6.4.2正弦定理（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章三角计算 6.4.2正弦定理 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是在学生学习了三角函数的定义、任意角的三角函数值以及三角形的基本性质（如内角和定理）的基础上，对三角形边角关系的进一步深入探究。正弦定理揭示了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个重要等量关系，即（其中(R)为三角形外接圆半径）。它不仅是解决三角形度量问题（已知两边及一边对角、已知两角及一边解三角形）的重要工具，也为后续学习余弦定理、解决更复杂的三角问题以及在实际生活中的应用（如测量距离、高度等）奠定了坚实的基础。教材通过从直角三角形入手，引导学生观察、猜想一般三角形是否也满足类似关系，进而通过作高法等方式进行证明，体现了从特殊到一般的认知规律，培养学生的逻辑推理能力和数学建模思想。 五、学情分析 从知识层面看，学生已经掌握了直角三角形的三角函数定义（正弦、余弦、正切），理解了任意角三角函数的概念，具备了三角形内角和为180°等基本几何知识。同时，在之前的学习中，学生也接触过一些简单的解直角三角形的问题，这为学习正弦定理提供了一定的知识储备。从能力层面看，中职学生思维活跃，动手能力较强，但抽象逻辑思维能力和数学严谨性方面可能稍显薄弱，对数学知识的应用意识有待加强。部分学生对数学学习可能存在畏难情绪，需要通过创设生动的问题情境和引导式教学来激发其学习兴趣。此外，学生已经具备一定的小组合作学习经验，能够在教师引导下进行简单的探究活动。因此，在教学过程中，应注重从学生熟悉的直角三角形入手，通过问题驱动，引导学生自主探究、合作交流，逐步构建正弦定理的概念和应用方法。 六、教学目标 1.理解并掌握正弦定理的内容，能准确表述正弦定理； 2.会运用正弦定理解决两类基本解三角形问题； 3.通过从直角三角形到一般三角形的探究过程，体验“观察—猜想—证明—应用”的数学研究方法。 4.在探究和证明正弦定理的过程中，培养学生的逻辑推理能力、动手操作能力和分析解决问题的能力。 5.通过对正弦定理的探究和应用，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学学习的兴趣。 七、教学重点 1.正弦定理的理解和掌握。 2.运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。 八、教学难点 1.正弦定理的证明（特别是锐角三角形和钝角三角形情况的证明）。 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数（“一解”“两解”或“无解”的情况）。 十一、教学方法 情境教学法：通过创设与生活相关的实际问题情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 引导发现法：从学生熟悉的直角三角形入手，引导学生观察、分析、猜想，逐步过渡到一般三角形，发现正弦定理。 探究式教学法：组织学生进行小组讨论和合作探究，让学生在自主思考和交流中完成对正弦定理的证明和理解。 讲练结合法：通过教师的讲解和示范，结合学生的练习，巩固所学知识，提高应用能力。 多媒体辅助教学法：运用PPT、几何画板等工具，直观展示图形变化和定理推导过程，帮助学生理解。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 无线电测向运动是利用无线电信号迅速、准确地测定出隐蔽电台方位,并寻找出隐蔽电台的一种体育竞技运动,也称无线电“猎狐”．如图所示,运动员在A、B两点使用测向机分别测得隐蔽电台的方向,这两个方向的交点C就是目标所在的位置,即隐蔽电台的位置． 若测得AB=100m,∠A=45°,∠B=60°,怎样计算AC和BC的长度呢？(精确到0.01m)． 通过具体实例构建数学模型 探索新知 由三角形的面积公式 可得bcsinAacsinB,即bsinA=asinB． 于是, 同理可得,．因此, 于是,我们得到三角形中边角关系的一个重要定理． 正弦定理在一个三角形中,各边与其所对角的正弦之比相等．即,在任意△ABC中,都有 容易看出,利用正弦定理可以解决下列两类问题： （1）已知三角形的两边和其中一边所对的角,求其他两角和另一条边; （2）已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和另一个角． 由复习旧知识进入新课,由特殊到一般的过程解决问题 典型例题 例3在△ABC中,∠B=45°,∠C=15°,a=5,求b． 解在△ABC中,由∠A+∠B+∠C=180°,得 ∠A=180°-∠B-∠C=180°-45°-15°=120°. 由正弦定理知, 于是, 因此,b． 在“情境与问题”中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°. 由正弦定理得, 同理, 例4在△ABC中,a=1,b. （1）若∠A=30°,求∠C; （2）若∠B=135°,求∠C． 解（1）由正弦定理知可知, 于是, 又因为0°<∠B<180°,所以∠B=45°或135°. 当∠B=45°时,∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°. 当∠B=135°时,∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-135°=15°. 因此,∠C=105°或15°. （2）由正弦定理知可知,=．sinAsinB 于是,sinA 又因为0°<∠A<180°,所以∠A=30°或150°. 因为钝角三角形只能有一个内角为钝角,∠B已为钝角,所以∠A只能是锐角． 因此,∠A=30°. 从而C=180°-∠A-∠B=180°-30°-135°=15°. 读一读 已知三角形的两边和其中一边的对角,利用正弦定理求另一边的对角时,要讨论角的取值范围,避免漏解或多解． 已知三角形的两角时,可以借助三角形的内角和等于180°求第三个角． 例5设△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,且a=2bsinA,求∠B． 解由正弦定理知可知,k,于是,a=ksinA,b=ksinB, 将以上两式代入已知a=2bsinA中,得ksinA=2ksinB·sinA, 即sinB, 又因为0°<∠B＜180°,所以∠B=30°或150°. 例3中,利用正弦定理解题时,可以在正弦定理中令比例系数得k(k为外接圆的直径) 例4和例5要注意在用正弦定理求三角形的角时,可能有一个解,也可能有两个解,要注意分类讨论以及根据条件进行取舍 巩固练习 1.填空 考察正弦定理的记忆； 2.选择 考察三角形面积公式、正弦定理； 3.选择 考察正弦定理； 4.填空 利用正弦定理求正弦值； 5.填空 利用正弦定理求边长； 6-11解答题 正弦定理的应用. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 正弦定理 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.4.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.4.2正弦定理 正弦定理在一个三角形中,各边与其所对角的正弦之比相等． 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处： 本节课从学生熟悉的直角三角形入手，通过问题引导，逐步过渡到一般三角形，符合学生的认知规律，有助于学生理解正弦定理的形成过程。 采用分组探究的方式让学生参与到定理的证明中，培养了学生的合作精神和探究能力。 例题和练习的选取由浅入深，覆盖了正弦定理的主要应用类型，并对“解的个数”这一难点进行了重点讲解和辨析。 不足之处： 对于钝角三角形中正弦定理的证明，部分学生可能仍存在理解困难，需要在后续辅导中进一步加强。 已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数是难点，虽然进行了讲解，但学生在实际应用中可能仍会出错，需要更多的变式练习来巩固。 课堂时间分配可能略显紧张，部分学生的练习时间不够充分。 改进措施： 可以考虑利用几何画板等动态演示工具，更直观地展示不同三角形中边与角的关系以及解的个数变化情况。 针对“解的个数”判断，可以设计更多的对比性练习，帮助学生总结规律。 在后续教学中，可以适当增加一些与专业相关的实际应用案例，提高学生的学习兴趣和应用意识。 对于基础较弱的学生，课后应提供更具针对性的辅导材料。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $