2025-2026学年高二寒假物理作业：练习一 安培力和洛伦兹力

高二物理寒假作业 练习一 安培力和洛伦兹力 1． 选择题 1. (2025·浙江金丽衢十二校联考)如图所示，菱形导线框abcd放置在水平面上，线框各边长均为L且电阻均匀分布，顶角∠abc＝θ，整个空间中存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，将电流从线框a端流入b端流出，通过ab的电流为I，则线框整体受安培力大小为(　　) A.F＝ILB B.F＝ILBcos θ C.F＝0 D.F＝2ILBcos θ 2.2 (2025·广东广州高三开学考)已知通电长直导线在其周围某点产生磁场的磁感应强度大小B0与通电导线中的电流I成正比，与该点到通电导线的距离r成反比，即B0＝k，式中k为比例系数。现有两条相距为L的通电长直导线a和b平行放置，空间中存在平行于图中菱形PbQa的匀强磁场(图中未画出)。已知菱形PbQa的边长也为L，当导线a和b中通以大小相等、方向如图所示的电流I时，P点处的磁感应强度恰好为零。下列说法正确的是(　　) A.Q点处的磁感应强度大小为 B.两导线连线中点处的磁感应强度大小为 C.匀强磁场的磁感应强度大小为 D.匀强磁场的方向从Q点指向P点 3. (2024·湖北卷，7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 4. (2025·安徽合肥高三开学考)如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝L。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子能通过cd边的最短时间t＝ B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝ C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝ D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤ 5. 如图，质量为m、长为L的直导线用两绝缘细线悬挂于O、O'，并处于匀强磁场中。当导线中通以沿x正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向夹角为θ，则磁感应强度方向和大小可能为(　　) A.z正向，tan θ B.y正向， C.z负向，tan θ D.沿悬线向上，sin θ 6. 如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　) A.电子从N到P，静电力做正功 B.N点的电势高于P点的电势 C.电子从M到N，洛伦兹力不做功 D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 7. (2025·山东济南高三开学考)如图所示，边长为2a的等边三角形PQR区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。底边中点O处有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向均匀发射同种带正电的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为q，速度大小均为v0＝。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子可能垂直PQ边出射 B.带电粒子不可能垂直PR边出射 C.从QR边出射的粒子占总粒子数的 D.从QR边出射的粒子占总粒子数的 8. 如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从图中A点以水平速度v0垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成60°角，当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了120°角，下列说法正确的是(　　) A.该粒子带正电 B.该粒子带负电 C.该粒子在磁场中运动的半径为r＝R D.该粒子在磁场中运动的时间为t＝ 9. 2025·河北省级联考)如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是(　　) A.磁场的磁感应强度大小为 B.粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边 C.粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边 D.粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 10. （2024山东青岛市平度一中期末）如图甲是利用磁场力提升导电液体电磁泵，电磁泵前后两侧为两块相同的绝缘薄板，左右两侧为两块底边长为b、间距为l的相同长方形金属薄板，其底部开有高度可忽略的狭缝。如图乙，足够大的绝缘容器中装有深度为h的导电液体，电磁泵置于容器中，两金属板间存在方向垂直纸面、磁感应强度为B的匀强磁场。将一直流电源接在两金属板间，初始时，电源的电压为0，调节电压逐渐增大，两板间液面缓慢上升。已知初始时金属板间导电液体液面高为h、导电液体的密度为ρ0、电阻率为ρ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 两金属板间匀强磁场的方向垂直纸面向外 B. 两板间液面缓慢上升过程中重力和安培力平衡 C. 当时，两板间液面高度为2h D. 两板间液面从高度h缓慢升至2h的过程中，电源消耗的电能等于 2． 计算题 11．（2026长春期末）如图所示，电源电动势E=1.5V，内阻r=0.5Ω，水平放置的金属导轨的宽度为d=1m，匀强磁场的磁感应强度B=2T，方向与放置在轨道上的导体棒MN垂直，但与竖直方向夹角为37°，导体棒MN的质量为m=0.5kg，电阻为R=1Ω，若MN 在轨道上静止，已知g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：轨道所受的压力和摩擦力？ . 12 (2024·重庆卷，14)有人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O点在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子会被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的其他影响。 (1)求O、K间的距离; (2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求M、O间的距离; (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点，求打开磁场开关的时刻。 13．（2026长春期末）如图所示，竖直平面的第一象限区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，第二象限存在水平向右的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从x轴上的P点以初速度垂直x轴进入电场中，粒子经y轴上的Q点进入磁场中、又从与Q等高的M点（未标出）离开磁场，最后到达x轴上的N点（未标出）。已知P点坐标为，Q点坐标为，粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从P到N的时间。 14．（2026河南镇平一高期末）如图，第一象限内存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为；第二、三、四象限存在方向垂直平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从轴负方向上的点沿与轴正方向成角平行平面入射，经过第二象限后恰好由轴上的点垂直轴进入第一象限，然后又从轴上的点进入第四象限，之后经第四、三象限重新回到点，回到点的速度方向与入射时相同，不计粒子重力。求： （1）粒子在第二象限做圆周运动的半径的大小； （2）粒子从点入射时的速度； （3）粒子进入第四象限时在x轴上的N点到坐标原点的距离； （4）粒子在第三、四象限内做圆周运动的半径（用已知量表示结果）。 15.（16分）（2025年5月河北雄安新区部分重点高中联考）如图所示，直角坐标系中，有一平行于y轴长度为0.5L的线状离子源MN，M端在x轴上，坐标，离子源发射的正离子初速度大小均为v，方向平行于x轴正方向，且发射的正离子沿MN均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在x≥L、y≤0区间内加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的圆形边界匀强磁场（未画出），能使离子源发射的全部正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）求磁感应强度B1的取值范围。 （2）若磁感应强度B1取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为B2的匀强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为B3的匀强磁场，已知B1=B2=B3，离子发射前，在y轴上放置长度为0.8L的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才能被探测到。 ①求全部正离子经过原点O时与y轴正方向夹角的范围； ②若探测板下端Q的纵坐标yQ=2.4L，求离子探测率η（即探测板探测到的离子数占总离子数的比例）； ③若探测板位置在y轴上可变，Q端纵坐标满足0<yQ<4L，求离子探测率η与yQ的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二物理寒假作业 练习一 安培力和洛伦兹力 1． 选择题 1. (2025·浙江金丽衢十二校联考)如图所示，菱形导线框abcd放置在水平面上，线框各边长均为L且电阻均匀分布，顶角∠abc＝θ，整个空间中存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，将电流从线框a端流入b端流出，通过ab的电流为I，则线框整体受安培力大小为(　　) A.F＝ILB B.F＝ILBcos θ C.F＝0 D.F＝2ILBcos θ 答案　A 解析　线框的有效长度为L，由于Radcb＝(Rbc＋Rcd＋Rda)，两个支路是并联关系，因此流过线框的总电流I总＝I＋I＝I，等效电流与磁场垂直，线框整体受安培力大小为F＝I总LB＝ILB，故A正确。 2.2 (2025·广东广州高三开学考)已知通电长直导线在其周围某点产生磁场的磁感应强度大小B0与通电导线中的电流I成正比，与该点到通电导线的距离r成反比，即B0＝k，式中k为比例系数。现有两条相距为L的通电长直导线a和b平行放置，空间中存在平行于图中菱形PbQa的匀强磁场(图中未画出)。已知菱形PbQa的边长也为L，当导线a和b中通以大小相等、方向如图所示的电流I时，P点处的磁感应强度恰好为零。下列说法正确的是(　　) A.Q点处的磁感应强度大小为 B.两导线连线中点处的磁感应强度大小为 C.匀强磁场的磁感应强度大小为 D.匀强磁场的方向从Q点指向P点 答案　C 解析　由题意知通电导线电流在P点处产生的磁场的磁感应强度大小B＝k，由安培定则知导线a和b中的电流在P点处产生的磁场的磁感应强度方向如图所示，由平行四边形定则可知电流产生的合磁感应强度方向由Q点指向P点，大小仍为k，则匀强磁场的磁感应强度方向应由P点指向Q点，且大小为k，才能使P点处的磁感应强度恰好为零，故C正确，D错误;同理可知，Q点处的磁感应强度也为零，故A错误;由于两导线连线中点到两导线的距离均为，两导线在该处产生的磁感应强度大小均为2k，方向均由Q点指向P点，则两导线连线中点处的合磁感应强度大小为B＝2×2k－k＝3k，故B错误。 3. (2024·湖北卷，7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 答案　D 解析　根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误;当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最短时间间隔为tmin＝2T1＝，C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。 4. (2025·安徽合肥高三开学考)如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝L。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子能通过cd边的最短时间t＝ B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝ C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝ D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤ 答案　D 解析　粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，如图所示，根据几何关系有(r2－L)2＋(L)2＝，解得r2＝2L，则转过的圆心角的正弦sin θ＝，即θ＝60°，粒子在磁场中运动的周期T＝，则粒子能通过cd边的最短时间t＝T＝，故A错误;若粒子恰好从c点射出磁场，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，解得v2＝，故B错误;若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其半径r1＝，根据qv1B＝m，解得v1＝，故C错误;若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点射出时半径最大，对应的入射速度最大，则vm＝，若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v≤，故D正确。 5. 如图，质量为m、长为L的直导线用两绝缘细线悬挂于O、O'，并处于匀强磁场中。当导线中通以沿x正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向夹角为θ，则磁感应强度方向和大小可能为(　　) A.z正向，tan θ B.y正向， C.z负向，tan θ D.沿悬线向上，sin θ 答案　BC 解析　磁感应强度方向为z正方向时，根据左手定则知，直导线所受安培力方向沿y负方向，则直导线不可能处于平衡状态，故A错误;磁感应强度方向为y正向时，根据左手定则，直导线所受安培力方向沿z正方向，此时细线的拉力可为零，由平衡条件得ILB＝mg，解得B＝，故B正确;磁感应强度方向为z负向时，根据左手定则，直导线所受安培力方向沿y正方向，由平衡条件得ILB＝mgtan θ，解得B＝tan θ，故C正确;磁感应强度方向沿悬线向上时，由左手定则可知，安培力垂直于导线斜向左下方，直导线不可能处于平衡状态，故D错误。 6. 如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　) A.电子从N到P，静电力做正功 B.N点的电势高于P点的电势 C.电子从M到N，洛伦兹力不做功 D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 答案　BC 解析　由题可知电子所受静电力水平向左，电子从N到P的过程中静电力做负功，故A错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，N点的电势高于P点的电势，故B正确;洛伦兹力总是和速度方向垂直，电子从M到N，洛伦兹力不做功，故C正确;M点和P点在同一等势面上，从M点到P点静电力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受静电力作用，在匀强电场中电子在这两点所受静电力相等，即所受合力相等，故D错误。 7. (2025·山东济南高三开学考)如图所示，边长为2a的等边三角形PQR区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。底边中点O处有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向均匀发射同种带正电的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为q，速度大小均为v0＝。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子可能垂直PQ边出射 B.带电粒子不可能垂直PR边出射 C.从QR边出射的粒子占总粒子数的 D.从QR边出射的粒子占总粒子数的 答案　ABD 解析　带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝a，根据几何关系可知，带电粒子可能垂直PQ边出射，此时粒子竖直向上射入，同理带电粒子不可能垂直PR边出射，故A、B正确;根据几何关系可知粒子可以从Q点射出，设此时粒子射入磁场的方向与QR边的夹角为θ，根据几何关系可知sin θ＝，解得θ＝30°，则从QR边出射的粒子占总粒子数的，故C错误，D正确。 8. 如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从图中A点以水平速度v0垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成60°角，当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了120°角，下列说法正确的是(　　) A.该粒子带正电 B.该粒子带负电 C.该粒子在磁场中运动的半径为r＝R D.该粒子在磁场中运动的时间为t＝ 答案　ACD 解析　根据带电粒子的偏转方向，由左手定则可知，该粒子带正电，A正确，B错误;粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系，粒子做圆周运动的半径为r＝R，C正确;粒子在磁场中运动的周期为T＝，则粒子在磁场中的运动时间为t＝，D正确。 9. 2025·河北省级联考)如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是(　　) A.磁场的磁感应强度大小为 B.粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边 C.粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边 D.粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 答案　AD 解析　粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得r＝，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m，联立解得B＝，故A正确;由几何关系知，粒子第二次通过ab边时恰好过P点，故B、C错误;设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则T＝，粒子在三角形abc内运动的路程为s＝2×2×cos 30°＝L，粒子从a点到第二次通过ab边所用的时间为t＝2×T＋T＋，故D正确。 10. （2024山东青岛市平度一中期末）如图甲是利用磁场力提升导电液体电磁泵，电磁泵前后两侧为两块相同的绝缘薄板，左右两侧为两块底边长为b、间距为l的相同长方形金属薄板，其底部开有高度可忽略的狭缝。如图乙，足够大的绝缘容器中装有深度为h的导电液体，电磁泵置于容器中，两金属板间存在方向垂直纸面、磁感应强度为B的匀强磁场。将一直流电源接在两金属板间，初始时，电源的电压为0，调节电压逐渐增大，两板间液面缓慢上升。已知初始时金属板间导电液体液面高为h、导电液体的密度为ρ0、电阻率为ρ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 两金属板间匀强磁场的方向垂直纸面向外 B. 两板间液面缓慢上升过程中重力和安培力平衡 C. 当时，两板间液面高度为2h D. 两板间液面从高度h缓慢升至2h的过程中，电源消耗的电能等于 【答案】BC 【解析】 . 液体受安培力向上，则由左手定则可知，两金属板间匀强磁场的方向垂直纸面向里，选项A错误； . 两板间液面缓慢上升过程中向下的重力和向上的安培力平衡，选项B正确； ．对于液面的高度稳定在2h时，两板间液体的电阻为R，则有 对于两板间所加电压为U时，假设流过导电液体的电流为I，根据欧姆定律可得 当外加的磁场具有的磁感应强度大小为B时，假设液体所受到的安培力的大小为F，则有 F=BIl 对于两板间液面稳定在高度2h时，假设两板间高出板外液面的液体质量为m,则有 m=ρ0bhl 两板间液体受到的安培力与两板间高出板外液面的液体重力平衡，则有 F=mg 联立以上式子解得 故C正确； 两板间液面从高度h缓慢升至2h的过程中，液体重力势能的增量为E=mgh=ρ0blh2g 除此之外电阻上还产生热能，则电源消耗的电能大于ρ0blh2g，即故D错误。 2． 计算题 11．（2026长春期末）如图所示，电源电动势E=1.5V，内阻r=0.5Ω，水平放置的金属导轨的宽度为d=1m，匀强磁场的磁感应强度B=2T，方向与放置在轨道上的导体棒MN垂直，但与竖直方向夹角为37°，导体棒MN的质量为m=0.5kg，电阻为R=1Ω，若MN 在轨道上静止，已知g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：轨道所受的压力和摩擦力？ 【答案】．压力大小为3.8N，方向竖直向下；  摩擦力大小为1.6N，方向水平向右 【解析】回路的电流 安培力 由左手定则可知，MN受安培力方向垂直于B斜向右上方与水平方向的夹角为37°，可知轨道对MN的支持力为 轨道对MN的摩擦力为，方向向左； 由牛顿第三定律可知，压力大小为3.8N，方向竖直向下；摩擦力大小为1.6N，方向水平向右。 . 12 (2024·重庆卷，14)有人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O点在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子会被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的其他影响。 (1)求O、K间的距离; (2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求M、O间的距离; (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点，求打开磁场开关的时刻。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)当速率为v0的粒子经过O点时打开磁场开关，根据左手定则可判断粒子将沿逆时针方向做匀速圆周运动，设半径为r，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝ 由于该粒子会被收集，则作出该粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何知识有 OK＝2r＝。 (2)当速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集， 作出其运动轨迹如图乙所示 由洛伦兹力提供向心力有4qv0B＝ 设M、O之间的距离为d，由几何知识有 ＝(r1－2r)2＋d2 联立解得d＝。 (3)速度为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍经过K点，则N点在O点右侧，作出t时刻打开磁场开关后粒子的运动轨迹如图丙所示 设打开磁场开关时O、N间的距离为l，则由几何关系可得＝(r1－2r)2＋l2 解得l＝2r 则打开磁场的时刻为t＝。 13．（2026长春期末）如图所示，竖直平面的第一象限区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，第二象限存在水平向右的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从x轴上的P点以初速度垂直x轴进入电场中，粒子经y轴上的Q点进入磁场中、又从与Q等高的M点（未标出）离开磁场，最后到达x轴上的N点（未标出）。已知P点坐标为，Q点坐标为，粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从P到N的时间。 【答案】．(1) (2) (3) 【解析】（1）带电粒子在电场中做抛体运动，根据牛顿第二定律有 沿轴方向有 沿轴方向有 联立解得。 （2）粒子进入磁场的速度为，则有， 代入数据解得 粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知粒子速度与水平方向夹角满足 则有 由几何关系可知，粒子轨迹圆的圆心在轴上的点，粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆半径 由牛顿第二定律可得 代入数据解得。 （3）粒子在磁场内运动的圆心角为，由对称性可知粒子出磁场后方向的速度大小仍为，粒子从到的时间仍为，则粒子从到的时间为 代入数据得。 14．（2026河南镇平一高期末）如图，第一象限内存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为；第二、三、四象限存在方向垂直平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从轴负方向上的点沿与轴正方向成角平行平面入射，经过第二象限后恰好由轴上的点垂直轴进入第一象限，然后又从轴上的点进入第四象限，之后经第四、三象限重新回到点，回到点的速度方向与入射时相同，不计粒子重力。求： （1）粒子在第二象限做圆周运动的半径的大小； （2）粒子从点入射时的速度； （3）粒子进入第四象限时在x轴上的N点到坐标原点的距离； （4）粒子在第三、四象限内做圆周运动的半径（用已知量表示结果）。 【答案】．（1） （2） （3） （4） 【解析】（1）由几何关系得 解得 （2） 由上两式解得 粒子在第四、三象限中做圆周运动，由几何关系可知 设粒子在轴上点的速度为，有 又 解得 所以 （3）设点的纵坐标为，由几何关系得 设粒子在电场中运动的时间为，点横坐标为，则有和 解得 （4）粒子在第四、三象限中运动半径为，圆心为，则 解得 15.（16分）（2025年5月河北雄安新区部分重点高中联考）如图所示，直角坐标系中，有一平行于y轴长度为0.5L的线状离子源MN，M端在x轴上，坐标，离子源发射的正离子初速度大小均为v，方向平行于x轴正方向，且发射的正离子沿MN均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在x≥L、y≤0区间内加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的圆形边界匀强磁场（未画出），能使离子源发射的全部正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）求磁感应强度B1的取值范围。 （2）若磁感应强度B1取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为B2的匀强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为B3的匀强磁场，已知B1=B2=B3，离子发射前，在y轴上放置长度为0.8L的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才能被探测到。 ①求全部正离子经过原点O时与y轴正方向夹角的范围； ②若探测板下端Q的纵坐标yQ=2.4L，求离子探测率η（即探测板探测到的离子数占总离子数的比例）； ③若探测板位置在y轴上可变，Q端纵坐标满足0<yQ<4L，求离子探测率η与yQ的关系。 【答案】.（1） （2）① ②40% ③见解析 【解析】（1）离子在圆形磁场中汇聚到O，离子运动圆周半径r等于圆形磁场的半径R，即r=R，如图1所示 所加圆形边界磁场的半径R满足 由 得 （2）若时，离子圆周运动的半径 ①，解得，即与y轴正方向的夹角范围 ②若，离子经过B2、B3两个磁场后在y轴方向上离O的距离 临界1（如图2中轨迹①）有，解得 临界2（如图2中轨迹②）有，解得 ③，分成4个区间 i）当时， ii）当时，，解得 解得 iii）当时， 解得 iv）当时，离子穿过O点后经过一个运动周期打到探测板左侧，，解得 离子穿过O点后经过两个运动周期打到探测板左侧， ，解得 解得 学科网（北京）股份有限公司 $