7.1数列的概念（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第七章数列 7.1数列的概念 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 数列是中职数学的重要内容之一，它不仅是对函数概念的延伸和拓展，更是后续学习数列求和、数学归纳法以及解决实际问题的基础。教材从具体实例出发，引导学生观察一组按一定顺序排列的数，从而抽象出数列的定义，符合中职学生从具体到抽象的认知规律。通过学习数列的概念、通项公式以及数列的分类等知识，有助于学生提升数学抽象素养和逻辑思维能力，同时为学习等差数列、等比数列等内容奠定坚实基础。此外，数列在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如储蓄利息计算、产品规格排列等，学习本节内容能让学生体会数学与实际生活的密切联系，增强应用数学的意识。 五、学情分析 从知识层面来看，学生在初中阶段已经接触过一些简单的数列形式，如自然数排列、奇数排列等，对按一定顺序排列的数有初步的感性认识；在中职一年级学习了函数的概念，对变量之间的对应关系有一定理解，这为理解数列是一种特殊的函数（定义域为正整数集或其子集）打下了基础。从能力层面来看，中职学生具备一定的观察、分析和归纳能力，但抽象思维能力相对较弱，在将具体数列实例抽象为数学定义，以及理解通项公式的含义和作用时可能存在困难。同时，部分学生数学基础较为薄弱，学习兴趣不够浓厚，需要通过生动的实例、互动的教学环节来激发其学习积极性。此外，中职学生更注重知识的实用性，在教学中结合专业或生活中的实例，能更好地调动其学习主动性。 六、教学目标 1.理解数列的定义，能准确判断一组数是否构成数列，并能说出数列的项、首项等基本概念。 2.掌握数列的通项公式的概念，能根据通项公式写出数列的前几项；能根据数列的前几项归纳出简单数列的通项公式。 3.了解数列的分类标准，能对简单数列进行分类。 4.通过观察、分析具体数列实例，经历数列概念的形成过程，培养抽象概括能力和归纳推理能力。 5.通过数列在实际生活中的应用实例，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 七、教学重点 1.数列的定义及基本概念； 2.数列的通项公式的概念及应用。 八、教学难点 1.理解数列与函数的关系，认识到数列是一种特殊的函数； 2.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。 十一、教学方法 情境教学法：通过创设与生活、专业相关的情境，引入数列实例，激发学生学习兴趣。 启发引导法：在概念形成和问题解决过程中，通过提问、引导，启发学生思考，帮助学生自主构建知识。 讲练结合法：通过教师讲解关键概念和方法，配合学生练习巩固，及时反馈学习效果。 小组讨论法：对于归纳通项公式等开放性问题，组织学生小组讨论，集思广益，培养合作能力。 多媒体辅助教学法：利用PPT、动画等展示数列实例、概念辨析和练习题，增强教学的直观性和生动性。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 数列是刻画客观事物规律性的一种数学模型,在生产实践和科学研究中有着广泛的应用． 引出课题 情境导入 1978年底,中国共产党召开了具有历史转折意义的十一届三中全会,吹响了改革开放的号角．改革开放40多年来,我国经济持续快速增长,综合国力位于世界前列．2022年2月,国家统计局在我国2021年国民经济和社会发展统计公报中,给出了2017—2021年国内生产总值及其增长速度统计图,从这张统计图中你能获得哪些数据信息？ 结合实例落实课程思政,提升学生社会责任感 探索新知 根据图中的数据,把这五年的国内生产总值依次排成一列 103.5,117.4,123.4,129.4,143.9; （1） 相应的年份可以排成一列 2020,2021,2022,2023,2024; （2） 每一年的增长率也可以排成一列 2.3%,8.6%,3.1%,5.4%,5.0%; （3） 例如,某种细菌每经过时间t分裂一次,每次分裂都是1个细菌分裂成2个．一个细菌不断分裂,每次分裂之后的细菌个数可以构成一个数列 2,4,8,16,32,… （4） 其中a1=2,a2=4,a3=8,…… 无穷多个3也可以构成一个数列 3,3,3,3,3,…… （5） 像（1）（这样按照一定次序排成的一列数称为数列．数列中的每一个数为这个数列的项． 数列的一般形式为a1,a2,a3,…,an,…,简记作{an}． 其中,a1称为数列的首项,an称为数列的第n项． 其中a1=3,a2=3,a3=3,…… 项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列．例如,数列（1）、（2）、（3）是有穷数列,数列（4）、（5）是无穷数列． 像数列（5）这样所有项均为同一个数的数列叫做常数列． 围绕统计分析图中的数据引出3个数列以及数列的有关概念 情景导入 数列（5）的第n项可以表示为an=3;数列（4）和数列（2）的第n项如何表示呢？ 逐层深入，探究数列通项的表示 新知探索 分析发现,数列（4）的每一项都可以写成以2为底的指数幂,其第1项a1=21,第2项a2=22,…,第n项an=2n． 同样,数列（2）也有一定的规律,第1项a1=2019+1,第2项a2=2019+2,…,第n项2019+n(n∈N*且n≤5)． 一般地,当一个数列的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子来表示时,这个式子就称为这个数列的通项公式． 例如,数列（2）的通项公式是an=2019+n(n∈N*且n≤5);数列（4）的通项公式是an=2n． 应使学生注意并不是所有的数列都能写出它的通项公式 典型例题 例1根据通项公式,写出下列数列{an}的前5项． （1）an（2）an=(-1)n+1． 解（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项,分别为 （2）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项,分别为 例2写出数列{an}的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数． （1）2,4,6,8; （2），，，； （3）,,． 解（1）因为数列的前4项2,4,6,8都等于相应项数的2倍,所以它的一个通项公式是 an=2n; （2）因为数列前4项的分母都等于相应的项数的2倍加1,所以它的一个通项公式是 （3）因为数列前4项的绝对值的分母都等于相应的项数乘以该项数加1,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 探究与发现 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上用小石子摆成三角形来表示数,再按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图所示．你能找出下列点数的规律么？ 例3设数列{an}的通项公式是an=3n+1,问13是否为该数列的项？若是,它数列的是第几项？ 解设13是数列{an}的第n项,将13代入数列的通项公式an=3n+1中, 得13=3n+1,解得n=4． 因此,13是数列{an}中的项,并且它是数列的第4项． 例4已知数列{an}的首项a1=3,n≥2时,an=an-1+2,试写出这个数列的前5项． 解由题意可知,a1=3,an=an-1+2(n≥2,n∈N*)． 当n=2时,a2=a1+2=3+2=5; 当n=3时,a3=a2+2=5+2=7; 当n=4时,a4=a3+2=7+2=9; 当n=5时,a5=a4+2=9+2=11． 方法总结 ①通项公式的主要作用是“知序号可求项”； ②一些数列的通项公式不是唯一的； ③不是每一个数列都能写出它的通项公式。对于这些数列，有时可以借助数列中相邻项的关系来确定数列的各项． 函数与数列的关系 观察法求通项公式 例1是用通项公式求数列的任意一项 例2是对本节难点内容的练习,要求对比较简单的数列,会根据前几项的特征写出它的一个通项公式 例 3是借助通项公式判断某数是否是数列中的项 例 4让学生了解数列的递推公式 巩固练习 1.选择 考察数列的分类； 2.选择 考察数列某一项的计算； 3.选择 考察数列通项公式的计算； 4.填空 利用向量的知识，推算星期； 5.解答题 计算向量的项，并判断是第几项. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成7.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 7.1数列的概念 数列的定义 数列的通项公式 数列的分类 副板书：学生练习 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处： 本节课通过创设多个与生活、专业相关的情境引入课题，有效激发了学生的学习兴趣，使学生对数列有了直观的认识。在概念形成过程中，注重引导学生通过观察、分析实例自主归纳，体现了以学生为主体的教学理念，培养了学生的抽象概括能力。教学环节设计完整，从引入、新知探究、合作学习到小结作业，层层递进，符合学生的认知规律；讲练结合，及时巩固了所学知识。结合学生专业特点设计了应用实例，让学生感受到数学的实用性，增强了学习的主动性。 不足之处： 对于“数列与函数的关系”这一知识点，虽然进行了讲解，但由于时间限制，可能部分学生理解不够深入，未能充分结合函数图像进行对比分析。在“根据数列的前几项归纳通项公式”环节，虽然设置了小组讨论，但对于一些项的变化规律较复杂的数列，部分基础薄弱的学生可能仍存在困难，未能给予足够的个别指导。课堂时间分配上，合作探究环节可能略显仓促，学生充分表达和交流的时间不够充分。 改进措施： 对于“数列与函数的关系”，可在课前准备函数图像与数列散点图的对比课件，在课堂上进行动态展示，帮助学生更直观地理解数列的函数本质。针对归纳通项公式的难点，可设计不同梯度的练习题，在课后设置专项练习，并利用课余时间对基础薄弱学生进行辅导。合理调整各环节时间，在合作探究环节给予学生更充分的讨论时间，鼓励学生大胆表达自己的想法，教师巡回指导，及时解决学生的疑问。课后收集学生作业和反馈信息，了解学生对知识的掌握情况，以便在后续教学中进行针对性的补充和强化。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $