6.4.3余弦定理（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.4.3余弦定理 1 学习目标 1.学生能够理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的两种表达形式； 2.能够运用余弦定理解决两类基本问题：已知两边及其夹角求第三边，已知三边求任意一角；能够根据已知条件选择合适的定理（正弦定理或余弦定理）解决三角形问题。 3.通过对实际问题的思考，引导学生经历观察、猜想、推导、验证、应用的数学探究过程，培养学生的数学抽象和逻辑推理能力； 4.在解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、转化与化归的数学思想。 5.通过余弦定理的探索和应用，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学学习的兴趣。 正弦定理 应用正弦定理解三角形 （1）实现边角互化； （2）判断三角形的形状；（3）证明恒等式. c=？ 复习回顾 还有其它解三角形的方法吗？ 在6.4.1的“情境与问题”中, 园林工人在修建花圃的过程中, 需在墙角的对面建造一道篱笆墙, 问所建篱笆墙的长度为多少(不考虑其他因素)？ 情境导入 如图所示, 以△ABC的顶点A为坐标原点、射线AB的方向为 x 轴的正方向, 建立平面直角坐标系； 于是，点A、B的坐标分别为  A(0, 0), B(c, 0)． 由6.4.1 可知, 点C 的坐标为 C(bcos A, bsin A)． 探索新知 根据两点间距离公式可得, a=BC= = = =． 即 a²=b²+c²-2bccosA. 同理可得, b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC． 探索新知 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. 探索新知 在任意△ABC中, 都有 a²= b²+c²-2bccosA, b²= a²+c²-2accosB, c²= a²+b²-2abcosC． 公式也可变形为 cosA = , cosB = , cosC = ． 特别地, 当∠C=90°时, 有c²=a²+b². 因此, 勾股定理是余弦定理的特例． 探索新知 可以看出, 利用余弦定理能解决下列两类问题：   （1）己知三角形的两边及其夹角, 求第三边和其他两角; a²= b²+c²-2bccosA  （2）己知三角形的三边, 求三个角． cosA = 探索新知 思考： 已知三角形的两边和其中一边的对角, 能否利用余弦定理解三角形？ 探究与发现 解答：当已知两边及其中一边的对角时，可通过余弦定理建立关于第三边的一元二次方程， a² = b² + c² - 2bc cosA 整理后得到关于c的一元二次方程：c² - 2b cosA · c + b²−a² = 0 求解该方程得到第三边的可能值； 根据方程解的个数（0个、1个或2个），结合三角形的基本性质（如边长为正、两边之和大于第三边等），判断满足条件的三角形个数。 探究与发现 已知a=,求b. 解：由余弦定理得 a²= b²+c²-2bccosA 即5=b²+4-2×2×b 化为3b²-8b-3=0 解得b=3或b=-（舍去） 拓展：余弦定理的应用—判断三角形形状 直角 锐角 钝角 探究与发现 例6 在△ABC中, a=4, b=6, ∠C=60, 求c ． 通过本题的计算可知, 本节的“情境与问题”中需建篱笆墙的长度约为 5.29 m． 解 因为c²= a²+b²-2abcosC = 4²+6²-2×4×6×cos 60° =28．  所以c=2 ≈5.29．   典型例题 解 由于a＜b＜c, 故∠C最大． 根据余弦定理可得cosC = = =- 例7 在△ABC中, a=4, b=6, c=求△ABC的最大的角及面积． 因为 0° ＜∠C＜180° , 所以∠C=120° ． 根据三角形面积公式可得, S△ABC= absinC = sin120° 3 所以, △ABC的最大角为120°, 其面积为3 典型例题 练习巩固 B 练习巩固 B 练习巩固 A 练习巩固 C 练习巩固 C 练习巩固 60° 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 归纳汇总 余弦定理 a²= b²+c²-2bccosA cosA = 作业布置 1.完成6.4.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 【分析】根据余弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理有： ， 所以. 试卷第1页，共3页 2．在中，已知a=7，b=5，c=3，则此三角形的最大内角是（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 【分析】根据大边对大角可知边所对的角为最大内角. 【详解】∵a=7，b=5，c=3, 根据大边对大角可知边所对的角为最大内角， ∴根据余弦定理可得， ∴. 试卷第1页，共3页 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 试卷第1页，共3页 【分析】根据余弦定理求参数易得答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 整理得 ． 试卷第1页，共3页 4．如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 【分析】由余弦定理得出隧道长度. 【详解】由余弦定理可得： ． 试卷第1页，共3页 5．在中,若,,,则（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 试卷第1页，共3页 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】因为为最长边. 所以. 又因为为的内角. 所以为钝角. 所以为钝角三角形. 试卷第1页，共3页 6．中，若，则 . 试卷第1页，共3页 【分析】利用余弦定理的推论即可求得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理的推论得：， 又因为为三角形内角，所以. 试卷第1页，共3页 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角 . 试卷第1页，共3页 【分析】将已知条件化为余弦定理形式解三角形，即可求解. 【详解】∵， 即， ∴， 则， ∵， ∴. 试卷第1页，共3页 8．在中，若，. 试卷第1页，共3页 【分析】根据题意结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，因为， 即. 由余弦定理可得， . 解得， 因为在中，，所以. 试卷第1页，共3页 9．在中，，，，求. 试卷第1页，共3页 【分析】代入余弦定理即可得解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可知 ， 所以. 试卷第1页，共3页 10．如图所示，舰在某港口北偏东35°，距港口10海里处；舰在此港口北偏西25°，距港口15海里处，则，两舰相距多少海里.（保留根号） 试卷第1页，共3页 【分析】利用余弦定理即可求距离 【详解】由题干可知，与原点构成三角形，设原点为， 则，，； 由余弦定理可知 ， 则； 故答案为：. 试卷第1页，共3页 $