.完成6.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ Lavf52.84.0 函数的图像由函数的图像通过三步变换得到： 第一步：相位变换（左右平移） 将函数的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数的图像。 第二步：周期变换（横向伸缩） 将函数的图像横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像。 第三步：振幅变换（纵向伸缩） 将函数的图像纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到函数的图像。 关键说明 · 变换顺序：相位变换需在周期变换之前进行，标准顺序为“平移→伸缩→振幅”。 · 平移量计算：平移量公式为（向右平移时）， · 此处，，平移量为。 $