6.2二倍角公式（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.2二倍角公式 1 学习目标 1.理解二倍角公式（正弦、余弦、正切）的推导过程，明确公式的来龙去脉。 2.准确记忆并表述二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握余弦二倍角公式的三种不同表达形式及其联系。 3.运用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.初步学会二倍角公式的逆用和变形应用，提高公式的灵活运用能力。 5.通过公式的应用练习，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运用数学知识解决实际问题的意识。 和角公式 知识回顾 在两角和的余弦、正弦和正切公式中, 当 β=α 时, 我们能得到什么结果呢？ 在公式S＋中, 当β=α 时, sin(α+β)=sin(α+α) =sinα cosα+cosα sinα =2sinα cosα, 因此   sin2α=2sinα cosα ．  探索新知 因为 sin²α+cos²α=1, 所以cos2α又可以表示为 cos2α=2cos²α-1 cos2α= 1-2sin²α ． cos2α=cos(α+α)  =cosα cosα-sinα sinα =cos²α-sin²α; 探索新知 在公式C＋中, 当β=α 时, tan2α=tan(α+α) ． 探索新知 在公式T＋中, 当β=α 时, sin2α=2sinα cosα S2α cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α C2α   tan2α T2α 二倍角的正弦、余弦和正切公式： 上面三个公式统称二倍角公式． 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 思考 公式中角α的取值范围是什么？ 证明．（1）sin （2） cos 探究与发现 证明．（1）sin （2） cos 探究与发现 例1 已知sinα = , α是第二象限角, 求sin2α、cos2α和tan2α的值 解 因为α是第二象限角, 所以cosα =- =-= 于是, 有 sin2α = 2sinαcosα =2××=-, cos2α =1-2sin²α =1-2× 又因为tanα = = =- 典型例题 例1 已知sinα = , α是第二象限角, 求sin2α、cos2α和tan2α的值 试一试：如果α是第一象限角, sin2α、cos2α和tan2α为何值？ 典型例题 解 因为α是第一象限角, 所以cosα = == 于是, 有 sin2α = 2sinαcosα =2××=, cos2α =1-2sin²α =1-2× 又因为tanα = = = 例1 已知sinα = , α是第二象限角, 求sin2α、cos2α和tan2α的值 解 因为α是第二象限角, 所以cosα =- =-= 于是, 有 sin2α = 2sinαcosα =2××=-, cos2α =1-2sin²α =1-2× 又因为tanα = 想一想：求tan2α还有其他方法吗？ 典型例题 例2 已知cos =- , 且∈(π, 2π), 求sin和cos的值 解 由∈(π, 2π), 可知, 故 sin = == 因此, sinθ = 2sin cos =2××=- , cosθ =2cos² -1=2× 典型例题 例2 已知cos =- , 且∈(π, 2π), 求sin和cos的值 想一想：求cos 的值还有其他方法吗？ 典型例题 （1）cos2α=cos²α-sin²α （2）cos2α=1-2sin²α 例3 化简： 解 原式 tan 典型例题 例4 证明： tan 解 右边 tan, 所以原等式成立 典型例题 巩固练习 二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠＋kπ(k∈Z)，故此说法错误． × 当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α. 当cos α＝时，cos 2α＝2cos α. √ × 巩固练习 B 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 归纳汇总 作业布置 1.完成6.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 2．二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝， ③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝. 在公式S2α,C2α中,角α可以为任意角; 但公式T2α只有当α≠+kπ,且α≠(k∈Z)时才成立,否则不成立 （1） 证明 由二倍角余弦公式， 移项可得， 两边同除以2得。 对等式两边开平方，因的符号取决于所在象限（第一、二象限为正，第三、四象限为负），故。 （2）证明 由二倍角余弦公式， 移项可得， 两边同除以2得。 对等式两边开平方，因的符号取决于所在象限（第一、四象限为正，第二、三象限为负），故。 $