6.3正弦型函数的图像和性质（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章 三角计算 6.3正弦型函数的图像和性质 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是在学生已经学习了正弦函数的图像和性质的基础上，对正弦函数进行变换和拓展，引入参数A、ω、φ对函数图像的影响。教材通过具体实例引导学生观察图像变换过程，总结出A（振幅）、ω（角频率）、φ（初相）的几何意义，并在此基础上归纳正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质。本节内容既是对正弦函数知识的深化和延伸，也为后续学习物理中的简谐运动、交流电等知识奠定数学基础，同时有助于培养学生的数形结合思想、转化与化归能力以及观察归纳能力。 五、学情分析 从知识基础来看，学生已经学习了任意角的三角函数、正弦函数的图像和性质，对“五点法”作图有一定的掌握，这为本节课的学习提供了必要的知识储备。但中职学生普遍数学基础相对薄弱，抽象思维能力和空间想象能力有待提高，对参数A、ω、φ同时作用于函数图像的变换规律容易混淆，理解和记忆存在一定困难。此外，学生在学习过程中可能更关注知识的结论，而忽略对概念形成过程的探究。因此，在教学中需要通过直观的图像演示、分步引导和适量的练习，帮助学生突破难点，激发学习兴趣，提升学习主动性。六、教学目标 1.理解正弦型函数中参数的几何意义，掌握由正弦函数的图像通过平移、伸缩变换得到正弦型函数图像的方法。 2.能根据正弦型函数的解析式，用“五点法”画出其简图，并能结合图像说出函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调性等性质。 3.能够运用正弦型函数的图像和性质解决简单的实际问题。 4.通过观察、比较、归纳等数学活动，经历正弦型函数图像的变换过程，体会数形结合的思想方法。 5.通过学习正弦型函数在实际生活中的应用，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 七、教学重点 1.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中参数A、ω、φ的几何意义。 2.正弦型函数图像的变换规律。 3.正弦型函数的周期性、最值（值域）及单调性。 八、教学难点 1.理解参数ω、φ对函数图像平移变换的影响（尤其是φ与ω共同作用时的平移量）。 2.综合运用参数A、ω、φ的变换规律画出正弦型函数的图像。 3.利用正弦型函数的性质解决实际问题。 9、 教学方法 情境教学法：通过创设与生活相关的问题情境，激发学生的学习兴趣和求知欲。 探究式教学法：引导学生通过自主观察、小组讨论、合作探究等方式，主动发现参数对函数图像的影响规律。 多媒体辅助教学法：运用几何画板、PPT等多媒体工具，动态演示函数图像的变换过程，使抽象的知识直观化、形象化，帮助学生突破难点。 讲练结合法：通过教师的讲解点拨和学生的练习巩固，加深对知识的理解和应用，提高课堂教学效率。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引言 在物理学、电工和工程技术中,经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数)的函数,它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数y=sinx等三角知识有着密切的联系．下面研究这类函数的作图方法和性质． 引出课题 情境导入 筒车是我国古代发明的一种依靠水流动力灌溉的工具．据史料记载,筒车发明于隋而盛与唐,距今已有1000多年的历史,因其材料成本低廉、结构简单、效率高且持续性强,一些地区沿用至今．这种自动提水灌溉的古老筒车,安装在郁郁葱葱的山涧、溪流间,构成了一幅幅美丽的田园风景画．当筒车翻转喷溅水珠时,既灌溉了农田,又是一道靓丽的风景． 假设匀速转动的筒车半径为R,转动的角速度为ω.以筒车的中心为坐标原点建立坐标系,如图所示．若点P表示盛水筒在t时的位置,点P0表示盛水筒的初始位置,已知∠MOP0=φ,问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？ 以生活中实例作为引例体现数学应用 探索新知 由正弦函数数的定义,得 所以,点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=Rsin(ωt+φ)． 形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数)的函数称为正弦型函数．在物理学中,正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等．习惯上,A称为振幅,ωx+φ称为相位,φ称为初相,T称为周期,f称为频率． 当A=1,ω=1,φ=0时,函数y=Asin(ωx+φ)就是y=sinx因此,正弦函数是正弦型函数的特殊情况．类比作正弦函数y=sinx图像的方法,可作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像,从而研究它的性质． 已有的物理知识联系起来体现学以致用 典型例题 例1用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． （1）y=sinx;（2）y=sin2x; 解（1）列表 描点作图,得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的简图． （2）因为T所以函数y=sin2x的周期为π.我们作函数y=sin2x在[0,π]上的简图． 令2x=0,,π,,并列表． 描点作图,得到函数y=sin2x,x∈[0,π]的简图． 读一读 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内任一个值时,都有f(x+T)=f(x),则非零常数T为这个函数的一个周期． （3）因为T所以函数y=sin的周期是π.我们作函数y=sin在上的简图． 令2x,π,,2π,并列表． 描点作图,得到函数y=sin的简图． 想一想 如何用五点法做函数y=Asin(ωx+φ)的图像？ （4）因为T所以函数y=2sin的周期是π.我们作函数y=2sin在上的简图． 列表. 描点作图,得到函数y=2sinx的简图． 试一试 仿照例1,说明函数y=3sin的图像是由函数y=sinx的图像如何变换得到的？ 将例1中作出的四条曲线画在同一个平面直角坐标系中,如图所示．可以看出,把函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),就得到函数y=sin2x的图像;把函数y=sin2x的图像沿x轴向左平移个单位,就得到函数y=sin的图像;把函数y=sin图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),就得到函数y=2sin的图像． 通过简单到复杂,从特殊到一般,从具体到抽象的探究过程,来研究正弦型函数的图像与正弦曲线之间的关系引导学生观察、比较和归纳,让学生理解函数这组函数的关系,帮助学生理解A,ω,φ的意义以及它们对函数图像的影响．归纳得到出由正弦函数图像得到正弦型函数图像的步骤这一过程体现了由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想,实现感性到理性的升华 综合比较,体验函数与图像与参数的关系 探索新知 一般地,将函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),就得到函数y=sinωx的图像;将函数y=sinωx的图像沿x轴向左(φ>0)或者向右(φ<0)平移个单位,就得到函数y=sin(ωx+φ)的图像;将y=sin(ωx+φ)图像上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变),就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像,这里A>0,ω>0． 因此,正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像可用五点法作出,也可由函数y=sinx的图像经过平移、伸缩得到．利用正弦函数的性质及正弦型函数的图像,可以得到关于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的一些结论． 定义域：实数集R． 值域：[-A,A]． 周期：T． 根据实例适时总结,从图像体现的现象抽象出数学本质 提示学生换一种方式看待这个问题 典型例题 例2求函数y=sin2x+cos2x的周期、最大值和最小值,并指出当x取何值时,函数取得最大值和最小值． 解因为y=sin2x+cos2x 所以函数的周期为T 当2x,即x=k时,函数y=2sin取得最大值,最大值为2; 当2x,即x=k时,函数y=2sin取得最小值,最小值为-2． 例3如图所示为函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期的图像,其中A>0,ω>0,|φ|<,x∈R,求该函数的解析式． 解由函数图像可知A所以,周期T=π. 由T可得,所以,函数y=sin 因为函数y=Asin(ωx+φ)的图像过点,所以sin得kπ,k∈Z．即kπ,k∈Z．因为,所以． 因此,该函数的解析式为 求正弦型函数的最大值、最小值、周期和单调区间是本节的又一教学要求 巩固练习 1-4.选择 考察图像的变换； 5.论述题 说明图像的变换过程. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.3正弦型函数的图像和性质 y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数) 正弦型函数 A称为振幅 ωx+φ称为相位 φ称为初相 T称为周期 f称为频率 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课通过创设生活情境激发了学生的学习兴趣，利用多媒体动态演示和学生动手画图相结合的方式，使学生直观地理解了参数A、ω、φ对函数图像的影响，突破了教学难点。例题和练习的设计由浅入深，注重基础和应用，有助于学生巩固知识。小组合作探究环节培养了学生的合作意识和探究能力。 不足之处：在讲解参数φ与ω共同作用下的平移变换时，部分学生可能仍然理解不够透彻，需要在后续的练习中进一步强化。课堂练习的时间略显紧张，部分学生可能来不及完成所有练习，需要在课后通过作业进行弥补。对于学生的个体差异关注不够，分层教学的体现有待加强。 改进措施：在今后的教学中，可以设计更多有层次性的问题和练习，满足不同水平学生的需求。利用微课等形式，将复杂的图像变换过程提前发给学生预习或课后复习，帮助学生更好地理解。增加课堂互动环节，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。加强对学生数学思想方法的渗透，培养学生的数学核心素养。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $