精品解析：湖南省常德芷兰实验学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025年下学期期末考试试卷 九年级 数学（问卷） 时量：120分钟 满分：120分 一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为14．若BC＝1，则EF的长是（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 16 4. 从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为0.3，乙队8人射中靶数的方差为0.28，则可作出估计（ ） A. 乙队的射击水平高于甲队 B. 甲队的射击水平高于乙队 C. 乙队的射击水平比甲队稳定 D. 甲队的射击水平比乙队稳定 5. 下列各点中，在双曲线上的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（　　） A. 10（1+x）2＝50 B. 10（1+x）2＝40 C. 10（1+x）+10（1+x）2＝50 D. 10（1+x）+10（1+x）2＝40 7. 点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、．若，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 抛物线交x轴于A（，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当△ABD是等腰直角三角形时，则；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 12. 在函数中，当时，的取值范围是_____． 13. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为12米，那么这个斜坡的长度为_____米． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，，若，则__________． 15. 如图，是用12个相似的直角三角形（点的对应点是点）组成的图案，若，则的长为_____． 16. 对实数，定义新运算“”如下：，如，，若的两根为，，则______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17. 计算：． 18. 解方程： 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19. 如图，已知反比例函数与正比例函数的图像交于，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）已知点C在x轴的正半轴上，且的面积为3，求点C的坐标． 20. 某校为了丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球．为了解学生最喜爱以上哪种球类运动项目，该校随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且仅选一种），并绘制了如下不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查了 名学生，扇形统计图中对应扇形圆心角的度数是 ； （2）本次调查中喜欢足球的有多少人？请补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计该校最喜欢项目的学生人数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为（A，B，D，E在同一条直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到0.1米，参考数据） 22. 如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题： （1）______，______． （2）当t为何值时，． （3）设的面积为，求y与t之间的函数关系式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末考试试卷 九年级 数学（问卷） 时量：120分钟 满分：120分 一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据比例关系，通过交叉相乘即可得到正确等式，无需考虑特例． 【详解】解：∵， ∴交叉相乘得， 即选项B正确； 选项A为，与推导结果不符； 选项C和D仅为特例，不一定成立，因此错误， 故选：B． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的知识点，判断的情况，即可解． 【详解】∵ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3. 已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为14．若BC＝1，则EF的长是（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解． 【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4， ∴（BC：EF）2=1：4， 解得BC：EF=1：2， ∵BC=1， ∴EF=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方，比较简单，熟记性质是解题的关键． 4. 从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为0.3，乙队8人射中靶数的方差为0.28，则可作出估计（ ） A. 乙队的射击水平高于甲队 B. 甲队的射击水平高于乙队 C. 乙队的射击水平比甲队稳定 D. 甲队的射击水平比乙队稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 根据方差的意义即可得正确选项. 【详解】解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定， ∵ 方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙.   故选：C ． 5. 下列各点中，在双曲线上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数的图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 根据双曲线得到，只要具备等于6就能判断此点在图象上，反之就不在图象上，代入判断即可． 【详解】解：双曲线， ， A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（　　） A. 10（1+x）2＝50 B. 10（1+x）2＝40 C. 10（1+x）+10（1+x）2＝50 D. 10（1+x）+10（1+x）2＝40 【答案】D 【解析】 【分析】如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为10万元，分别表示出二月、三月的营业额，根据一月、二月、三月的营业额共50万元，可列方程． 【详解】解：设平均增长率为x，则二月份的收益为10（1+x）万元，三月份的收益为10（1+x）2万元， 根据题意得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝50，即10（1+x）+10（1+x）2＝40． 故选D． 【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 7. 点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关于x轴对称的点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，先计算点P坐标 求其关于x轴对称点Q，再将Q绕原点顺时针旋转，利用全等得点R坐标． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∵点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 8. 如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、．若，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，勾股定理，等边对等角，解题的关键连接圆心与切点构造辅助线．连接、、，根据切线的性质可得，根据等边对等角结合已知易求得和的度数，根据四边形的内角和可求得，从而利用勾股定理求解半径长即可． 【详解】解：如图，连接、、， 、分别与相切于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设的半径为，则有， 在中，， 解得， 即的半径为． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，掌握通过相似，对线段长度之比进行转换是解题的关键． 延长交于点H，先证，得到，再通过，得到占的，占的，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故选：B． 10. 抛物线交x轴于A（，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当△ABD是等腰直角三角形时，则；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据的交点是，，可知对称轴为x=1，从而可判断①；根据①的结论及a-b+c=0可得c与a的关系，从而判断②；根据二次函数在顶点处取得最小值可以判断③；当△ABD是等腰直角三角形时，可知D(1,-2)代入二次函数解析式，结合b=-2a，c=-3a判断④；根据等腰三角形的边的关系判断C点的个数，从而判断⑤． 【详解】解：∵的交点是，， ∴抛物线的对称轴为： ， ∴， ∴b=-2a，即，故①正确； ∵（-1，0）在二次函数的图象上， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a， ∴2c=3b，故②正确； ∵抛物线的对称轴为： ， ∴此时，是二次函数的最小值 ∴当时，即，故③正确； 当△ABD是等腰直角三角形时， 则D(1,-2)代入二次函数解析式， 又∵b=-2a，c=-3a， 即a-2a-3a=-2， ∴，故④错误； 当△ABC是等腰三角形时，当AB=AC或AB=BC， 则满足条件的C有两种可能，AC=BC不存在，故⑤错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 12. 在函数中，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质，结合自变量 x 的取值范围，分析函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵函数 是反比例函数，比例系数 ， ∴函数图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵当 时，， ∴当 时，，且 y 为正数， 因此，y 的取值范围是 ， 故答案为：． 13. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为12米，那么这个斜坡的长度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了对坡度的理解及勾股定理，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值．根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为12:5，已知垂直高度为12米，可求水平距离，再利用勾股定理求斜坡长度． 【详解】解：设水平距离为米， 根据坡度定义，得， 解得：， ∴斜坡长度（米）． 故答案为： 14. 已知点P是线段的黄金分割点，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的概念．根据黄金分割的定义，得到，求出的长，进而求出的长，即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 如图，是用12个相似的直角三角形（点的对应点是点）组成的图案，若，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． 先求解，根据直角三角形的性质可得，再运用三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：∵有12个相似的直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为：． 16. 对实数，定义新运算“”如下：，如，，若的两根为，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．先解一元二次方程求出两根，再根据新运算的定义，比较两根的大小，从而得出结果． 【详解】解： ， ， 解得，． 若，，则，根据定义， 若，，则，根据定义， 综上，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂与零指数幂、含特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂与零指数幂、含特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19. 如图，已知反比例函数与正比例函数的图像交于，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）已知点C在x轴的正半轴上，且的面积为3，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再根据题意得到，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴， 【小问2详解】 解方程组得：或， ∴， 设点C的坐标为， 则， 解得：， ∴点C的坐标为． 20. 某校为了丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球．为了解学生最喜爱以上哪种球类运动项目，该校随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且仅选一种），并绘制了如下不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查了 名学生，扇形统计图中对应扇形圆心角的度数是 ； （2）本次调查中喜欢足球的有多少人？请补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计该校最喜欢项目的学生人数． 【答案】（1）， （2） 喜欢足球的有人，补全条形统计图，如图： （3）估计该校最喜欢项目的学生人数为名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体； （1）用最喜欢“羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，用乘以最喜欢“排球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“足球”的学生人数，即可求解； （3）用乘以最喜欢“乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， 即：喜欢足球的有人； 补全条形统计图，如图： 【小问3详解】 解：， 即：该校最喜欢项目的学生有人． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为（A，B，D，E在同一条直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】宣传牌的高度约为4.3米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论，进一步解答即可得解． 【详解】解：过点作于， 依题意知，，， 四边形是矩形， ， 在中， （米， ； 斜坡的坡度为． 中，（米， （米． 在中， （米， 在中， （米， （米． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 22. 如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理、不规则图形的面积、菱形的性质和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题： （1）______，______． （2）当t为何值时，． （3）设的面积为，求y与t之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）当t为秒时， （3）y与t之间的函数关系式为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由勾股定理计算，结合题意即可得解； （2）先证，得到，得到，求解即可； （3）作于点D，交的延长线于点E，易得，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式； 【小问1详解】 解：∵，，， ， 由题意得：， ； 【小问2详解】 解：如下图所示， ， ， ， ， ， 解得：，经检验，是原方程的解， 故当t为秒时，； 【小问3详解】 解：作于点D，交的延长线于点E， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为， y与t之间的函数关系式为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）△ADE的面积最大值为．（3）点P的坐标为（-1，）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）先求出直线AE的解析式为y=x+1，作DG⊥x轴，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+2m-3），则F（m，m+1），DF=-m2-m+4，根据S△ADE=S△ADF+S△DEF可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案； （3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线x=-1，据此设P（-1，n），由A（-3，0），E（0，1）知AP2=4+n2，AE2=10，PE2=（n-1）2+1，再分AP=AE，AP=PE及AE=PE三种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c经过点A（-3，0）、B（1，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为y=x2+2x-3； （2）设直线AE的解析式为y=kx+b， ∵过点A（-3，0），E（0，1）， ∴， 解得：， ∴直线AE解析式为y=x+1， 如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F， 设D（m，m2+2m-3），则F（m，m+1）， ∴DF=-m2-2m+3+m+1=-m2-m+4， ∴S△ADE=S△ADF+S△DEF =×DF×AG+DF×OG =×DF×（AG+OG） =×3×DF =（-m2-m+4） =-m2-m+6 =， ∴当m=-时，△ADE的面积取得最大值为． （3）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴抛物线对称轴为直线x=-1， 设P（-1，n）， ∵A（-3，0），E（0，1）， ∴AP2=（-1+3）2+（n-0）2=4+n2，AE2=（0+3）2+（1-0）2=10，PE2=（0+1）2+（1-n）2=（n-1）2+1， ①若AP=AE，则AP2=AE2，即4+n2=10，解得n=±， ∴点P（-1，）或（-1，-）； ②若AP=PE，则AP2=PE2，即4+n2=（n-1）2+1，解得n=-1， ∴P（-1，-1）； ③若AE=PE，则AE2=PE2，即10=（n-1）2+1，解得n=-2或n=4， ∴P（-1，-2）或（-1，4）； 综上，点P的坐标为（-1，）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $