第13讲导数中的构造函数讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习导数专题（新高考通用）

第 13讲 构造函数在导数中的应用 目录 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 4 解题策略 4 题型归纳 6 题型01：构造型 6 题型2：构造型 7 题型3：构造f（x）/x 8 题型4：构造型 11 题型05：构造f（x）/e型 13 题型06：构造型 15 题型07：构造sinx与f（x）型 16 题型08：构造cosx与f（x）型 19 题型09： 构造型 20 题型10：构造与型 22 题型11：（kx+b）与f（x）等构造 25 题型12 ：与ln（kx+b）结合型 27 题型13：添加因式型 29 题型14：二次构造 29 题型15：综合构造 31 题型16：技巧计算型构造 32 题型17：导数解答题之构造新函数类 34 巩固提升 38 同构、构造函数选择填空压轴题 40 构造函数是导数模块的核心解题思想与方法，贯穿导数所有综合题型，本质是通过构造新函数将未知问题转化为“单调性、极值、零点”等已知可解问题，是高考导数压轴题的解题关键，侧重考查转化与化归、逻辑推理、数形结合核心素养，区分度极高。 一、考纲定位与命题趋势 1. 考纲要求：掌握导数研究函数单调性、极值的基本方法，能根据问题特征构造合适的新函数，解决不等式证明、恒成立、零点关系、极值点偏移等综合问题，考查函数与方程思想的灵活应用。 2. 命题趋势：近5年新高考/全国卷考查频率100%，无构造不压轴，常融合在导数解答题第2-3小问；构造形式从“基础型”向“复合型、变式型”升级，如由单一f(x)+g(x)向e^x·f(x)、f(x)/x等同构/异构构造发展，新高考更侧重“构造的合理性与技巧性”，而非简单公式化构造。 3. 命题特点：不直接要求“构造函数”，需考生根据问题条件（如不等式形式、零点关系、导数特征）自主判断构造方向，核心考查“为什么构造、构造什么、怎么构造”，而非单纯的求导计算。 二、高考考情分布 1. 题型与分值 ①解答题为主：占导数模块分值的60%-80%，多在压轴解答题（21/22题）第2小问，分值4-6分；选填题中为中档题，侧重基础构造，分值5分。 ②融合性极强：无单独命题，常与不等式证明（含恒成立）、零点关系证明、极值点偏移、隐零点、导数恒正/恒负判定融合考查，是解决这些题型的“必经步骤”。 2. 考查难度梯度 ①基础构造（选填/解答第1小问）：和差型、简单分离型，占比30%，全员可掌握； ②中档构造（解答第2小问）：积商型、对称型，占比50%，重点突破得分； ③高阶构造（压轴解答）：同构型、放缩型、多步构造，占比20%，冲刺满分核心。 构造函数是导数模块的核心解题思想，学习目标按基础掌握、能力提升、压轴突破、素养落地分层，适配高考导数从基础到压轴的考查梯度，兼顾构造方法、逻辑应用、应试规范，最终实现“见题定构造、构造能解题”的核心能力。 一．基础目标（全员掌握，保底得分） 1. 理解构造函数的核心本质：将未知问题（不等式、恒成立等）转化为可研究的函数单调性、极值/最值问题，明确“为什么构造”的底层逻辑。 2. 掌握2类基础构造方法，能精准构造并解决简单导数问题： ①和差型构造： ②基础积商型构造： 3. 完成基础解题闭环：对构造的新函数，能规范完成“求导→判单调性→求最值→推导结论”的步骤，无求导计算、单调性判定错误。 4. 能识别高考基础构造场景：直接不等式证明（如>x+1）、简单导数符号判断、无参恒成立问题，做到快速构造、快速求解。 二．提升目标（重点掌握，突破中档） 1. 精通4类专项构造方法，适配高考中档导数题型，能根据场景灵活选择构造方式： ①参变分离构造：恒成立求参数范围时，能分离参数构造g(x)，转化为求g(x)的最值； ②对称型构造：极值点偏移问题中，能围绕极值点构造F(x)=f(+x)-f(-x)； ③ 放缩型基础构造：能利用常见放缩式（≥x+1、ln x≤x-1）构造辅助函数，简化证明； ④ 变式积商型构造：能匹配系数构造，解决复杂导数组合问题。 2. 具备构造合理性判断能力：能快速排除错误构造方式，避免“构造后无法求导、无法判单调”的无效操作。 3. 解决高考中档融合题型：能独立解决“构造函数+隐零点”“构造函数+含参不等式证明”“构造函数+简单极值点偏移”的综合问题，步骤规范，踩准阅卷得分点。 4. 掌握构造简化技巧：构造后能对F’(x)快速因式分解、化简，精准判断导数符号，提升解题效率。 三．压轴目标（拔高掌握，冲刺满分） 1. 攻克3类高阶构造方法，解决高考导数压轴题，实现构造的灵活性与技巧性： ①同构型构造：能识别含e^x、\ln x的超越式同构特征，构造单调函数F(t)，将问题转化为自变量的大小比较； ②多步构造：一次构造无法解决时，能通过“二次构造辅助函数→放缩→再构造核心函数”逐步简化问题； ③多元构造：双零点、多参数问题中，能通过换元、消参构造单变量函数，实现“多元转一元”。 2. 具备自主构造能力：面对无固定模板的创新压轴题，能根据问题条件、解析式特征、待证结论自主分析构造方向，完成“构造什么→怎么构造”的逻辑推导。 3. 解决高考高阶融合题型：能攻克“构造函数+双隐零点+极值点偏移”“构造函数+超越不等式放缩+多参数范围”“同构构造+恒成立”的压轴难题，逻辑链完整无跳跃。 4. 实现构造优化与提速：能快速判断最优构造路径，避免复杂构造导致的计算量过大；对高考高频压轴模型，形成“条件反射式”构造，适配高考应试节奏。 导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查。重点考查函数与方程思想、转化与化归思想。构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性，但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，要有目的、有意识的进行构造，始终“盯住”要解决的目标。 知识点一 ：导数的构造法 1、 加-乘不等号型 （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意对的符号进行讨论） （5） 构造 2、减-除不等号型 （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意对的符号进行讨论） （10） 构造 构造函数的核心逻辑是“循特征、定类型、转问题、巧推导”，即根据题干的解析式形式、待证结论、导数组合特征，选择适配的构造类型，将原问题转化为“研究新函数的单调性、极值/最值、零点”的可解问题，最终回扣原结论。以下按高考考频排序梳理构造类型、适用场景、解题步骤及技巧，附避错要点，适配所有导数构造题型。 一、核心构造原则（先判原则，再选方法） 1. 简单优先：能和差构造不选积商，能单步构造不做多步，避免过度构造增加计算量； 2. 特征匹配：导数组合形式定积商构造，极值点偏移定对称构造，超越式定同构构造； 3. 目标导向：证明不等式→构造函数求最值，判断导数符号→构造积商型函数，零点关系→构造对称/放缩函数； 4. 定义域同步：构造的新函数定义域与原函数一致，含ln x、分式时必标注，避免临界点分析错误。 二、高考高频构造类型及精准解题策略（按考频/难度排序） 类型1：和差型构造（基础万能型，高考占比30%） 适用场景 ①直接证明函数不等式：f(x)≥g(x)/f(x)>g(x)+C（C为常数）； ②简单恒成立问题：f(x)≥a恒成立，求a的范围； ③判断函数单调性/求最值：原函数形式复杂，拆分后更易分析。 核心策略 作差转化，求最值定符号，将不等式/恒成立问题转化为“新函数的最值与0的关系”。 解题步骤 1. 构造新函数：F(x)=f(x)-g(x)（证f(x)>g(x)）或F(x)=f(x)-a（恒成立问题）； 2. 求导化简：求()，因式分解/合并同类项，精准找临界点（()=0的解）； 3. 判定单调：由()的符号划分F(x)的单调区间； 4. 求最值：求F(x)的极小/大值（或端点趋势），确定/； 5. 回扣结论：若≥0，则f(x)≥g(x)；若≤0，则f(x)≤g(x)。 类型2：积商型构造（进阶核心型，高考占比25%） 适用场景 ① 已知导数线性组合形式：如()+kf(x)、x()-kf(x)（k为常数），判断f(x)单调性/证明不等式； ②原函数导数无法直接判断符号，需通过积商变形简化。 核心策略 逆用导数四则运算法则，将“()与f(x)的组合式”转化为“单一新函数的导数”，通过新函数单调性反推原组合式的符号。 解题步骤 1. 匹配构造模板：根据导数组合形式，直接套用高频模板（系数需精准匹配）； 2. 求导验证：对新函数求导，确认导数为原组合式（或组合式×正系数，不改变符号）； 3. 判定新函数单调性：由导数符号确定F(x)的单调区间； 4. 结合条件推结论：利用F(x)的单调性/最值，反推原函数f(x)的性质或证明不等式。 类型3：对称型构造（压轴专属型，高考占比20%） 适用场景 极值点偏移问题：已知f(x)有两个零点,，极值点为，证明+>2>/+<2。 核心策略 围绕极值点对称构造，将双零点问题转化为“单变量函数的单调性判定”，利用f()=f()结合新函数单调性推导零点关系。 解题步骤（固定模板，高考直接套用） 1. 求原函数极值点：求()，确定f(x)的极值点（唯一极值点，偏移问题必备）； 2. 构造对称新函数：和型偏移（证+>2）→F(x)=f(+x)-f(-x)；积型偏移（证>）→F(x)=f(·x)-f(/x)（x>0）； 3. 研究新函数单调性：求()，判定F(x)在(0,+∞)上的单调性（通常为单调递增/递减）； 4. 利用特殊点定符号：由F(0)=0（和型）/F(1)=0（积型），得x>0时F(x)>0或F(x)<0； 5. 结合零点条件推导：设<<，由f()=f()结合F(x)的符号，推得f()>f(2-)（或反向），再由f(x)的单调性得>2-，即+>2。 类型4：参变分离型构造（中档实用型，高考占比15%） 适用场景 含参恒成立/存在性问题：f(x,a)≥0恒成立;存在x使f(x,a)≤0，求参数a的取值范围（可分离参数，无漏根/增根）。 核心策略 分离参数，构造单变量函数，将含参问题转化为“求新函数的最值”，避免复杂的分类讨论。 解题步骤 1. 等价分离参数：将原式变形为a≥g(x)（恒成立）或a≤g(x)（恒成立）/a≥（存在性），确保变形等价（乘除式子需讨论符号，避免漏根）； 2. 构造单变量函数：令g(x)为分离 题型01：构造型 【典型例题1】已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为，所以，即， 所以在R上单调递减. 不等式等价于不等式， 即.因为， 所以， 所以.因为在R上单调递减， 所以，解得.故选:B 【典型例题2】已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，则， 所以函数在定义域上为减函数，且， 所以的解集为，即的解集为，选A. 【变式训练1-1】已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 题型2：构造型 1.， 2. 【典型例题1】设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答. 依题意，令函数，则， 因，于是得时，时， 从而有在上单调递减，在上单调递增， 因此得：，而，即f(x)不恒为0， 所以恒成立.故选：A 【典型例题2】已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，当时，， 构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 且当时，，所以，函数在上单调递减， 因为， 由可得，即， 所以，，故， 即或，解得或.故选：C. 【变式训练2-1】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是 A． B． C． D． 【变式训练2-2】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知奇函数的定义域为，导函数为，若对任意，都有恒成立，，则不等式的解集是__________. 【变式训练2-5】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型3：构造f（x）/x 1.， 2. 【典型例题1】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，， ∵，，∴，>0 ∴函数在上单调递增，∴，即，， 令，，， ∵，，， ∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D. 【典型例题2】已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数， 利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当 时，即，，当 时，即，. 构造函数 , , 当 时，，故，在 上单调递增， 又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在 单调递减. ,则，;， 当 时，即，，所以 ； 当 时，即，，所以. 综上所述，.故选：A 【变式训练3-1】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使得成立的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（ ） A．（－∞,1） B．（－1,1） C．（－∞,0）∪（0,1） D．（－1,0）∪（0,1） 题型4：构造型 1.， 2. 【典型例题1】已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可.构造函数,计算导函数得到=，由>0,得当,>0当时,<0.所以在单调递增,在单调递减,而,所以关于对称,故,得到,故选:D. 【典型例题2】已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可． 由题意：不等式可化为：， 两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数， 因为， ，所以 所以在上是单调增函数，又因为为偶函数， 故，解得：．故选：B． 【典型例题3】已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，根据导数可知其在上单调递增，由可知AB错误，同时得到，，，结合奇偶性知C错误，D正确. 对于AB，令，则， ， 当时，，在上单调递增， ，即， ，，AB错误； 对于C，由A的推理过程知：当时，， 则当时，，，， 又为奇函数，，，C错误． 对于D，由A的推理过程知：，又，，，则，D正确． 故选：D. 【变式训练4-1】设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知函数的导函数为，且若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】已知函数，若且，则有（       ） A．可能是奇函数，也可能是偶函数 B． C．时， D． 【变式训练4-8】是定义在上的函数，满足，，则下列说法错误的是（    ） A．在上有极大值 B．在上有极小值 C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值 题型05：构造f（x）/e型 1.， 2. 【典型例题1】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的图像关于直线对称，所以， 设，则 ， 因为，所以，所以在上为减函数， 又 ，因为，所以 ，所以.故选：. 【典型例题2】已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集. 由，而知：在上单调减， 而，即，又知：， ∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数， ∴在上单调增，即，可得， 综上，有，故选：A 【典型例题3】已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ∴在上单调递减. 又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为.故选：B． 【变式训练5-2】设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练5-3】是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知定义域为的函数的导函数为，且，，则以下错误的有（    ） A．有唯一的极值点 B．在上单调递增 C．当关于的方程有三个实数根时，实数的取值范围为 D．的最小值为 【变式训练5-5】（多选）已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是 A． B． C． D．不确定 【变式训练5-7】已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________． 题型06：构造型 【典型例题1】设是定义在R上的连续奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令. 则，所以在上单调递减. 又，所以当时，，而，所以； 所以当时，，而，所以. 在中，令x=1可得：. 所以当时都要 又是定义在R上的连续奇函数，所以，当时，. 所以可化为：或或， 解得：或或. 综上所述：.故选：B 【典型例题2】已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，可得，单调递增， 又因为，，， 且，， 得，，整理得，AC正确；故选：AC 【变式训练6-1】已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型07：构造sinx与f（x）型 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 【典型例题1】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案. 构造函数，由在上恒有， ，在上为增函数， 又由，为偶函数，，，， ，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，， ，，故B正确； ，，，，故C错误； ，，，，故D错误. 故选：B. 【典型例题2】已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 , ,所以选C. 【变式训练7-1】已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08：构造cosx与f（x）型 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 【典型例题1】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得， 不等式的解集为.故选：B 【典型例题2】已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得，故选：D 【变式训练8-1】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是 A．是增函数 B．是减函数 C．有极大值 D．有极小值 【变式训练8-3】已知的定义域为且满足，为的导函数，，则下列结论正确的是（       ） A．有极大值无极小值 B．无极值 C．既有极大值也有极小值 D．有极小值无极大值 题型09： 构造型 【典型例题1】已知函数，是其导函数，，恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以，即， 所以，故A错误； 因为，所以， 又， 所以，故B错误； 因为，所以，， 即，， 因为， 所以，，故C错误，D正确．故选：D 【典型例题2】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，由在上恒有成立， 即在上为增函数， 又由为偶函数 ，故A错误. 偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，故B正确； ， ，故C错误； ，，故D错误.故选：B 【变式训练9-1】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ） A．（，π） B． C． D． 【变式训练9-3】已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型10：构造与型 【典型例题1】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，，故，即，解不等式得到答案. 设，则， ，故，故，即， ，即，，故.故选：. 【典型例题2】已知函数，其中为自然对数的底数，若时，函数有2个零点，则实数a的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知方程有两个实数根，令，则的图象与直线有两个交点，结合导数分析函数的单调性与极值情况即可解决问题． 由题意可知方程有两个实数根， 令，则的图象与直线有两个交点，． （1）若在上恒成立，所以在上单调递减， 的图象与直线至多只有一个交点，不合题意； （2）若，当时，，当时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以当时，取得极大值，也是最大值，为． 当时，，当时，， 所以要使的图象与直线有两个交点，只需． ，当时，，当时，， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，而， 所以的解为，而， 故选：D． 【典型例题3】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】构造函数，由题知 得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解. 构造函数，在上，等价于，, ,得 ，在上单增，在上单减， 在上，恒成立，又，则 又在上，等价于，即，则 不等式的解集为故答案为： 【变式训练10-1】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练10-3】已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11：（kx+b）与f（x）等构造 【典型例题1】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据所求不等式的形式，构造函数，利用题目中的条件判断出在上单调递减，进而将所求转化为，再利用单调性求出解集． 设，则． 因为，所以，即，所以在上单调递减． 不等式等价于不等式，即． 因为，所以，所以． 因为在上单调递减，所以，解得． 故选：C． 【典型例题2】已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，根据导数可知其在上单调递增，由可知AB错误，同时得到，，，结合奇偶性知C错误，D正确. 对于AB，令，则， ， 当时，，在上单调递增， ，即， ，，AB错误； 对于C，由A的推理过程知：当时，， 则当时，，，， 又为奇函数，，，C错误． 对于D，由A的推理过程知：，又，，，则，D正确． 故选：D. 【变式训练11-1】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【变式训练11-2】设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 题型12 ：与ln（kx+b）结合型 1. 2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果 【典型例题1】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可. 令，，则，在上单调递减，而， 因此，由得，而，则，由得，而，则，又， 于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，， 由得：或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 【典型例题2】设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小. 由题意，在上的函数恒成立， 若，则， ∵上，即， ∴在上单调递减，而，故 ∴，可得. 故选：B 【变式训练12-1】已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 【变式训练12-3】定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式训练12-4】设，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【变式训练12-5】已知命题p：在中，若，则，命题，.下列复合命题正确的是（    ） A． B． C． D． 题型13：添加因式型 【典型例题1】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式. 解：由题意得，则， 由，解得：，故，（2）， 当时，，，，在上恒成立， 即在上单调递增，又，故为上的偶函数， 其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C． 【变式训练13-1】定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是 A． B． C． D． 题型14：二次构造 二次构造： 【典型例题1】已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解． 因为，所以，即，亦即 ，又，所以，即有． 原不等式可等价于， 即，解得的取值范围是．故选：A． 【典型例题2】已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集. 解：由， 当时，可得， 即， 即， 构造函数，所以函数递增， 则，此时，即满足； 当时，可得， 由函数递增，则，此时或，即满足； 当时，，即满足. 综上，.故选：C. 【变式训练14-1】已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型15：综合构造 【典型例题1】定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A，B， C， 将代入条件可得，可判断选项D. 由题可得，所以， 设则， 所以在上单调递减，且由可得， 所以，，所以选项A､B错误，选项C正确. 把代入，可得，所以选项D错误， 故选：C. 【典型例题2】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果. 由可得， 即，所以（其中为常数）， 因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数. 当时，，所以，在上是增函数. 故 故选：C. 【变式训练15-1】定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型16：技巧计算型构造 【典型例题1】定义在上的函数的导函数为，若，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求 因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C 【典型例题2】已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意构造函数，借助单调性问题转化为ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0在上有解，变量分离求最值即可． 由是定义在上的奇函数, 当时,满足.可设故为上的增函数， 又 ∴ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0在上有解，∴a≥x3﹣3x+3﹣， 令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0， 故g（x）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； 故gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D． 【变式训练16-1】定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为 A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知函数在上处处可导，若，则（ ） A．一定小于 B．一定大于 C．可能大于 D．可能等于 题型17：导数解答题之构造新函数类 【典型例题1】已知函数，，其中，均为实数． （1）求的极值； （2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值； （3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（1），令，解得， ，时，；时，，根据极大值的定义知：极大值是（1），无极小值． （2）当，时，，所以在，上，所以在，上是增函数． 设，所以在，上，所以在，上为增函数． 设，则恒成立，变成恒成立，即：恒成立，即：．设，则在，上为减函数． 在，上恒成立． 恒成立．设，所以，因为，，所以，所以，所以为减函数． 在，上的最大值为（3）． ，的最小值为：． （3）由（1）知在，上单调递增，在，单调单调递减，又，（e），所以的值域是，． ； 当时，，在，为减函数，由题意知，在，不是单调函数；故不合题意； 当时，，由于在，上不单调，所以，即；① 此时在递减，在，递增； （e），即，解得；② 所以由①②，得； ，，（1）满足条件． 下证存在，使得； 取，先证，即证；③ 设，则在，时恒成立； 在，上递增，，所以③成立； 再证； ，时，命题成立． 所以的取值范围是：，． 【典型例题2】已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）易求 的定义域，， ， ， ，解得： 或，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，． （Ⅱ）由题意知， ， 令，则，由有两个极值点，， 得， 又因为， 所以， 所以 ， 令，， ， 因为， ， 所以在，1单调递减，故（1）， 综上所述． 【典型例题3】已知函数为常数）有两个极值点． （1）求实数的取值范围； （2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】解：（1）由题设知，函数的定义域为， 且有两个不同的正根，即两个不同的正根，， 则，， ，，，，，，，， ，是的两个极值点，符合题意， ； （2）， ， 令，则， ， ， 在上单调递减， ， 不等式恒成立，， 是的最小值． 【变式训练17-1】记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，． （1）求函数在，上的值域； （2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式训练17-2】已知函数，． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练17-3】已知． （1）当时， ①求的图象在点处的切线方程； ②当时，求证：． （2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【变式训练17-4】已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立； （Ⅲ）若正实数，满足，证明． 【变式训练17-5】设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，，，函数，求证：； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足． 1.已知定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A． B． C． D． 2.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（ ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4.若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 6.已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为 A． B． C． D． 7.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 10.设函数是偶函数的导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11.已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 12.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13.已知定义在上的奇函数，导函数为，且当时，，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14.设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是 A． B． C． D． 15.已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是__________． 16.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 17．已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 同构、构造函数选择填空压轴题 一、单选题 1.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．对任意，恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若在定义域上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，则可取（    ） A． B． C．1 D． 一、填空题 1．设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 2．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 3．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 4．若不等式对任意成立，则实数的最小值为 ． 5．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数的取值范围是 6．已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 7．已知实数，满足，则的取值范围为 . 8．已知是方程的一个根，则 . 9．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 . 10．若，则实数a的取值范围为 ． 11．已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为 . 12．关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 13讲 构造函数在导数中的应用 目录 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 7 题型01：构造型 7 题型2：构造型 8 题型3：构造f（x）/x 12 题型4：构造型 16 题型05：构造f（x）/e型 23 题型06：构造型 28 题型07：构造sinx与f（x）型 30 题型08：构造cosx与f（x）型 35 题型09： 构造型 39 题型10：构造与型 43 题型11：（kx+b）与f（x）等构造 48 题型12 ：与ln（kx+b）结合型 52 题型13：添加因式型 56 题型14：二次构造 58 题型15：综合构造 61 题型16：技巧计算型构造 64 题型17：导数解答题之构造新函数类 66 巩固提升 76 同构、构造函数选择填空压轴题 86 构造函数是导数模块的核心解题思想与方法，贯穿导数所有综合题型，本质是通过构造新函数将未知问题转化为“单调性、极值、零点”等已知可解问题，是高考导数压轴题的解题关键，侧重考查转化与化归、逻辑推理、数形结合核心素养，区分度极高。 一、考纲定位与命题趋势 1. 考纲要求：掌握导数研究函数单调性、极值的基本方法，能根据问题特征构造合适的新函数，解决不等式证明、恒成立、零点关系、极值点偏移等综合问题，考查函数与方程思想的灵活应用。 2. 命题趋势：近5年新高考/全国卷考查频率100%，无构造不压轴，常融合在导数解答题第2-3小问；构造形式从“基础型”向“复合型、变式型”升级，如由单一f(x)+g(x)向e^x·f(x)、f(x)/x等同构/异构构造发展，新高考更侧重“构造的合理性与技巧性”，而非简单公式化构造。 3. 命题特点：不直接要求“构造函数”，需考生根据问题条件（如不等式形式、零点关系、导数特征）自主判断构造方向，核心考查“为什么构造、构造什么、怎么构造”，而非单纯的求导计算。 二、高考考情分布 1. 题型与分值 ①解答题为主：占导数模块分值的60%-80%，多在压轴解答题（21/22题）第2小问，分值4-6分；选填题中为中档题，侧重基础构造，分值5分。 ②融合性极强：无单独命题，常与不等式证明（含恒成立）、零点关系证明、极值点偏移、隐零点、导数恒正/恒负判定融合考查，是解决这些题型的“必经步骤”。 2. 考查难度梯度 ①基础构造（选填/解答第1小问）：和差型、简单分离型，占比30%，全员可掌握； ②中档构造（解答第2小问）：积商型、对称型，占比50%，重点突破得分； ③高阶构造（压轴解答）：同构型、放缩型、多步构造，占比20%，冲刺满分核心。 构造函数是导数模块的核心解题思想，学习目标按基础掌握、能力提升、压轴突破、素养落地分层，适配高考导数从基础到压轴的考查梯度，兼顾构造方法、逻辑应用、应试规范，最终实现“见题定构造、构造能解题”的核心能力。 一．基础目标（全员掌握，保底得分） 1. 理解构造函数的核心本质：将未知问题（不等式、恒成立等）转化为可研究的函数单调性、极值/最值问题，明确“为什么构造”的底层逻辑。 2. 掌握2类基础构造方法，能精准构造并解决简单导数问题： ①和差型构造： ②基础积商型构造： 3. 完成基础解题闭环：对构造的新函数，能规范完成“求导→判单调性→求最值→推导结论”的步骤，无求导计算、单调性判定错误。 4. 能识别高考基础构造场景：直接不等式证明（如>x+1）、简单导数符号判断、无参恒成立问题，做到快速构造、快速求解。 二．提升目标（重点掌握，突破中档） 1. 精通4类专项构造方法，适配高考中档导数题型，能根据场景灵活选择构造方式： ①参变分离构造：恒成立求参数范围时，能分离参数构造g(x)，转化为求g(x)的最值； ②对称型构造：极值点偏移问题中，能围绕极值点构造F(x)=f(+x)-f(-x)； ③ 放缩型基础构造：能利用常见放缩式（≥x+1、ln x≤x-1）构造辅助函数，简化证明； ④ 变式积商型构造：能匹配系数构造，解决复杂导数组合问题。 2. 具备构造合理性判断能力：能快速排除错误构造方式，避免“构造后无法求导、无法判单调”的无效操作。 3. 解决高考中档融合题型：能独立解决“构造函数+隐零点”“构造函数+含参不等式证明”“构造函数+简单极值点偏移”的综合问题，步骤规范，踩准阅卷得分点。 4. 掌握构造简化技巧：构造后能对F’(x)快速因式分解、化简，精准判断导数符号，提升解题效率。 三．压轴目标（拔高掌握，冲刺满分） 1. 攻克3类高阶构造方法，解决高考导数压轴题，实现构造的灵活性与技巧性： ①同构型构造：能识别含e^x、\ln x的超越式同构特征，构造单调函数F(t)，将问题转化为自变量的大小比较； ②多步构造：一次构造无法解决时，能通过“二次构造辅助函数→放缩→再构造核心函数”逐步简化问题； ③多元构造：双零点、多参数问题中，能通过换元、消参构造单变量函数，实现“多元转一元”。 2. 具备自主构造能力：面对无固定模板的创新压轴题，能根据问题条件、解析式特征、待证结论自主分析构造方向，完成“构造什么→怎么构造”的逻辑推导。 3. 解决高考高阶融合题型：能攻克“构造函数+双隐零点+极值点偏移”“构造函数+超越不等式放缩+多参数范围”“同构构造+恒成立”的压轴难题，逻辑链完整无跳跃。 4. 实现构造优化与提速：能快速判断最优构造路径，避免复杂构造导致的计算量过大；对高考高频压轴模型，形成“条件反射式”构造，适配高考应试节奏。 导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查。重点考查函数与方程思想、转化与化归思想。构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性，但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，要有目的、有意识的进行构造，始终“盯住”要解决的目标。 知识点一 ：导数的构造法 1、 加-乘不等号型 （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意对的符号进行讨论） （5） 构造 2、减-除不等号型 （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意对的符号进行讨论） （10） 构造 构造函数的核心逻辑是“循特征、定类型、转问题、巧推导”，即根据题干的解析式形式、待证结论、导数组合特征，选择适配的构造类型，将原问题转化为“研究新函数的单调性、极值/最值、零点”的可解问题，最终回扣原结论。以下按高考考频排序梳理构造类型、适用场景、解题步骤及技巧，附避错要点，适配所有导数构造题型。 一、核心构造原则（先判原则，再选方法） 1. 简单优先：能和差构造不选积商，能单步构造不做多步，避免过度构造增加计算量； 2. 特征匹配：导数组合形式定积商构造，极值点偏移定对称构造，超越式定同构构造； 3. 目标导向：证明不等式→构造函数求最值，判断导数符号→构造积商型函数，零点关系→构造对称/放缩函数； 4. 定义域同步：构造的新函数定义域与原函数一致，含ln x、分式时必标注，避免临界点分析错误。 二、高考高频构造类型及精准解题策略（按考频/难度排序） 类型1：和差型构造（基础万能型，高考占比30%） 适用场景 ①直接证明函数不等式：f(x)≥g(x)/f(x)>g(x)+C（C为常数）； ②简单恒成立问题：f(x)≥a恒成立，求a的范围； ③判断函数单调性/求最值：原函数形式复杂，拆分后更易分析。 核心策略 作差转化，求最值定符号，将不等式/恒成立问题转化为“新函数的最值与0的关系”。 解题步骤 1. 构造新函数：F(x)=f(x)-g(x)（证f(x)>g(x)）或F(x)=f(x)-a（恒成立问题）； 2. 求导化简：求()，因式分解/合并同类项，精准找临界点（()=0的解）； 3. 判定单调：由()的符号划分F(x)的单调区间； 4. 求最值：求F(x)的极小/大值（或端点趋势），确定/； 5. 回扣结论：若≥0，则f(x)≥g(x)；若≤0，则f(x)≤g(x)。 类型2：积商型构造（进阶核心型，高考占比25%） 适用场景 ① 已知导数线性组合形式：如()+kf(x)、x()-kf(x)（k为常数），判断f(x)单调性/证明不等式； ②原函数导数无法直接判断符号，需通过积商变形简化。 核心策略 逆用导数四则运算法则，将“()与f(x)的组合式”转化为“单一新函数的导数”，通过新函数单调性反推原组合式的符号。 解题步骤 1. 匹配构造模板：根据导数组合形式，直接套用高频模板（系数需精准匹配）； 2. 求导验证：对新函数求导，确认导数为原组合式（或组合式×正系数，不改变符号）； 3. 判定新函数单调性：由导数符号确定F(x)的单调区间； 4. 结合条件推结论：利用F(x)的单调性/最值，反推原函数f(x)的性质或证明不等式。 类型3：对称型构造（压轴专属型，高考占比20%） 适用场景 极值点偏移问题：已知f(x)有两个零点,，极值点为，证明+>2>/+<2。 核心策略 围绕极值点对称构造，将双零点问题转化为“单变量函数的单调性判定”，利用f()=f()结合新函数单调性推导零点关系。 解题步骤（固定模板，高考直接套用） 1. 求原函数极值点：求()，确定f(x)的极值点（唯一极值点，偏移问题必备）； 2. 构造对称新函数：和型偏移（证+>2）→F(x)=f(+x)-f(-x)；积型偏移（证>）→F(x)=f(·x)-f(/x)（x>0）； 3. 研究新函数单调性：求()，判定F(x)在(0,+∞)上的单调性（通常为单调递增/递减）； 4. 利用特殊点定符号：由F(0)=0（和型）/F(1)=0（积型），得x>0时F(x)>0或F(x)<0； 5. 结合零点条件推导：设<<，由f()=f()结合F(x)的符号，推得f()>f(2-)（或反向），再由f(x)的单调性得>2-，即+>2。 类型4：参变分离型构造（中档实用型，高考占比15%） 适用场景 含参恒成立/存在性问题：f(x,a)≥0恒成立;存在x使f(x,a)≤0，求参数a的取值范围（可分离参数，无漏根/增根）。 核心策略 分离参数，构造单变量函数，将含参问题转化为“求新函数的最值”，避免复杂的分类讨论。 解题步骤 1. 等价分离参数：将原式变形为a≥g(x)（恒成立）或a≤g(x)（恒成立）/a≥（存在性），确保变形等价（乘除式子需讨论符号，避免漏根）； 2. 构造单变量函数：令g(x)为分离 题型01：构造型 【典型例题1】已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为，所以，即， 所以在R上单调递减. 不等式等价于不等式， 即.因为， 所以， 所以.因为在R上单调递减， 所以，解得.故选:B 【典型例题2】已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，则， 所以函数在定义域上为减函数，且， 所以的解集为，即的解集为，选A. 【变式训练1-1】已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 构造函数，当时，， 所以函数在区间内单调递增，且， 又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数， 所以在区间内单调递减，且． 不等式整理可得：，即， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 又，所以． 综上，不等式的解集为．故选：A． 【变式训练1-2】定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ， 则，由于, 故,故在单调递增， 而 ， 由，得 ，∴ ，即 , ∴不等式的解集为,故选：D． 题型2：构造型 1.， 2. 【典型例题1】设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答. 依题意，令函数，则， 因，于是得时，时， 从而有在上单调递减，在上单调递增， 因此得：，而，即f(x)不恒为0， 所以恒成立.故选：A 【典型例题2】已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，当时，， 构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 且当时，，所以，函数在上单调递减， 因为， 由可得，即， 所以，，故， 即或，解得或.故选：C. 【变式训练2-1】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性． 设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即． 故选C． 【变式训练2-2】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，则导函数， 函数在区间上，满足，则有 ， 所以，即函数在区间上为增函数， ， 所以，则有，解得， 即此不等式的解集为，故选：D. 【变式训练2-3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，其中，则， 所以，函数为奇函数，且，， 当时，， 所以，函数在上为增函数， 因为函数为奇函数，故函数在上为增函数， 由可知，当时，，可得； 当时，，可得. 综上所述，不等式的解集为.故选：B. 【变式训练2-4】已知奇函数的定义域为，导函数为，若对任意，都有恒成立，，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】设，，为奇函数， ∴，即是偶函数，有， ∵，恒成立， 故时，， ∴函数在上为增函数， ∵，∴，等价于， ，且函数在上为增函数， ∴，解得. 故答案为： 【变式训练2-5】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可. 令，则，所以在单调递减， 不等式可以转化为，即，所以. 故选：D. 题型3：构造f（x）/x 1.， 2. 【典型例题1】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，， ∵，，∴，>0 ∴函数在上单调递增，∴，即，， 令，，， ∵，，， ∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D. 【典型例题2】已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数， 利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当 时，即，，当 时，即，. 构造函数 , , 当 时，，故，在 上单调递增， 又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在 单调递减. ,则，;， 当 时，即，，所以 ； 当 时，即，，所以. 综上所述，.故选：A 【变式训练3-1】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集. 解：因为，所以，即. 令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为. 故选：C. 【变式训练3-2】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集. 解：因为，所以，即. 令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为. 故选：C. 【变式训练3-3】设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使得成立的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意构造函数，由求导公式和法则求出，结合条件判断出的符号，即可得到函数的单调区间，根据奇函数判断出是偶函数，由求出，结合函数的单调性、奇偶性，再转化，由单调性求出不等式成立时的取值范围． 由题意设，则 当时，有，当时，， 函数在上为增函数， 函数是奇函数， ， 函数为定义域上的偶函数， 在上递减， 由得，， 不等式， 或， 即有或， 使得成立的的取值范围是：，，， 故选：D 【变式训练3-4】已知，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，根据函数的单调性比较大小. 令，则， 令，解得， 因此在上单调递减， 又因为，，， 因为，所以. 故选：C. 【变式训练3-5】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为为奇函数，所以， 所以，所以为偶函数， 对求导得， 因为当时，，所以，则在上单调递增， 又因为为偶函数，则在上单调递减， 因为， 所以当时，， 当时，， 所以使得成立的x的取值范围是.故选：B． 【变式训练3-6】已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 当时，恒有成立， 当时， ，即在上单调递减． 则，，， 【变式训练3-7】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（ ） A．（－∞,1） B．（－1,1） C．（－∞,0）∪（0,1） D．（－1,0）∪（0,1） 【答案】D 【解析】令且，则，又， 当时，当时， 所以在上递减，在上递增， 由为偶函数，则，故也为偶函数， 而，且等价于， 所以，故.故选：D 题型4：构造型 1.， 2. 【典型例题1】已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可.构造函数,计算导函数得到=，由>0,得当,>0当时,<0.所以在单调递增,在单调递减,而,所以关于对称,故,得到,故选:D. 【典型例题2】已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可． 由题意：不等式可化为：， 两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数， 因为， ，所以 所以在上是单调增函数，又因为为偶函数， 故，解得：．故选：B． 【典型例题3】已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，根据导数可知其在上单调递增，由可知AB错误，同时得到，，，结合奇偶性知C错误，D正确. 对于AB，令，则， ， 当时，，在上单调递增， ，即， ，，AB错误； 对于C，由A的推理过程知：当时，， 则当时，，，， 又为奇函数，，，C错误． 对于D，由A的推理过程知：，又，，，则，D正确． 故选：D. 【变式训练4-1】设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性解不等式即可. 令，则， 因为，所以，化简可得， 即，所以函数在上单调递增，因为，化简得， 因为，，所以，解得， 所以不等式的解集是.故选：A 【变式训练4-2】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集. 解：因为，所以，即. 令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为. 故选：C. 【变式训练4-3】若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为，所以在上恒成立，所以单调递减， 又得，由等价于， 所以，即的解集是.故选：C. 【变式训练4-4】已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义在R上的偶函数，， 则，即是奇函数， 由，可得， 构造，则，所以函数单调递减， ，，即的周期为， 则，即； 不等式可化简为，即， 所以，解得. 故选：B 【变式训练4-5】已知函数的导函数为，且若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为恒成立，所以，所以在单调递增， 则，，， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，即．故选：B 【变式训练4-6】定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 因为，，所以，所以函数为减函数， 所以，即，所以.故选：D. 【变式训练4-7】已知函数，若且，则有（       ） A．可能是奇函数，也可能是偶函数 B． C．时， D． 【答案】D 【解析】根据奇函数的定义结合即可判断A；令，利用导数结合已知判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断BCD即可得解. 解：若是奇函数，则， 又因为，与矛盾， 所有函数不可能时奇函数，故A错误； 令， 则， 因为，， 所以，所以函数为增函数， 所以，即， 所以，故B错误； 因为，所以，， 所以， 故，即， 所以，故C错误； 有，即，故D正确. 故选：D. 【变式训练4-8】是定义在上的函数，满足，，则下列说法错误的是（    ） A．在上有极大值 B．在上有极小值 C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值 【答案】ABC 【解析】先由题意得，再构造，得到，进而再构造，判断出，即，由此得到选项. 根据题意，，故， 又，得，故， 令，则， 又，记， 所以， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即，即， 所以在上单调递增，故在上没有极值. 故选项ABC说法错误，选项D说法正确. 故选：ABC 题型05：构造f（x）/e型 1.， 2. 【典型例题1】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的图像关于直线对称，所以， 设，则 ， 因为，所以，所以在上为减函数， 又 ，因为，所以 ，所以.故选：. 【典型例题2】已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集. 由，而知：在上单调减， 而，即，又知：， ∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数， ∴在上单调增，即，可得， 综上，有，故选：A 【典型例题3】已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ∴在上单调递减. 又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为.故选：B． 【变式训练5-2】设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 因为，所以， 所以函数在上为增函数， 不等式即不等式， 又，， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为.故选：C. 【变式训练5-2】已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 构造函数，因为， 所以，因此函数是增函数， 于是有， 构造函数，因为， 所以，因此是单调递减函数， 于是有， 故选：D 【变式训练5-3】是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解. 由，得, 设，则， 所以函数在上单调递增，因为，所以， 所以不等式等价于 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选:D. 【变式训练5-4】已知定义域为的函数的导函数为，且，，则以下错误的有（    ） A．有唯一的极值点 B．在上单调递增 C．当关于的方程有三个实数根时，实数的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解析】构造，结合已知求的解析式，进而可得，再利用导数研究的极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误. 令，则，故，（为常数）， 所以，而，故， 所以，则， 令，可得或， 在、上，递增；在上，递减； 所以有2个极值点，在上不单调，A、B错误； 由趋于负无穷时趋向于0，，，趋于正无穷时趋向于正无穷， 所以有三个实数根时的范围为，的最小值为，C错误，D正确； 故选：ABC 【变式训练5-5】（多选）已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】构造函数，，所以在上递增， 所以， 由，得，D选项错误. 由，得，C选项正确. 由，得，B选项正确. 由，得，A选项正确.故选：ABC 【变式训练5-6】已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是 A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】令，则，所以函数在上单调递减. 因为，所以，选A. 【点睛】：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 【变式训练5-7】已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】令，则 因为，即， 所以，即函数为偶函数， 因为，当时， 所以，当时，，函数为单调递减函数， 因为函数为上的偶函数 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以 因为可变形为，即， 因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，或，即或， 所以，不等式的解集为 故答案为： 题型06：构造型 【典型例题1】设是定义在R上的连续奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令. 则，所以在上单调递减. 又，所以当时，，而，所以； 所以当时，，而，所以. 在中，令x=1可得：. 所以当时都要 又是定义在R上的连续奇函数，所以，当时，. 所以可化为：或或， 解得：或或. 综上所述：.故选：B 【典型例题2】已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，可得，单调递增， 又因为，，， 且，， 得，，整理得，AC正确；故选：AC 【变式训练6-1】已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数，则， 在上单调递增.又， 所以，，即，的大小不确定.故选:A. 【变式训练6-2】已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 故函数单调递减，定义域为， （1），时，；时，． 时，；时，． 当，时，，又（1）． 当，，又为奇函数，当，． 不等式等价于或 解得或者 故答案为：D. 【变式训练6-3】已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，得． 设（），则， 则函数在上单调递增，且， 则不等式，可化为， 则，解得.故选：C． 题型07：构造sinx与f（x）型 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 【典型例题1】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案. 构造函数，由在上恒有， ，在上为增函数， 又由，为偶函数，，，， ，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，， ，，故B正确； ，，，，故C错误； ，，，，故D错误. 故选：B. 【典型例题2】已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 , ,所以选C. 【变式训练7-1】已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，由可得，列出不等式即可求解. 令，，则当时，， 所以函数是定义在上的偶函数． 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又，， 所以由，可得， 即，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故选：C． 【变式训练7-2】设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解. 令，∵是定义在上的奇函数， ∴是定义在上的偶函数． 当时，，由，得， ∴，则在上单调递减． 将化为，即，则． 又是定义在上的偶函数． ∴在上单调递增，且． 当时，，将化为， 即，则．综上，所求不等式的解集为．故选：B 【变式训练7-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据结构构造函数，利用导数判断单调性，即可得到；根据结构构造函数，利用导数判断单调性，即可得到；根据结构构造函数，利用导数判断单调性，即可得到. 构造函数，则，故函数在上单调递增，故，即，又，故． 构造函数，则，易知函数在处取得最大值，故，即，即，由前面知，故． 构造函数，则，故知函数在上单调递减，故，即，故.综上，. 故选：B． 【变式训练7-4】已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，结合题设条件可得为上的增函数，而原不等式即为，从而可求原不等式的解集. 可化为， 令， 则， 因为，故（不恒为零）， 故为上的增函数， 故即为， 而， 故的解为， 故即的解为. 故选：B. 题型08：构造cosx与f（x）型 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 【典型例题1】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得， 不等式的解集为.故选：B 【典型例题2】已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得，故选：D 【变式训练8-1】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解. 由题意，设，则， 当时，因为，则有，所以在上单调递减， 又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数， 由，可得，即，即 又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有， 解得或，即不等式的解集为，故选：B. 【变式训练8-2】已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是 A．是增函数 B．是减函数 C．有极大值 D．有极小值 【答案】A 【解析】对化简可得，即为，设函数，研究函数 的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案. 解：设函数因为化简可得， 即为，故，因为 所以恒成立，所以在上单调递增，又因为， 所以，所以当时，， 当时，，， 当时，，，，， 故恒成立； 当时，，，，， 故恒成立； 所以在上恒成立， 故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减。所以选A. 【变式训练8-3】已知的定义域为且满足，为的导函数，，则下列结论正确的是（       ） A．有极大值无极小值 B．无极值 C．既有极大值也有极小值 D．有极小值无极大值 【答案】B 【解析】令，根据题意得到，设，利用导数求得在区间单调递增，得到，由，得到，即函数为单调递增函数，得到函数无极值. 令，可得， 因为，可得， 设，可得， 所以在区间单调递增， 又由，所以，所以，所以单调递增， 因为且 ，可得， 因为，可得， 则，所以函数为单调递增函数， 所以函数无极值. 故选：B. 题型09： 构造型 【典型例题1】已知函数，是其导函数，，恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以，即， 所以，故A错误； 因为，所以， 又， 所以，故B错误； 因为，所以，， 即，， 因为， 所以，，故C错误，D正确．故选：D 【典型例题2】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，由在上恒有成立， 即在上为增函数， 又由为偶函数 ，故A错误. 偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，故B正确； ， ，故C错误； ，，故D错误.故选：B 【变式训练9-1】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，由在上恒有成立， 即在上为增函数， 又由为偶函数 ，故A错误. 偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，故B正确； ， ，故C错误； ，，故D错误.故选：B 【变式训练9-2】奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ） A．（，π） B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为当时，有， 所以，当时，， 所以，函数在(内为单调递减函数， 所以，当时，关于的不等式可化为， 即，所以； 当时，， 则关于的不等式可化为，即 因为函数为奇函数，故，也即 所以，即，所以，． 综上，原不等式的解集.故选：D． 【变式训练9-3】已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得，故选：D 题型10：构造与型 【典型例题1】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，，故，即，解不等式得到答案. 设，则， ，故，故，即， ，即，，故.故选：. 【典型例题2】已知函数，其中为自然对数的底数，若时，函数有2个零点，则实数a的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知方程有两个实数根，令，则的图象与直线有两个交点，结合导数分析函数的单调性与极值情况即可解决问题． 由题意可知方程有两个实数根， 令，则的图象与直线有两个交点，． （1）若在上恒成立，所以在上单调递减， 的图象与直线至多只有一个交点，不合题意； （2）若，当时，，当时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以当时，取得极大值，也是最大值，为． 当时，，当时，， 所以要使的图象与直线有两个交点，只需． ，当时，，当时，， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，而， 所以的解为，而， 故选：D． 【典型例题3】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】构造函数，由题知 得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解. 构造函数，在上，等价于，, ,得 ，在上单增，在上单减， 在上，恒成立，又，则 又在上，等价于，即，则 不等式的解集为故答案为： 【变式训练10-1】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案. 解：设，则， ∵，，∴，∴是上的增函数， 又，∴的解集为， 即不等式的解集为.故选A. 【变式训练10-2】已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 构造函数，因为， 所以，因此函数是增函数， 于是有， 构造函数，因为， 所以，因此是单调递减函数， 于是有， 故选：D 【变式训练10-3】已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题干中的不等式，构造函数，结合在在R上为偶函数，得到在R上单调递减，其中，分与，对变形，利用函数单调性解不等式，求出解集. 当时，， 所以当时，， 令，则当时，， 故在时，单调递减， 又因为在在R上为偶函数， 所以在R上为奇函数， 故在R上单调递减， 因为，所以， 当时，可变形为， 即， 因为在R上单调递减， 所以，解得：， 与取交集，结果为； 当时，可变形为， 即， 因为在R上单调递减， 所以，解得：， 与取交集，结果为； 综上：不等式的解集为. 故选：A 【变式训练10-4】已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，利用奇偶性的定义、导数的符号变化判定其奇偶性和单调性，再将变为，利用的单调性进行求解. 构造函数，因为的定义域为，且 ，即是奇函数， 又， 所以在 上单调递增； 因为，所以， 即，即，所以， 即，解得或， 即. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用函数的性质解决不等式问题时，往往要利用题干中的表达式或不等式的结构特点合理构造函数，如本题中，构造函数，将问题转化为利用函数的奇偶性和单调性求的解集. 题型11：（kx+b）与f（x）等构造 【典型例题1】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据所求不等式的形式，构造函数，利用题目中的条件判断出在上单调递减，进而将所求转化为，再利用单调性求出解集． 设，则． 因为，所以，即，所以在上单调递减． 不等式等价于不等式，即． 因为，所以，所以． 因为在上单调递减，所以，解得． 故选：C． 【典型例题2】已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，根据导数可知其在上单调递增，由可知AB错误，同时得到，，，结合奇偶性知C错误，D正确. 对于AB，令，则， ， 当时，，在上单调递增， ，即， ，，AB错误； 对于C，由A的推理过程知：当时，， 则当时，，，， 又为奇函数，，，C错误． 对于D，由A的推理过程知：，又，，，则，D正确． 故选：D. 【变式训练11-1】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设，则，当时， ，当时，，则在上递增，函数 的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C. 【变式训练11-2】设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可. 构造函数，对任意实数，都有， 则， 所以，函数为偶函数，. 当时，，则函数在上单调递减， 由偶函数的性质得出函数在上单调递增， ，即， 即，则有， 由于函数在上单调递增，，即，解得， 因此，实数的最小值为，故选A. 【变式训练11-3】已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解. 解：令，因为，所以，所以在上单调递增， 因为，所以，不等式，即， 所以，即，所以，又， 所以，故选：D. 【变式训练11-4】已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果. 令，当时，， 在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增， 由化为. 得，， 的解集为，故选B. 题型12 ：与ln（kx+b）结合型 1. 2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果 【典型例题1】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可. 令，，则，在上单调递减，而， 因此，由得，而，则，由得，而，则，又， 于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，， 由得：或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 【典型例题2】设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小. 由题意，在上的函数恒成立， 若，则， ∵上，即， ∴在上单调递减，而，故 ∴，可得. 故选：B 【变式训练12-1】已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案. 令，则， 因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，又，所以， 当时，，所以，又，所以，在是连续的函数， 且，所以，时，，又由为奇函数，时，， 所以或，解得或， 则的取值范围是.故选：B. 【变式训练12-2】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 【答案】C 【解析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值． 由题意可知，，即，所以， 令，则， 因为函数在处存在导数，所以为定值，，，所以， 令，当时，， 构建函数，则有，所以函数在上单调递增， 当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时函数必有一解， 令这一解为，，则当时， 当时， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 【变式训练12-3】定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造新函数，利用导数说明其单调性，将变形为，利用函数的单调性即可求解. 令 ， 则，由于, 故,故在单调递增， 而 ， 由，得 ， ∴ ，即 , ∴不等式的解集为, 故选：D． 【变式训练12-4】设，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】A 【解析】构造函数，，借助函数的单调性分别得出c＜b与a＞b，从而得出答案. 构造函数， x＞－1，则， 当－1＜x＜0时，，单调递增，当x＞0时，，单调递减， ∴，∴（当x＝0时等号成立）， ∴，则c＜b， 构造函数，0＜x＜1，则， 令，0＜x＜1，∴，单调递增， ∴，∴，单调递增， 从而，∴，即，则a＞b． ∴c＜b＜a． 故选：A． 【变式训练12-5】已知命题p：在中，若，则，命题，.下列复合命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题可举出反例，得到命题为假命题，构造函数证明出，成立，从而判断出四个选项中的真命题. 在中，若，此时满足，但，故命题错误； 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，也是最小值， ， 所以，成立，为真命题； 故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题. 故选：C 题型13：添加因式型 【典型例题1】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式. 解：由题意得，则， 由，解得：，故，（2）， 当时，，，，在上恒成立， 即在上单调递增，又，故为上的偶函数， 其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C． 【变式训练13-1】定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，故函数在上递减，所以，所以 ，即 ，故选择A. 【变式训练13-2】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式． 涉及函数定义域为， 设，则， ∵，∴，∴在上单调递增， 不等式可化为，即，所以，，又，得， ∴原不等式的解为．故选：A． 题型14：二次构造 二次构造： 【典型例题1】已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解． 因为，所以，即，亦即 ，又，所以，即有． 原不等式可等价于， 即，解得的取值范围是．故选：A． 【典型例题2】已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集. 解：由， 当时，可得， 即， 即， 构造函数，所以函数递增， 则，此时，即满足； 当时，可得， 由函数递增，则，此时或，即满足； 当时，，即满足. 综上，.故选：C. 【变式训练14-1】已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解. 即， 所以，则，所以， 因为，所以，所以， ， 由得，此时单调递增， 由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为， 当时，取得极小值， 又因为，，，且时，， 的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得， 所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C 【变式训练14-2】已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解. 依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故， 故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点， 故选：B． 题型15：综合构造 【典型例题1】定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A，B， C， 将代入条件可得，可判断选项D. 由题可得，所以， 设则， 所以在上单调递减，且由可得， 所以，，所以选项A､B错误，选项C正确. 把代入，可得，所以选项D错误， 故选：C. 【典型例题2】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果. 由可得， 即，所以（其中为常数）， 因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数. 当时，，所以，在上是增函数. 故 故选：C. 【变式训练15-1】定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误. 令，，， 所以，， ，所以，函数为上的奇函数， ， 当时，，即，， 所以，在上单调递增， 由奇函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以，函数在上单调递增. 对于A选项，，则，即，A选项错误； 对于B选项，，，即，B选项正确； 对于C选项，，，即，C选项错误； 对于D选项，，，即，D选项错误. 故选：B. 【变式训练15-2】已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，求得时，，得到当时，，得到函数的单调性，把任意的，恒成立， 转化为，即可求解. 由为偶函数，得函数的图象关于直线对称. 设函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 可得当时，，所以当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 设函数，则当时，因为， 所以由对任意的，恒成立， 可得，即，解得或，即实数的取值范围是. 题型16：技巧计算型构造 【典型例题1】定义在上的函数的导函数为，若，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求 因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C 【典型例题2】已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意构造函数，借助单调性问题转化为ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0在上有解，变量分离求最值即可． 由是定义在上的奇函数, 当时,满足.可设故为上的增函数， 又 ∴ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0在上有解，∴a≥x3﹣3x+3﹣， 令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0， 故g（x）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； 故gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D． 【变式训练16-1】定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集． 详解：设，则， 又由，则，所以， 所以函数为单调递增函数， 又由，所以， 由不等式，即，即， 所以不等式的解集为，故选A． 【变式训练16-2】已知函数在上处处可导，若，则（ ） A．一定小于 B．一定大于 C．可能大于 D．可能等于 【答案】A 【解析】，即即，设，则，即函数在上单调递增，而，所以选A 题型17：导数解答题之构造新函数类 【典型例题1】已知函数，，其中，均为实数． （1）求的极值； （2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值； （3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（1），令，解得， ，时，；时，，根据极大值的定义知：极大值是（1），无极小值． （2）当，时，，所以在，上，所以在，上是增函数． 设，所以在，上，所以在，上为增函数． 设，则恒成立，变成恒成立，即：恒成立，即：．设，则在，上为减函数． 在，上恒成立． 恒成立．设，所以，因为，，所以，所以，所以为减函数． 在，上的最大值为（3）． ，的最小值为：． （3）由（1）知在，上单调递增，在，单调单调递减，又，（e），所以的值域是，． ； 当时，，在，为减函数，由题意知，在，不是单调函数；故不合题意； 当时，，由于在，上不单调，所以，即；① 此时在递减，在，递增； （e），即，解得；② 所以由①②，得； ，，（1）满足条件． 下证存在，使得； 取，先证，即证；③ 设，则在，时恒成立； 在，上递增，，所以③成立； 再证； ，时，命题成立． 所以的取值范围是：，． 【典型例题2】已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）易求 的定义域，， ， ， ，解得： 或，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，． （Ⅱ）由题意知， ， 令，则，由有两个极值点，， 得， 又因为， 所以， 所以 ， 令，， ， 因为， ， 所以在，1单调递减，故（1）， 综上所述． 【典型例题3】已知函数为常数）有两个极值点． （1）求实数的取值范围； （2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】解：（1）由题设知，函数的定义域为， 且有两个不同的正根，即两个不同的正根，， 则，， ，，，，，，，， ，是的两个极值点，符合题意， ； （2）， ， 令，则， ， ， 在上单调递减， ， 不等式恒成立，， 是的最小值． 【变式训练17-1】记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，． （1）求函数在，上的值域； （2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】解：（1）由题意设，则， 所以时，递增，时递减， 所以（1），所以即， 所以，其在，上的最大值为时函数值3，取最小值为， 所以函数在，上的值域，； （2）①当时，因为，所以， 所以，所以，当对恒成立， 则对恒成立，设，则， 令得，递增，令得，递减， 所以（2），所以，又，所以，． ②当时，由①知对恒成立， 若对恒成立，则对恒成立， 即对恒成立，显然不成立， 即时，不满足对恒成立； 综上，存在实数使得， 对恒成立，的取值范围是，． 【变式训练17-2】已知函数，． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（1）的导数为， 曲线在处的切线斜率为， 由切线的方程为，可得， 解得； （2）， 对任意两个不等的正数，，都有恒成立，即， 令，则在递增， 故恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即的取值范围是，． 【变式训练17-3】已知． （1）当时， ①求的图象在点处的切线方程； ②当时，求证：． （2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（1）时，，， ①可得，， 所以在处的切线方程为； ②证明：设， ，， 所以，在，上递增，所以， 所以，在，上递增，所以， 即有当时，； （2）存在，，使得成立 存在，，使得， 设， ，， 可得在，单调增，即有， ①当时，， 可得在，单调增， 则， 解得； ②当时，， 设，， ， 另可得，可得， 则在单调递减，在，单调递增． 则． 设，， ， ， 可得在单调递增， 即有， 则在单调递增， 则， 则， 则当时，恒成立，不合题意． 综上可得，的取值范围为． 【变式训练17-4】已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立； （Ⅲ）若正实数，满足，证明． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）， 由，得， 又，所以． 所以的单调减区间为，函数的增区间是． （Ⅱ）令， 所以． 因为， 所以． 令，得． 所以当，； 当时，． 因此函数在是增函数，在，是减函数． 故函数的最大值为． 令，因为， 又因为（a）在是减函数． 所以当时，（a）， 即对于任意正数总有． 所以关于的不等式恒成立． （Ⅲ）由， 即， 从而． 令，则由得，． 可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以（1）， 所以， 又， 因此成立． 【变式训练17-5】设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，，，函数，求证：； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）解：由，可得， 进而可得．令，解得，或． 当变化时，，的变化情况如下表： ， 所以，的单调递增区间是，，，单调递减区间是． （Ⅱ）证明：由，得， ． 令函数，则． 由（Ⅰ）知，当，时，， 故当，时，，单调递减； 当，时，，单调递增． 因此，当，，时，，可得即， 令函数，则． 由（Ⅰ）知，在，上单调递增， 故当，时，，单调递增； 当，时，，单调递减． 因此，当，，时，， 可得得，即，． 所以，． （Ⅲ）对于任意的正整数，，且， 令，函数． 由（Ⅱ）知，当，时，在区间内有零点； 当，时，在区间，内有零点． 所以在内至少有一个零点，不妨设为，则． 由（Ⅰ）知在，上单调递增，故（1）（2）， 于是． 因为当，时，，故在，上单调递增， 所以在区间，上除外没有其他的零点，而，故． 又因为，，均为整数，所以是正整数， 从而． 所以．所以，只要取（2），就有． 1.已知定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造和，求导后判断其单调性得出和的结论代入化简即可. 由题意可知，函数在上单调递减.,. 构造，定义域为，则，所以在上单调递减，所以，即，故A,B错误. 构造，定义域为，则，所以在上单调递增，所以，即，故B,D错误.。故选:C 2.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件可以得到，在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到,进而得到结论. 解：，即，因为定义在上， ，令则，， 则函数在上单调递增.由得，即，； 同理令，， 则函数在上单调递减.。由得，，即. 综上，.故选：B. 3.已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 由，可得， 即，令，则. 令，，所以在上是单调递减函数. 不等式，等价于，即，， 所求不等式即，由于在上是单调递减函数， 所以，解得，且，即， 故不等式的解集为.故选：D 4.若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】变换得到，代入数据计算得到，求导得到函数单调性，计算最值得到答案. 由有， 可得：，故有：，得（为常数），得，由，解得：. 故，∴， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 则当时，，，， 由， 故所求取值范围为：.故选：D. 5.若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案． 解：由题可知，则，令， 而，则，所以在上单调递增， 故，即，故， 即，所以.故选：B. 6.已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，利用导数证明函数在上为增函数，再将所求不等式转化为不等式进而得到; 令，则， 则在上为增函数，又，， ∴所求不等式，，则， 故选：A. 7.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性可得到，解得即可． 令，，则由， 可得，故为偶函数，又当时，，即， 在上为增函数．不等式化为， ，由函数单调性奇偶性可知：，解得，故选：． 8.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，证明其单调递减，将不等式转化为，解得答案. 设，则， 函数单调递减，，故， ，即，即，故. 故选：D. 9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，求导之后由题可知其在时单调递减，再由偶函数定义证得是的定义域在上的偶函数，进而转化已知不等式，由函数的性质解不等式即可. 构造函数，则，即其在时，，函数单调递减， 又因为函数是的定义域在上的偶函数，则，故函数是的定义域在上的偶函数， 故不等式，所以故选：D 10.设函数是偶函数的导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，求导，由题意可知在上是增函数，再由为偶函数可得也为偶函数，最后将不等式转化为，进而得到，由此可得的取值范围. 令，则，当时，， 在上是增函数，， 为偶函数，， ，，，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A. 11.已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，根据已知条件，可得的单调性和奇偶性，将目标式转化为的不等式，进而利用的性质，求解不等式即可. 构造函数，故可得； 因为，故可得： 即可得，故是偶函数；又因为时，，即， 故当时，单调递减；又因为是偶函数，故当时，单调递增. 又等价于， 整理得，结合是偶函数，且在单调递增，在单调递减， 则原不等式等价于解得. 12.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对任意的实数都有,变形得到= 构造函数 对函数进行求导，根据已知条件可以求出函数的表达式，进而可以求出的解析式，求导，求出单调性，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 对任意的实数都有,变形得到= 构造函数 . 故根据，得到 进而得到，对函数求导得到 根据导函数的正负得到函数在，， 由此可得到函数的图像， 不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为，故 ，解得m的范围是： . 13.已知定义在上的奇函数，导函数为，且当时，，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将不等式化为，构造函数，可得 恒成立，根据已知可得在上为增函数，转化为恒成立，设，求出，即为所求. 设， 当时，，，所以在上是增函数， 是在上的奇函数，所以是在上的奇函数，在上是增函数，且在处连续， 所以在上为增函数，恒成立， ，恒成立， 即恒成立，设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值，所以实数的取值范围是.故选:D. 14.设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，计算，，故为常函数，，代入不等式得到答案. 构造函数，，故. ，故为常函数. 故，，， ，即，解得.故选：. 15.已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是__________． 【答案】. 【解析】分析：构造函数，利用已知条件判断出的单调性，结合列出不等式后求解． 详解：设，则， ∵且，∴，即函数在上是增函数， ，不等式等价于，即，又，∴， ∴，解得，由定义域知，，故原不等式的解集是．故答案为(0,1)． 16.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，，故，即，解不等式得到答案. 设，则， ，故，故，即， ，即，，故.故选：. 17．已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象关于点对称,可知为奇函数,,构造新函数,求导可知在上单调递减, 可转化为,即为,利用已知可求出进而可求的解集. 的图象关于点对称, 为奇函数,则有,令,则,则在上单调递减,由,得,所以.所以,所以.故选:. 同构、构造函数选择填空压轴题 一、单选题 1.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式变形为，令，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数的取值范围. 由已知得：，由，得 即，可得． 令，，则， 求导得，，解得；，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 且当时；当时，，函数图像如图所示．        ，，， 由及的图像可知，恒成立，即成立， 而，，实数的取值范围是. 故选：C． 2．对任意，恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将恒成立的不等式化为，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，分离变量可得；令，利用导数可求得最大值，由此可得的范围，从而确定可能的取值. 当时，由得：， ， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， 在上单调递增， 由得：，，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 当时，恒成立，则， 实数的可能取值为，ABC错误，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解. 3．已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可. 因为， 所以①， 令，则，设， 所以， 当时，，当x>1时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以在单调递增， 因为①式可化为， 所以，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 故选：C. 4．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可. 因为恒成立即， 可得， 令，则恒成立. 又，故当时，， 故在区间上为增函数. 又恒成立，则在区间上恒成立，即，. 构造，则，令有， 故当时，为增函数；当时，为减函数. 故，故，即. 故选：B 【点睛】恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 5．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，则转化得到在上单调递增，将题目转化为在上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案. 由题意,不妨设, 因为对任意两个不等的正实数,都有, 所以,即, 构造函数, 则, 所以在上单调递增， 所以在上恒成立, 即在上恒成立, 设,则， 所以当时,单调递增， 时,单调递减， 所以， 所以. 故选：D. 6．已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而利用单调性比较大小. 构建，则， 因为对于恒成立，所以， 故在上单调递减， 由于，且， 所以，即. 故选：A. 【点睛】1.的形式，常构建；的形式，常构建； 2.的形式，常构建；的形式，常构建. 7．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围. 函数的定义域为， ， 设，则， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，所以， 函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解， 则， 等价于函数与图象有两个不同的交点. 令，， 则函数与图象有一个交点， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 且趋向于正无穷时，趋向于正无穷， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围. 设，， 所以函数在上为增函数． 由的定义域为可知，得， 将不等式整理得，即， 可得在上恒成立，即在上恒成立； 令，其中，所以 ，令，得． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，即 故选：B． 9．已知函数，若在定义域上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，根据不同取值分类讨论求解即可. 由得， 所以，即， 构造函数，则不等式转化为， 又易知在上单调递增， 故不等式等价于，即. 设， 若， ，不符合题意； 若，则当时，，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使恒成立，只需， 所以. 综上可知的取值范围是. 故选：B. 10．已知函数，若，则可取（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】探讨函数在上单调性，由已知可得，再构造函数并求出其最小值即可判断作答. 依题意，由得， 令，函数在上单调递增， 由得， 则， 由得：，又， 于是得，， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，，且，， ，且，，故 即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求. 故选：A 一、填空题 1．设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】构造函数判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可. 由， 构造函数， 在为增函数，则 即对不等式恒成立，则， 构造函数 令，得；令，得； 在上单调递增，在上单调递减， ，即. 故答案为：. 2．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 3．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题意可得，再构造，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解． 因为， 所以可化为， 设，则， 在上单调递增， 因为，，所以，，， 所以可化为，所以， 在上恒成立， ，， 设，，则， 令，得；，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题的关键是将式子同构成，再构造函数. 4．若不等式对任意成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【解析】将不等式变形为对任意成立，构造函数，求导得单调性，进而问题进一步转化为成立，构造，即可由导数求最值求解. 因为对任意成立， 不等式可变形为:，即， 即对任意成立， 记，则，所以在上单调递增， 则可写为， 根据单调性可知，只需对任意成立即可， 即成立，记，即只需， 因为，故在上，，单调递增， 在上，，单调递减，所以， 所以只需即可，解得. 故答案为: 【点睛】利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】设，令，将问题转化为在上单调递增，即在上恒成立，采用分离变量的方式可得，结合二次函数性质可确定，由此可得结果. 不妨设， 由得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，， 当，即时，取得最大值，，解得：， 实数的取值范围为. 故答案为：. 6．已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求的取值范围即可. 因为，函数在上单调递增， 不妨设， 则，可化为， 设，则， 所以为上的减函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 设，所以， 因，所以，所以函数在上是增函数， 所以（当且仅当时等号成立）． 所以. 故答案为：． 7．已知实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】把化为，构造函数，可得，再求出函数的值域即可得答案. 依题意有， 设，则，所以在上单调递增， 由，得，即有， 因为在上单调递增，所以有，即，所以， 设，则，令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，所以时，， 所以的取值范围为. 故答案为： 8．已知是方程的一个根，则 . 【答案】3 【解析】依题意得，构造函数，则有，得出的单调性即可求解. 因为是方程的一个根，则， 所以，即， 令，则， 所以在单调递增， 又，即， 所以，所以. 故答案为：3 9．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据恒成立，可得到含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 令，，所以单调递增， 因为，所以， 可得，所以，所以恒成立， 即求，令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，可得. 故答案为：. 【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的，使得恒成立，可得出；对于任意的，使得恒成立，可得出. 10．若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】利用同构法，构造函数，将问题转化为，从而得到恒成立问题，再构造，利用导数求得其最小值，由此得解. 因为， ， 令，则原式等价于， 恒成立，所以在定义域内单调递增， 所以， 令， 则时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 所以，则又a为正数， 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 11．已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【解析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值. ，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立． 令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得． 故答案为： 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别 12．关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【解析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调性计算最小值即得到答案. ，即， 设，恒成立，故单调递增. 原不等式转化为，即， 即在上恒成立. 设，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故， 即，解得. 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】将不等式化为，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了． 1 学科网（北京）股份有限公司 $