7.2.1等差数列的概念（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第七章数列 7.2.1等差数列的概念 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 节是在学生学习了数列的基本概念（数列的定义、通项公式、递推公式等）之后，对一种特殊且重要的数列——等差数列的系统学习。教材通过具体实例（如存款利息、堆放的钢管数等）引入等差数列的概念，引导学生观察数列中相邻两项之间的关系，从而抽象出等差数列的定义，并进一步推导等差数列的通项公式。等差数列是日常生活中常见的数学模型，其概念和通项公式的学习，不仅能深化学生对数列本质的理解，为后续学习等差数列的前n项和、等比数列等内容奠定坚实基础，也能培养学生的观察、分析、归纳、抽象概括能力和运用数学知识解决实际问题的能力。同时，本节内容体现了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法，对提升学生的数学素养具有重要意义。 五、学情分析 从认知基础来看，学生在高一阶段已经学习了数列的基本概念，初步了解了数列的表示方法和简单性质，对用数学符号表示数量关系有了一定的基础。同时，学生在初中阶段已经掌握了一次函数的相关知识，这为理解等差数列通项公式的函数特征（一次函数或常数函数）提供了帮助。从思维特点来看，中职学生形象思维能力较强，但抽象逻辑思维能力相对薄弱，在数学概念的理解和数学符号的运用上可能存在一定困难。他们对具体、直观的实例比较感兴趣，但对于纯粹的理论推导和抽象概括容易感到枯燥。此外，经过一年多的中职学习，学生已经具备了一定的自主探究和合作交流能力，但学习主动性和毅力方面可能存在差异，部分学生基础较为薄弱，需要教师在教学过程中给予更多的引导和关注。因此，教学中应多从学生熟悉的生活实例出发，通过问题引导和小组活动，降低概念理解的难度，激发学生的学习兴趣。 六、教学目标 1.理解等差数列的定义，能准确判断一个数列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式，能根据首项和公差求出通项公式，反之，能根据通项公式求出数列的首项和公差； 3.能运用等差数列的通项公式解决简单的实际问题。 4.通过对具体实例的观察、分析、比较和归纳，经历等差数列概念的形成过程，培养观察能力和抽象概括能力； 5.感受等差数列在现实生活中的广泛应用，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 七、教学重点 1.等差数列的定义； 2.等差数列的通项公式及其应用。 八、教学难点 1.等差数列定义中“从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数”这一关键语句的理解； 2.等差数列通项公式的推导过程； 3.灵活运用等差数列的通项公式解决综合性问题。 十一、教学方法 情境教学法：创设与生活相关的问题情境，激发学生的学习兴趣和求知欲。 引导发现法：通过设计一系列问题，引导学生自主观察、分析、归纳，主动发现等差数列的定义和通项公式。 讲练结合法：教师进行必要的讲解和示范，学生通过练习巩固所学知识，加深理解。 小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作探究，促进学生之间的交流与互助，共同解决问题。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 等差数列是一种有特殊规律的数列,其通项公式的前n项和公式的推导蕴含着重要的数学思想方法． 引出学习 情境导入 天坛集明清两代建筑技艺之大成的古建筑珍品．它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风格,成为中华民族古老文明的写照．圜丘坛是举行冬至祭天大典的场所．圜丘坛为圆形,分上、中、下三层,每层都铺9圈石板,如图所示． 圜丘坛上层中心有一块圆形石板,称为天心石．如图所示,环绕天心石第一圈铺了9块石板,向外每全依次增加9块,下一层的最内圈比上一层的最外圈多9块,且每层向外每圈依次也增加9块． 提升文化素养,培养观察分析、归纳猜想以及应用能力 探索新知 由此可知,圜丘坛的上层第1圈有9块石板,第2圈有18块石板,第3圈有27块石板,…,第9圈有81块石板．则圜丘坛上层(除天心石)每圈的石板数构成数列 9,18,27,…,81． （1） 数学上还有很多类似的数列 1,2,3,…,99,100 （2） 1,3,5,7,… （3） 20,15,10,5,… （4） 观察这些数列,发现它们具有什么共同特征了吗？ 这些数列都具有一个共同特点：从第二项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数． 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数时,就称这个数列为等差数列,这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d来表示． 数列（1）、（2）、（3）、（4）都是等差数列,它们的公差d分别是9,1,2,-5． 如果数列{an}是一个公差为d的等差数列,那么该数列从第二项起每一项都等于它的前一项与公差的和,即 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d, …… 因此,首项为a1、公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n−1)d． 探究与发现 已知一个等差数列中的某一项和这个数列的公差,如何表示出其他的项？ 详解见PPT 强调定义的重要性并自始至终紧扣这个定义,推导等差数列通项公式时,让学生亲身经历“不完全归纳法”这一研究过程 典型例题 例1已知等差数列2,5,8,11,… （1）求这个数列的通项公式; （2）求出这个数列的第6项; （3）这个数列的第几项是35？ 解（1）设这个等差数列通项公式为{an},则an=a1+(n-1)d, 有a1=2,a2=5,可得d=5-2=3． 由an=a1+(n-1)d得,该数列通项公式为 an=2+(n-1)×3=3n-1． 即an=3n-1． （2）由an=3n-1,可知a6=3×6-1=17． （3）设35是这个数列的第n项,即an=35,则由通项公式an=3n-1, 可得35=3n-1, 解得n=12． 因此,35是这个数列的第12项． 例2在等差数列{an}中,a2=25,a7=10,求a1,d,a10． 解由等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d,可得 解方程组,得 于是,该等差数列的通项公式为an=28+(n-1)×(-3)=-3n+31． 由此可得,a10=(-3)×10+31=1． 所以,a1=28,d=-3,a10=1． 例3小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列,他们三个人的年龄之和为99,爷爷的年龄是小明的年龄的10倍,求他们祖孙三人的年龄． 分析对于构成等差数列的三个数,可以将它们设为a1,a1+d,a1+2d,也可以将它们设为a-d,a,a+d,其中d为公差．若已知这三个数的和,则将它们设为a-d,a,a+d更有利于计算． 解设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为a-d,a,a+d,则 解方程组得 于是,a-d=6,a+d=60． 即小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别是6岁、33岁和60岁． 试一试 小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列,其中爷爷的年龄是72岁,小明的年龄是18岁,求小明爸爸的年龄． 详解见PPT 例1和例2让学生灵活运用通项公式和方程思想求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 例3主要阐明如果三个数成等差数列,且已知三个数的和,利用对称性设这三个数 探索新知 一般地,当三个数a,A,b成等差数列时,A称为a和b的等差中项． 若A是a与b的等差中项,则由等差数列的定义可知, A- a=b-A,因此 例如,若2,b,6三个数成等差数列,则 讲解说明，借助实例，学生更易理解 巩固练习 1.解答题 判断是否为等差数列，并指出首项、公差； 2.选择 选出不是等差数列； 3.选择 根据条件求公差； 4.填空 求等差中项； 5.填空 根据条件判断是第几项； 6.解答题 综合考察韦达定理、等差中项. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成7.2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 7.2.1等差数列的概念 一、等差数列的定义 1. 定义：从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。 2. 公差：d（d为常数） 二、等差数列的通项公式 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本次课程以贴近学生生活的情境实例作为导入环节，有效激发了学生的求知兴趣，成功地将抽象的数学概念转化为具体可感的现实对象，增强了学习的亲和力与代入感。在核心概念的定义讲解部分，教师通过对比不同类型的数列，突出强调“公差作为同一常数”这一关键条件，使学生在辨别中深化理解，整体掌握情况较为扎实。然而，在通项公式的推导过程中，部分学生对数学归纳法的逻辑严谨性仍存在认知模糊，未能完全理解每一步的推理依据，后续需通过搭建思维阶梯、加强过程引导来弥补这一薄弱环节。课堂练习部分题目设计层次分明、梯度合理，覆盖了基础与拓展需求，但在时间分配方面，探究环节略显仓促，可适当延长自主活动时间，让学生充分经历猜想、尝试与反思的完整过程。今后的教学中，还应进一步注重知识与实际问题的结合，例如引入“等差数列在日程规划、资源分配中的实际应用”等案例，帮助学生实现从理论到实践的迁移，提升数学建模与解决实际问题的能力。此外，需格外关注学困生对公差为负的数列的理解情况，针对这类特殊情形设计更多对比性、反例性的示例，通过多样化的训练巩固概念本质，避免机械记忆。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $