2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试题3（人教A版）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题3 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2024上·北京海淀·高二统考期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 2.（24-25高二上·贵州铜仁·月考）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 4.（2024上·四川宜宾·高二统考期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二·山西太原·月考）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 6.（2024·河南焦作·高二统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．6 7.（24-25高二上·河南焦作·月考）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 8.（2025·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 10. （24-25高二上·江西·月考）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值，直线与圆相交 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．若，则圆关于直线对称的圆的方程为 D．直线的方程能表示过点的所有直线的方程 11.（24-25高二上·重庆·月考）如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 . 13.（24-25高二上·广东·月考）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则 ． 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率为，过且倾斜角为120°的直线l与C交于A，B两点，若的内切圆的面积为，则C的虚轴长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 16.（2024上·辽宁大连·高二统考期末）大连市某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生的数学成绩，将成绩按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校高一全体学生数学成绩的分位数； (3)现从成绩在和的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中再随机抽取2名学生，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率． 17.（2025·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点． 18.（24-25高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19.（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.    (1)求椭圆的离心率； (2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值； (3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题3 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2024上·北京海淀·高二统考期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 【答案】A 【详解】因为初中学生人抽取了人，所以抽样比为， 所以高中生抽取人， 故选：A. 2.（24-25高二上·贵州铜仁·月考）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为．故选：D． 3．（24-25高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，即， 所以，所以，故选：D. 4.（2024上·四川宜宾·高二统考期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲破译密码为事件A，乙破译密码为事件B，则有， 则密码被成功破译的概率. 故选：D 5.（24-25高二·山西太原·月考）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为.故选：A 6.（2024·河南焦作·高二统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】依题意作下图：    设，，所以， 可得，由，解得，所以， 所以. 故选：A. 7.（24-25高二上·河南焦作·月考）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则且， 因为，解得， 可得， 且，所以， 所以二面角的大小为．故选：C. 8.（2025·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，椭圆的左顶点为， 因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则， 所以，可得， 又因为，即， 代入可得，所以离心率为. 故选：B.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【答案】BCD 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 10. （24-25高二上·江西·月考）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值，直线与圆相交 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．若，则圆关于直线对称的圆的方程为 D．直线的方程能表示过点的所有直线的方程 【答案】AC 【解析】对于A选项，直线的方程可变形为， 由可得，所以，直线过定点， 因为，所以，点在圆内， 故无论取何值，直线与圆相交，A对； 对于B选项，圆心为坐标原点，半径为， 当时，点到直线的距离取最大值，且其最大值为， 此时，直线被圆截得的弦长最短，且最短弦长为，B错； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设圆心关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，则①， 直线，且直线的斜率为，则②，联立①②可得，， 故若，则圆关于直线对称的圆的方程为，C对； 对于D选项，若直线表示直线，则，无解， 且直线过点，故直线不能表示直线，D错.故选：AC. 11.（24-25高二上·重庆·月考）如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为 【答案】BC 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下 图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为，其中、， 对于A选项，，，则， 所以，与不垂直，故不存在点，使得平面，A错； 对于B选项，，， 若存在点，使得平面，则，解得， 即当点与点重合时，平面，B对； 对于CD选项，，可得， 又因为，，设，，其中， 则， 则， 因为，则，所以，， 所以，，当且仅当时，即当时，取最小值， ，当且仅当或时，即当或时，取最大值， C对D错. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 . 【答案】19 【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15， ，故选出来的第5个个体的编号为19. 故答案为:19. 13.（24-25高二上·广东·月考）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则 ． 【答案】 【解析】由已知可得，.由题知四点共面， 可设，则， 所以 ， 整理可得，. 又不共面，所以有，解得. 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率为，过且倾斜角为120°的直线l与C交于A，B两点，若的内切圆的面积为，则C的虚轴长为 ． 【答案】6 【分析】由题意可得， C的渐近线方程为，的内切圆的半径为，结合双曲线的定义可得，联立直线和双曲线方程，由韦达定理及弦长公式可得，从而有，求解即可得答案. 【详解】解：由C的离心率为可知，则，所以C的渐近线方程为． 经过的直线l的倾斜角为120°，所以A，B都在C的左支上．  因为的内切圆的面积为， 所以的内切圆的半径为， 所以的面积为， 由双曲线的定义可知， 所以． 又， 所以，解得， 由题可知，所以直线l的方程为， 联立得，所以，， 则， 所以，解得，则，故C的虚轴长为． 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】(1)，圆心坐标，半径为；(2)或 【解析】（1）由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． （2）由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 16.（2024上·辽宁大连·高二统考期末）大连市某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生的数学成绩，将成绩按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校高一全体学生数学成绩的分位数； (3)现从成绩在和的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中再随机抽取2名学生，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率． 【答案】(1)0.01 (2)115分 (3) 【详解】（1）由题意有，解得. （2）由题意的学生数占比， 的学生数占比， 所以该校高一全体学生数学成绩的分位数在区间内， 所以设该校高一全体学生数学成绩的分位数为分，则， 解得，所以该校高一全体学生数学成绩的分位数为115分. （3）成绩在和的两组学生人数分别有人，人， 用分层抽样的方法抽取5名学生，则在和的两组学生中被抽取的分别有人，不妨设为，人，不妨设为， 抽取的这两人的所有可能的情况为：， 抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的情况共有9种， 所以抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率为. 17.（2025·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5， 因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）证明：设，且， 联立消去x可得， 则，且，即， 所以， 由，得，即， 解得（舍）或，故直线l的方程为， 所以直线l必过定点． 18.（24-25高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 19.（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.    (1)求椭圆的离心率； (2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值； (3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为定值， 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得， 所以椭圆E的的离心率. （2）设直线的方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为原点为的重心，所以，， 所以. （3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或， 当时，直线的方程为；当时，直线的方程为， 将或者代入椭圆方程，均求得， 又点到直线的距离均为3，因此. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由（2）知，， ，， 因为在椭圆上，代入椭圆方程可得， 化简得， 又 ， 到直线AB的距离为： ， 所以为定值. 综上所述，的面积是为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $