精品解析：山东百师联盟2025-2026学年高一上学期阶段测试(三)数学试题

阶段测试卷（三） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知，且，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象过点，函数则“，”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（为常数），当时，的最大值是15，则的值是（ ）． A. 或 B. 或 C. 6或 D. 6 7. 函数与互为反函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是指数函数，若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 且， C. 函数在上单调递减 D. 当时，函数的值域为 10. 已知，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在R上单调递减 C. D. 或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知则___________． 13. 已知奇函数在上为增函数，，若，，，则，，的大小关系为______.（用“<”连接） 14. 设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式： （1）； （2）． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数的图象关于点对称，求的值. 17. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③. （1）请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由： （2）根据所给信息求出函数的解析式； （3）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）. 18. 已知函数． （1）用定义证明函数在R上为减函数； （2）若（其中，），求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（三） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 2. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 3. 已知，且，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选：A. 4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 5. 已知幂函数的图象过点，函数则“，”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数图象过点，求出，得到的解析式，并根据条件得到在上单调递减时的取值范围，最后根据必要不充分条件的含义可得答案． 【详解】设幂函数，其图像过点，所以，解得， 所以，所以， 若满足“，”，则在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是，又是的真子集， 是的一个必要不充分条件. 是的充分必要条件. 是的充分不必要条件. 是的既不充分又不必要条件. 故选：B. 6. 已知二次函数（为常数），当时，的最大值是15，则的值是（ ）． A. 或 B. 或 C. 6或 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分三种情况讨论：当，当，当，分别求出的值. 【详解】二次函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，对于，随着的增大而减小，故当时，取得最大值，即，解得，符合题意； ②当，即时，在处取得最大值， 即，得，解得或（舍去）； ③当，即时，对于，随着的增大而增大， 故当时，取得最大值， 即，解得（舍去）． 综上所述，或6． 故选：C． 7. 函数与互为反函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题得，再运用换元法，解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题可知，， 则由可得. 令，则， 则有，得，又因为， 故得，即，得， 解得. 故选：C. 8. 已知函数是指数函数，若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性得在上恒成立，判断函数的单调性，即可求参数范围. 【详解】由是指数函数，可知， 解得或（舍去），，故. 若“，使得成立”为假命题， 则“，使得成立”为真命题. 因为， 因此原题可转化为，，恒成立， 又因为在上单调递增， 故有，即在上恒成立. 设， 由，可得， 则，因此在上单调递增， 故要使得在上恒成立， 就要使，即， 解得，又因为， 故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 且， C. 函数在上单调递减 D. 当时，函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义域的判断依据可求解A选项；将代入函数的解析式可判断B选项；将函数分离常数后借助反比例函数的性质可判断C选项；利用函数的单调性即可判断D选项. 【详解】对于A，由，得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，且，，故B正确； 对于C，因为在和上单调递减， ， 所以函数在和上单调递减，但在定义域上不单调，故C错误； 对于D，由C选项知，函数在上单调递减，又，所以函数的值域为.故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在R上单调递减 C. D. 或 【答案】AC 【解析】 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知奇函数在上为增函数，，若，，，则，，的大小关系为______.（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】函数为偶函数且在上为增函数，比较的大小关系，由此可得出，，的大小关系. 【详解】由题可得的定义域为关于原点对称， 又，所以是上的偶函数． 因为为奇函数且在上为增函数，所以当时，故对于有， ， 所以 ，所以， 所以为上的增函数． 因为，所以， 即． 故答案为：. 14. 设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解决二次函数型复合函数零点个数问题，可以通过换元将其转化为一元二次方程，结合实根分布的知识来解决． 【详解】令，则，作出函数的图象如答图13-7，函数有8个不同的零点， 等价于与的图象有8个交点，等价于函数在上有两个零点， 则，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；. （2）利用对数的运算法则和性质，即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知函数是定义在上的奇函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数的图象关于点对称，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）求得，由题意可得，代入求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 又因为，， 由， 可得， 从而得， 解得， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 又因为的图象关于对称， 所以， 即， 整理得对任意恒成立， 所以， 解得. 17. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③. （1）请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由： （2）根据所给信息求出函数的解析式； （3）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）. 【答案】（1）选模型③ （2） （3）37分钟 【解析】 【分析】（1）根据幂函数，指数型函数以及对数型函数的图象性质即可求解， （2）代入，即可联立方程求解， （3）根据对数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③. 【小问2详解】 所求函数过点，， 则，解得， 故所求函数为 经检验，当时，，符合题意. 综上所述，函数的解析式为. 【小问3详解】 ∵每天得分不少于分，∴，即， ∴，即， ∴至少需要锻炼37分钟. 18. 已知函数． （1）用定义证明函数在R上为减函数； （2）若（其中，），求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）任取，，且， 则， 因为，所以，所以，则， 所以函数在R上为减函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明结论； （2）利用函数的单调性可得，结合对数函数性质分类讨论，即得答案； （3）结合函数单调性，利用零点存在定理即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得在R上为减函数，又， 则， 当时，，解得， 当时，，解得，不成立， 综上所述， 【小问3详解】 由（1）得在R上为减函数，则在R上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 即，且 解得. 19. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 若，则，令，得， 故的定义域为． 【小问2详解】 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $