6.1.2 两角和与差的正弦公式（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第六章 三角计算 6.1.2 两角和与差的正弦公式 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节是三角恒等变换核心内容，承接两角和与差的余弦公式，是推导二倍角等后续公式的基础，为三角函数化简、求值、证明提供关键工具，也是解决实际测量、天体计算等问题的重要依据。 以诱导公式、特殊角三角函数值为铺垫，通过 “探究 + 推导 + 应用” 的逻辑展开，符合中职生 “从已知到未知” 的认知规律，强调公式的生成过程与灵活运用。 五、学情分析 学生已掌握三角函数定义、特殊角三角函数值、诱导公式及两角和与差的余弦公式，具备一定的公式推导与运算能力，但知识迁移与灵活应用能力较弱。 中职生抽象思维能力不足，对公式的 “来龙去脉” 探究兴趣低于对 “如何应用” 的关注，适合 “直观化、情境化、问题驱动” 的教学模式。 易混淆公式中符号与函数名称，难以根据题目条件合理拆角、变角，综合应用公式解决复杂问题时易出现思路卡顿。 六、教学目标 知识层面 理解两角和与差的正弦公式，掌握公式的结构。 能力层面 能运用两角和与差的正弦公式解决三角函数的化简、求值和证明问题。 核心素养层面 通过公式的学习与应用，培养学生的数学抽象思维能力，提升数学建模的核心素养。 七、教学重点 1.两角和与差的正弦公式的推导与记忆。 2.运用公式解决三角函数化简、求值、证明问题。 八、教学难点 1.公式推导中 “利用诱导公式实现正弦与余弦的互化” 的思路构建。 2.解题中角的合理拆分、变角技巧及公式的灵活选用（如正用、逆用）。 九、教学方法 1.情境教学法：以托勒密研究天体角度计算的历史情境导入，结合 “求 sin15°、sin75°” 的挑战任务，激发探究欲。 2.探究式教学法：引导学生利用余弦公式、诱导公式自主推导正弦公式，小组讨论推导思路，展示成果。 3.讲练结合法：通过分层例题（基础题 — 提升题 — 拓展题），结合课堂练习，强化公式应用，及时纠错、总结方法。 4.多媒体辅助法：用 PPT 展示公式推导步骤、几何直观图、典型例题，借助动画演示拆角过程，降低理解难度。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 sin与cos是一对好兄弟 正弦（sin）：活泼开朗的哥哥，喜欢在坐标轴上自由跳跃，充满了动感与活力。 余弦（cos）：沉稳睿智的弟弟，总是在旁边默默支持，提供着稳定与平衡的力量。 二者性格迥异，却形影不离，共同构成了三角函数世界中最和谐的乐章。 托勒密的探索 公元2世纪，古希腊数学家托勒密在著作《天文学大成》中研究两角和与差的三角函数关系。 天文学家需要计算天体的位置，经常遇到角度相加的问题，仅有余弦公式不够，需要正弦值。 挑战任务 不查表、不用计算器，算出下列值： 这些不是特殊角，但可以拆分为特殊角的和或差： 储备知识 特殊角的正弦、余弦值 α 诱导公式五、六 公式五：； 公式六：； 用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化。 探究问题 上一节学习了 和 ，它们可以用、的正弦、余弦来表示，那么 和 是否也可以用、的正弦、余弦来表示呢？能否从余弦公式出发，推导出正弦公式呢？ 这就是我们今天要探索的内容. 让我们一起来推导“两角和与差的正弦公式”这个重要公式！ 用拟人化语言描述sin与cos的关系，贴合中职生形象思维特点，打破三角函数的抽象感，激发学生学习兴趣，快速拉近学生与知识点的距离； 引入托勒密研究天体角度计算的历史情境，说明正弦公式的实际应用价值，让学生理解“为什么学”，增强学习主动性； 设计特殊角拆分的挑战任务，既复习特殊角三角函数值，又自然引出“拆角”核心技巧，同时制造认知冲突（非特殊角无法直接求值），引导学生思考公式推导的必要性； 回顾诱导公式和余弦公式，做好知识铺垫，为后续公式推导扫清障碍，遵循“从已知到未知”的认知规律； 提出探究问题，明确本节课核心目标，引导学生主动联想旧知、探索新知，培养学生的探究意识和逻辑推理能力。 新知讲授 推导公式 用 推导 ：由，有 熟悉的两角差的余弦公式 推导 ：由，用代替，可得 公式 两角差公式：，简记作 两角和公式：，简记作 提示：展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同。 新知速记 两角差公式： 两角和公式： 指出下列公式中的错误并改正：，正确公式为 对比辨析 余弦公式：； 正弦公式：； 共同特征： 所有公式都由两个三角函数的乘积组成，且都包含、、、； 公式在形式上具有一定的对称性，但符号的差异是关键。 分步推导两角和与差的正弦公式，每一步衔接旧知（诱导公式、余弦公式），引导学生自主跟进推导过程，落实“探究式教学”理念，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养； 强调“用−β代替β”的推导方法，渗透“代换思想”； 给出公式简记形式，提炼“符号规律”，帮助中职生快速记忆公式，突破“公式记忆难”的痛点； 设计“纠错”和“对比辨析”环节，通过对比正弦、余弦公式的异同，帮助学生区分易混淆点，避免公式混用，同时深化对公式结构的理解； 整个环节层层递进，从推导到记忆再到辨析，贴合中职生“循序渐进”的学习特点，确保学生理解公式的“来龙去脉”，而非机械记忆。 案例分析 例1：求的值。 方法一： 这里的，还有什么构造方法吗？ 方法二： 例2：计算。 解： 例3：求下列各式的值。 (1) ； 解： (2) ；它与两角和的正弦公式相似，但需要进行一些变换 解： 例4：已知，，并且和都是第二象限角，求的值。 解：由，是第二象限角，得；又由，是第二象限角，得；所以 例5：已知，，，，求的值。 解：由，，得； 又由，，得； 所以 例6：已知，是第四象限角，求和的值。 解：由，是第四象限角，得； 设计分层例题，从基础到提升、从正向到逆向，贴合中职生“讲练结合”的学习需求：例1侧重“拆角技巧”应用，展示多种拆角方法，培养学生的灵活思维；例2、3侧重公式正用、逆用，强化公式记忆和应用能力；例4、5、6结合象限角三角函数值求解，兼顾“同角三角函数关系”的复习，提升学生综合运算能力。 例题讲解中注重引导提问（如“还有什么构造方法吗？”），激发学生主动思考，避免“教师单向讲授”，落实“以学生为主体”的教学理念。 例3（2）设计公式变形应用，突破“公式逆用、变形难”的教学难点，培养学生的转化思想。 每个例题都完整呈现解题步骤，规范学生的解题格式，帮助中职生养成严谨的数学运算习惯，同时为后续课堂练习和课后作业提供示范。 例题覆盖“求值、化简”等核心题型，贴合教学重点，确保学生能将公式灵活应用到实际解题中，实现“学懂会用”的目标。 学以致用 小组合作 1.计算 2.计算 练习 1.两角差的正弦公式等于（ ） A. B. C. D. [答案]B 根据两角差的正弦公式定义： 2.纠错：化简 错误解答： 正确解答： 3.化简的结果是（ ） A. B. C. D. [答案]C 根据两角差的正弦公式定义：原式 4.证明： 证明： 知识回顾 ： ： 强化记忆-连线 —— —— —— —— 设计小组合作练习，培养学生的合作交流能力，同时通过简单基础题型，让学生快速巩固公式应用，获得学习成就感，增强学习信心。 练习题型多样化，涵盖选择题、纠错题、化简题、证明题，全面检验学生对公式的记忆和应用能力，重点突破“公式符号”“逆用变形”等易错点、难点。 纠错题设计贴合中职生常见错误，通过对比错误解答和正确解答，帮助学生明确错误原因，避免重复犯错，强化对公式核心要点的理解。 知识回顾和连线游戏，采用轻松易懂的形式，帮助学生快速回顾本节课核心公式，区分正弦、余弦公式的异同，强化记忆，同时兼顾课堂趣味性，缓解学生学习疲劳。 整个环节衔接例题讲解，实现“讲练结合”，及时巩固新知，同时为后续课堂练习做好铺垫，落实“学以致用”的教学目标。 课堂练习 1.求的值。 【解析】 2.求下列各式的值。 (1) ； 【解析】 sin(5°+25°)= (2) ； 【解析】 sin(= (3) ； 【解析】 (4) ； 【解析】 3.已知，，且都是第三象限角，求和的值。 【解析】 由，是第三象限角，得；又由，是第三象限角，得；所以； 4.证明。 【解析】 5.已知，是第四象限角，求和的值。 【解析】 由，是第四象限角，得；； 6.化简。 【解析】 7.化简。 【解析】 ；； 课堂练习在“学以致用”的基础上提升难度，覆盖本节课所有核心题型和易错点，进一步强化公式的正用、逆用、变形应用，以及与同角三角函数关系、诱导公式的综合运用，落实教学重点。 练习设计兼顾不同层次学生，既有基础计算题，也有综合化简、证明题，贴合中职生“分层教学”的需求，让基础薄弱的学生巩固公式应用，让学有余力的学生提升综合能力。 每道练习题都给出详细解析，规范解题步骤，方便学生自主纠错，同时培养学生的严谨性和自主学习能力；对于易错题型（如象限角三角函数值求解、公式变形），重点标注解题关键，帮助学生突破教学难点。 通过多角度、多题型的练习，让学生熟练掌握“拆角、变角”技巧，灵活运用公式解决实际问题，确保教学目标落地；同时及时反馈学生学习情况，为教师后续答疑、调整教学节奏提供依据。 课堂小结 公式回顾：我们要记什么？ 两角和的正弦公式： 两角差的正弦公式： 课堂小结聚焦本节课核心——两角和与差的正弦公式，简洁明了，帮助学生快速梳理本节课重点知识，强化公式记忆，形成知识闭环。 作业布置 1.书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2.查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3.拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 一、储备知识 1.诱导公式：； ； 2.两角和与差的余弦公式 两角和的余弦公式 : 两角差的余弦公式 二、核心公式公式推导（核心） 两角差的正弦公式：，简记作 两角和的正弦公式：，简记作 三、关键技巧 1.符号规律：展开式符号与两角和差符号一致 2.拆角思想：非特殊角→特殊角的和/差 板书衔接教学环节，从储备知识到核心公式再到解题技巧，层层递进，呼应教学流程，帮助学生构建系统的知识框架，同时规范公式书写，为学生解题提供示范。 11、 教学反思 本节课作为新授课，围绕两角和与差的正弦公式展开，基本达成预设教学目标。课堂导入通过情境和挑战任务激发了学生兴趣，公式推导环节引导学生自主探究，落实了逻辑推理素养。但存在两点不足：一是部分学生对诱导公式的应用不够熟练，导致推导卡顿；二是拆角技巧和公式逆用能力薄弱，练习中出错率较高。后续将强化诱导公式复习，增加拆角专项练习，分层设计习题兼顾不同学生，同时优化课堂互动，及时关注学困生，提升课堂效率，确保学生扎实掌握公式及应用方法。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $