6.5三角计算的应用（同步练习）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块下册》 6.5 三角计算的应用 一、单选题 1．一个三角形模具，两边长分别为 6 米和 8 米，这两边夹角为 120°，该模具的面积为（   ）. A．12 平方米 B．平方米 C．24 平方米 D．平方米 2．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ） A． B． C． D． 3．如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某机械滚轮半径为 5cm，滚轮边缘一点从初始位置顺时针旋转 240°，此时该点的横坐标为 cm. 5．机械装置中的一个圆形链条轮半径为 11cm，链条上一点从水平位置逆时针旋转 ，该点的纵坐标为 cm. 6．测量某信号塔上信号灯的闪烁高度（米）与时间（秒）的关系为，信号灯高度的平均值为 米. 三、解答题 7．海中有一个小岛，其周围3.8海里内有暗礁.军舰由西向东航行，望见此岛在北偏东75°方向，航行8海里后，望见此岛在北偏东60°方向.如果军舰不改变航向继续前进，有没有触礁的危险? 8．如图：已知测速站A到公路L的距离为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从P点行驶到Q点所用的时间为2秒，并测得，．    (1)求此车从P点到Q点的平均速度约为多少千米/小时？计算保留小数点后一位数． （1米/秒＝3.6千米/小时） (2)判断此车是否超过了80千米/小时的限速． 一、单选题 1．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度I为（    ） A．5A B． C．2A D． 2．在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道的两端点 到某一点 的距离分别是 3 km 和 1 km，且 ，则 两点的距离为（    ） A． km B． km C． km D． km 3．已知中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都可能 二、填空题 4．在高出海平面的小岛顶点处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是与，此时两船间的距离为 ． 5．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出，的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得m，m，，则的长为 ． 6．机械传动机构中，一圆形皮带轮半径为10cm，皮带上一点从某位置逆时针旋转，该点的横坐标为 cm. 三、证明题 7．的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，求证：是正三角形． 四、解答题 8．修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择适合测量的点C，如图所示如果已知，，试计算隧道的长度（精确到）． 一、单选题 1．如图，设A、B两点在河的两岸，测量者与A在河的同侧，在河岸边确定一点C，测出，，则（    ）    A． B． C． D． 2．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 3．某电子设备的电流强度随时间变化的图像近似为.该电流强度的频率为（     ）. A．50Hz B．100Hz C．150Hz D．200Hz 二、填空题 4．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m．    5．机械手臂端点（坐标原点）做圆周运动，轨迹圆半径为12cm，当手臂从初始位置（轴）顺时针旋转150°时，端点的横坐标为 cm. 三、解答题 6．如图，在中，是边上一点，.    (1)求的大小； (2)求的长. 7．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.    (1)求这一天6~14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 拓展模块下册》 6.5 三角计算的应用 一、单选题 1．一个三角形模具，两边长分别为 6 米和 8 米，这两边夹角为 120°，该模具的面积为（   ）. A．12 平方米 B．平方米 C．24 平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】由三角形的面积公式即可得解. 【详解】根据三角形面积公式， 其中，，，， 则 = 12平方米. 故选：B. 2．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱状建筑物的高度为米，然后利用三角函数可求. 【详解】设圆柱状建筑物的高度为，因为M，N相距米， 则有，化简得， 所以米. 故选：B. 3．如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图形，结合实际情况即可得解. 【详解】依题意三个数据不易测量， 因此应测量三个数据，求出角， 然后利用正弦定理求解. 故选：D. 二、填空题 4．某机械滚轮半径为 5cm，滚轮边缘一点从初始位置顺时针旋转 240°，此时该点的横坐标为 cm. 【答案】/ 【分析】将滚轮边缘一点的运动看作是在单位圆上的三角函数问题，利用三角函数的定义求解横坐标. 【详解】半径，顺时针旋转，旋转角. 由，，则，横坐标为. 故答案为：. 5．机械装置中的一个圆形链条轮半径为 11cm，链条上一点从水平位置逆时针旋转 ，该点的纵坐标为 cm. 【答案】/5.5 【分析】将链条上一点的运动看作是在单位圆上的三角函数问题，利用三角函数的定义求解纵坐标. 【详解】设半径，旋转角，根据，， 所以. 故答案为：. 6．测量某信号塔上信号灯的闪烁高度（米）与时间（秒）的关系为，信号灯高度的平均值为 米. 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质结合平均数的定义即可求解. 【详解】因为正弦函数平均值为， 所以的平均值为米. 故答案为：. 三、解答题 7．海中有一个小岛，其周围3.8海里内有暗礁.军舰由西向东航行，望见此岛在北偏东75°方向，航行8海里后，望见此岛在北偏东60°方向.如果军舰不改变航向继续前进，有没有触礁的危险? 【答案】没有触礁危险． 【分析】根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型，然后求出军舰在小岛正南方向时两者间的距离，与3.8比较大小.若距离大于3.8，则没有触礁危险﹒ 【详解】    由题意知，将B视为小岛，军舰最初位置在A处，作出简图如图所示. 在中，∵，，，可得， .过B作的垂线，垂足为D.在中，求得. ， 如果军舰不改变航向继续前进，没有触礁危险． 8．如图：已知测速站A到公路L的距离为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从P点行驶到Q点所用的时间为2秒，并测得，．    (1)求此车从P点到Q点的平均速度约为多少千米/小时？计算保留小数点后一位数． （1米/秒＝3.6千米/小时） (2)判断此车是否超过了80千米/小时的限速． 【答案】(1)83.1km/h (2)超速 【分析】（1）通过正切函数定义求出的值，再求速度即可. （2）比较两个值的大小即可. 【详解】（1）因为 （m） ∴汽车通过PQ的平均速度（km/h） ∴此汽车从P到Q的平均速度约为83.1km/h. （2）∵83.1km/h＞80km/h    超速 一、单选题 1．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度I为（    ） A．5A B． C．2A D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式中即可得解. 【详解】电流强度随时间变化的关系式是， 当时，， 故选：. 2．在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道的两端点 到某一点 的距离分别是 3 km 和 1 km，且 ，则 两点的距离为（    ） A． km B． km C． km D． km 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，， 则由余弦定理得，， 解得km. 故选：B. 3．已知中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都可能 【答案】B 【分析】利用余弦定理判断的最大内角的大小即可得解. 【详解】因为在中，，，， 所以角是的最大内角，且， 又， 所以，即角为钝角，故为钝角三角形. 故选：B. 二、填空题 4．在高出海平面的小岛顶点处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是与，此时两船间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出示意图，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图，设为小岛顶点，分别为两船，过点作于点， 由题意可知，， 则． 故两船距离. 故答案为：. 5．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出，的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得m，m，，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】在中，由余弦定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 6．机械传动机构中，一圆形皮带轮半径为10cm，皮带上一点从某位置逆时针旋转，该点的横坐标为 cm. 【答案】 【分析】皮带上一点的运动看作是在单位圆上的三角函数问题，利用三角函数的定义求解横坐标. 【详解】依题意，圆形皮带轮半径，旋转角， 又，， 所以. 故答案为：. 三、证明题 7．的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，求证：是正三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，再结合（1）中的结论可证得结论成立. 【详解】（1）解：由正弦定理得， 、，则，所以，，故. （2）解：，则 ，即，则， 又，所以，为正三角形. 四、解答题 8．修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择适合测量的点C，如图所示如果已知，，试计算隧道的长度（精确到）． 【答案】． 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在中，利用余弦定理可得 ． 则得． 所以隧道的长度约为． 一、单选题 1．如图，设A、B两点在河的两岸，测量者与A在河的同侧，在河岸边确定一点C，测出，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：A. 2．在中，已知，那么是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，设，则， 因为，则为最大内角， ， 所以，即是钝角三角形. 故选：A. 3．某电子设备的电流强度随时间变化的图像近似为.该电流强度的频率为（     ）. A．50Hz B．100Hz C．150Hz D．200Hz 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图像及性质，即可求解. 【详解】对于，频率， 在中，， 所以. 故选：A. 二、填空题 4．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m．    【答案】 【分析】根据正弦定理以及三角形内角之和求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 5．机械手臂端点（坐标原点）做圆周运动，轨迹圆半径为12cm，当手臂从初始位置（轴）顺时针旋转150°时，端点的横坐标为 cm. 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值与三角函数的诱导公式，结合余弦函数的定义即可得解. 【详解】依题意，机械手臂的轨迹圆半径，顺时针旋转，设端点的横坐标为， 则旋转角，又，， 所以. 故答案为：. 三、解答题 6．如图，在中，是边上一点，.    (1)求的大小； (2)求的长. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据余弦定理计算易得答案； （2）根据正弦定理计算易得答案. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理可得：， . （2）， 在中，由正弦定理，得， 即，解得. 7．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.    (1)求这一天6~14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 【答案】(1). (2)，（）. 【分析】（）根据图像结合得出最大温差. （）根据图像结合正弦型函数的性质求出解析式即可得解. 【详解】（1）由图可知：这段时间的最大温差是. （2）从图可以看出：从6~14是的半个周期的图象， ，，， 又，解得， ， 将点代入得：，，， ，，取， ，（）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $