6.5三角计算的应用（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章三角计算 6.5三角计算的应用 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是在学生已掌握三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式及两角和与差公式的基础上，进一步学习三角函数在实际问题中的应用，是三角知识体系从理论到实践的关键衔接。教材通过“测量距离”“测量高度”“航海问题”三个典型案例，引导学生经历“实际问题→数学建模→三角计算→结果检验”的解决过程，体现了“学以致用”的职业教育理念。本节内容不仅强化学生对三角函数工具性的认识，还为后续学习物理、工程技术等专业课程奠定数学基础，同时培养学生的数学抽象、数学建模和运算求解能力。 五、学情分析 知识基础：已掌握三角函数的基本概念、公式及简单计算，但对知识的实际应用意识较弱，数学建模能力有待提升。 思维特点：处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，对与生活、专业相关的实例兴趣较高，但逻辑推理和综合分析能力存在个体差异。 学习习惯：部分学生对数学学习存在畏难情绪，需通过情境创设和分层任务激发主动性；动手操作和小组合作能力较强，适合采用“做中学”的教学模式。 专业关联：不同专业学生（如建筑、机械、航海等）对三角应用的需求不同，需结合专业背景设计案例，增强学习针对性。 六、教学目标 1.能运用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的距离、高度测量问题； 2.能将现实中的实际问题转化为解三角形模型，并用三角计算求解； 3.掌握“画图→建模→列式→计算”的问题解决步骤，提升数学应用能力。 4.通过情境探究、小组合作，经历实际问题的数学化过程，体会数学建模思想； 5.培养严谨求实的科学态度和团队协作精神，提升职业核心素养。 七、教学重点 正弦定理、余弦定理在距离测量、高度测量及航海问题中的应用。 八、教学难点 1.将实际问题抽象为解三角形模型； 2.灵活选择正弦定理或余弦定理解题，尤其是已知两边及夹角、已知三边等条件的判断。 十一、教学方法 情境教学法：通过真实案例（如校园旗杆高度测量、航海路线规划）创设问题情境，激发探究欲； 任务驱动法：设计“基础任务—提升任务—拓展任务”三级任务链，引导学生逐步深化理解； 合作探究法：以小组为单位完成建模与计算，通过讨论、展示促进思维碰撞； 多媒体辅助法：利用PPT动态演示三角形边角关系，突破画图抽象性难点。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面,能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用． 提出问题引发思考 情境导入 情境与问题（1） 为了美化校园环境,建设绿色校园,某学校要在一块半径为10m,圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求,矩形的一边在扇形的半径上,且矩形内接于扇形,应如何设计,才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积． 通过具体实例构建数学模型，引出面积问题 典型例题 在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题．对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式,利用三角函数的最值来解决． 解设扇形圆心为O,矩形为ABCD,如图所示. 连接OD,记∠COD=θ,则在Rt△COD中,CD=10sinθ,OC=10cosθ. 在Rt△AOB中,tan．由AB=CD可知 于是,BC=OC-OB=10cossinθ.因此,矩形花坛ABCD的面积 显然,当sin时,Smax= 此时,2θ+cos得(k∈Z)． 又因为,所以． 综上所述,按照∠COD设计,可使得花坛的面积最大,最大面积为 问题1应用和角公式和正弦型函数的性质解决的实际问题,关键是将实际问题数学化,建立含有以角为自变量的三角函数,然后利用三角函数的性质来解决问题 情境导入 情境与问题（2） 在日常生活中,居民家庭用电都是交流电(如图)． 若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用 Usin来表示,求： （1）开始时的电压; （2）电压值重复出现一次的时间间隔； （3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻． 引出电压计算问题 典型例题 生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟,如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时,可以先建立三角函数模型,然后利用三角函数的性质解决这些问题． 解（1）取t=0,得开始时的电压 即该交流电开始时的电压为110V． （2）由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期,故电压值重复出现一次的时间间隔为 即电压值经过0.02s重复出现． 当sin时,得电压的最大值Umax=220V,此时 100πt(k为非负整数)．100πt,解得t 因此,电压第一次达到最大值的时刻为 即电压的最大值是220V，时第一次达到最大值． 问题2是正弦型函数的性质在物理学或电工学中的应用,可以在讲解之前先复习一下相关知识 情境导入 情境与问题（3） 海水受太阳和月亮引力的影响,所发生的周期性涨落的现象成为潮汐,早潮一般称为潮,晚潮称为汐．在通常情况下,传在涨潮时驶进航道,快靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋．已知某港口的某季节每天的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)的关系可用函数y=2sin(x)+5(0≤x≤24)近似描述．若一条船的吃水深度为4m,安全条例规定至少要有2m的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口？在港口能停多久？ 利用自然现象帮助学生理解数学知识来自于实践 典型例题 解由题意,船安全进入港口时,需水深至少 为4+2=6(m),则需2sin 解得,12k+1≤x≤12k+5,k∈Z． 因此,该船可以在1时左右进港,5时左右出港;或在13时左右进港,17时左右出港．该船每次可以在港口停留4h左右． 本题理解其实际意义有一定难度,提升学生数学建模核心素养 情境导入 情境与问题（4） 如图所示,在河的岸边选定两点A、B,对岸选定点C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120m．试根据测量结果,求河的宽度． 引出测量距离问题 典型例题 解因为∠CAB=45°,∠CBA=75°,所以 ∠CAB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-45°-75°=60°. 根据正弦定理,可得 因此,BC 在△ABC中,作CD⊥AB,交AB于点D,则CD的长度即为河宽． 在Rt△CDB中,sin∠CBD,所以CD=BCsin∠CBD=BCsin75°. 又sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° 因此,CD=BC·sin75° 答：河宽约为94.64m． 对于无法直接测量的距离、高度等,存在着许多可供选择的间接测量方案．例如,可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等知识,通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后,我们也可以利用正、余弦定理解决这些问题． 解决这类问题是先将已知条件归结到三角形中,然后根据已知条件解决所求问题 情境导入 情境与问题（5） 高铁隧道能缩短隔山相望的两地之间的路程,并且避免大坡道,我国的高铁路线中有很多隧道．某隧道开凿前,需测量隧道两端的距离． 如图所示,为测量D、E之间的距离,在山的一侧选取点C,并测得CA=500m,CB=800m,∠ACB=60°. 又测得点A、B到隊道口的距离AD=180m,BE=240m(A、D、E、B在一条直线上),试计算隊道DE的长． 引出测量问题 典型例题 解在△ABC中,CA=500,CB=800,∠ACB=60°. 根据余弦定理可得, AB²=AC²+BC²-2·AC·BCcos∠ACB =500²+800²-2×500×800×cos60° =490000． 因此,AB=700(m)． 于是,DE=AB-AD-EB=700-180-240=280(m)． 隧道DE的长为280m． 将已知条件归结到三角形中再求解 巩固练习 1-2.选择 考察三角形面积公式、正弦定理、余弦定理； 3.填空 考察三角形面积公式； 4.解答题 利用余弦定理求隧道长； 5.解答题 利用余弦定理求两舰间距离. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.5《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.5三角计算的应用 1. 正弦定理： 例1：距离测量（SAS） 2. 余弦定理： 例2：高度测量（Rt△） 1.审题→画示意图 2. 建模→确定三角形 3. 选公式→列式 4. 计算→检验结果 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处： 通过真实情境和动手测量活动，有效激发了学生兴趣，多数学生能参与到建模过程中； 分层任务设计兼顾了不同层次学生的需求，基础任务完成率达90%，提升任务小组合作效果较好。 不足与改进： 部分学生在“画示意图”环节存在困难，需加强图形规范指导，可提前准备画图模板； 专业案例的针对性不足，后续可收集各专业实际问题，建立“专业案例库”，增强学习实用性； 计算过程中计算器使用不熟练，需增加工具使用技巧的微指导。 后续延伸： 开展“三角应用小课题”活动，如“校园建筑高度测量方案设计”，提升综合实践能力。 通过以上设计，力求实现“以学生为中心、以应用为导向”的教学目标，让学生在解决实际问题中体会数学价值，提升职业核心素养。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $