专题11一元一次不等式寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固专练)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题11一元一次不等式寒假预习讲义 ·懂概念：吃透一元一次不等式组、解集的核心定义，能快速判断不等式组类型； ·会解法：掌握 “解单个不等式→数轴找公共解” 两步法，熟记解集四句口诀并灵活用； ·通思想：用数轴把抽象解集变直观，学会类比一元一次不等式解法解不等式组； ·能应用：找准实际问题中的不等关系，尝试列一元一次不等式组解决简单问题； ·守规范：规范解题步骤，精准计算，避开移项变号、数轴标解等常见易错点。 .预习必备 知识点梳理 1.不等式组通用解题步骤 2.常见题型核心公式 3.预习易错点 常考题型 精讲精炼 1.不等式组:求解集 2.不等式组:求整数解 3.不等式组:由解集求参数 4.不等式组:由解集情况求参数 5.不等式组与方程组综合题 6.列不等式组解应用题 7.不等式组:行程类问题 8.不等式组:经济类问题 9.不等式组:分配类问题 10.不等式组:方案选择问题 11.不等式组:阶梯收费问题 12.不等式组:其他综合问题 强化巩固 题型通关 (13题) . 【知识点01.不等组通用解题步骤】 · 审：审清题意，找出已知量、未知量，明确题目中的不等关系 （常见关键词：至少、最多、不小于、不大于、超过、不足、不能超过等）。 · 设：设出合适的未知数（直接设或间接设，注意单位）。 · 列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）。 · 解：解出不等式（组）的解集。 · 验：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数量为正整数，时间、长度为非负数等）。 · 答：写出符合题意的答案。 【知识点02.常见题型核心公式】 1. 分配问题 公式：总数量 = 每份量 × 份数 ± 剩余 / 不足量 2. 方案设计（购买 / 租车 / 租船） 公式：总费用 = 单价 × 数量；总承载量 = 单量 × 数量 3. 最值问题 公式：同方案设计（总费用 / 总承载量公式） 核心：解不等式组定正整数取值范围，枚举算最值 4. 比较 / 决策问题 公式：各方案总费用 / 耗时 = 单位量 × 数量 + 固定量 5. 行程问题 公式：路程 = 速度 × 时间； 相遇总路程 = 甲 + 乙路程； 追及路程差 = 速度差 × 时间 6. 工程问题 公式：工作总量 = 效率 × 时间（总工作量常设 1）；合作效率 = 各效率和 7. 数字问题 公式：两位数 = 10× 十位 + 个位；三位数 = 100× 百位 + 10× 十位 + 个位 8.阶梯收费问题（水费 / 电费 / 燃气费 / 打车费） 核心公式：总费用 = 各阶梯单价 × 对应用量（里程）之和 9.经济问题（盈利 / 打折 / 进价售价） 核心公式： 利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100% 折后价 = 原价 × 折扣（如 8 折 =×0.8） 总利润 = 单件利润 × 销售数量不等关系： 【知识点03.易错点总结】 · 概念判断错：误将含不同未知数、非一元一次的不等式组合判定为一元一次不等式组 · 单个不等式解错：移项忘变号、系数化为 1 时，乘除负数未反向不等号 · 数轴标解失误：实心点 / 空心点混淆，解集方向标反，未准确画出单个不等式的解集范围 · 找公共解集出错：不会结合数轴分析，死记口诀却用反（如同大取小、大小小大找错范围），忽略 “大大小小无解” 的情况 · 解题步骤不规范：跳步解不等式、未写出 “公共解集” 步骤，直接写最终答案，检查无依据 · 实际问题建模错：找不全不等关系，漏设未知数或单位，解集未结合实际意义取舍（如人数、数量为正整数） 【题型1.不等式组:求解集】 【典例】不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选：． 【跟踪专练1】若点在第二象限，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，熟练掌握“第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0”是解题的关键．根据第二象限内点的横、纵坐标的符号特征，列出不等式组求解． 【详解】解：∵ 点在第二象限 ∴ 横坐标，纵坐标 解不等式，得 解不等式，得 故答案为：且． 【跟踪专练2】已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 根据点在坐标系中位置得关于的不等式组，解不等式组求得的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：． 【题型2.不等式组:求整数解】 【典例】满足的整数是 ． 【答案】，1/， 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，不等式的意义，解题的关键是理解题意，根据，写出满足条件的整数即可． 【详解】解：满足的整数是，1． 故答案为：，1． 【跟踪专练1】关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据有2个偶数解列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有2个偶数解， ∴这2个偶数解为2，4， ∴，解得， ∵a为整数， ∴a为，，，， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 故选：B． 【跟踪专练2】不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 【题型3.不等式组:由解集求参数】 【典例】若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， ∵不等式组无解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 【跟踪专练1】关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先求出，则，，将关于x的不等式化为 ，得到，即可解答． 【详解】解：由得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， ∴， ∴关于x的不等式，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【题型4.不等式组:由解集情况求参数】 【典例】关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，根据“小大大小中间找”，即可解答． 【详解】 解：不等式组的解集是， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于x的不等式组的整数解有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据不等式组解集情况求参数，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般方法．先解不等式组得到解集，再根据整数解只有2个确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵整数解有2个，即为和， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】关于x的不等式组至少有2个偶数解，且关于m，n的方程组的解均为整数，则符合条件的所有整数a的积为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和二元一次方程组的求参，首先解不等式组，得到解集范围，由至少有2个偶数解得出．再解方程组，由解为整数得出是4的约数，从而得到可能的a值，结合筛选出，这些均满足条件，求积得0． 【详解】解：解不等式组： 由，解得． 由，解得． 故不等式组的解集为且． 要求至少有2个偶数解，则需解集包含和，故，即． 解方程组：， 由第二式得，代入第一式得，即， 所以． 代入得． 要求m，n均为整数，则需是4的约数，即， 解得． 结合，得． 对于这些a值，验证不等式组均有至少2个偶数解，且方程组解为整数． 故所有整数a为0，1，3，4，6，其积为． 故答案为：0． 【题型5.不等式组与方程组综合题】 【典例】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【跟踪专练1】若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 【题型6.列不等式组解应用题】 【典例】的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示： ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题列出一元一次不等式组，理解题意并能列出相应的不等式组是解答本题的关键．根据题意写出相应的不等式组即可． 【详解】解：的5倍在3与7之间（不包括3和）用不等式（组）表示是 故答案为：． 【跟踪专练1】若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 【题型7.不等式组:行程类应用题】 【典例】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练1】某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型8.不等式组:经济类问题】 【典例】某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 【跟踪专练1】某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的2倍，购买奖品的花费不得高于680元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元 (2)购买A奖品17个，购买B奖品8个，花费最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的解法，需熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法． （1）设出未知数，根据题目已知条件列二元一次方程组求解即可． （2）根据A种奖品与B种奖品的数量关系以及钱数列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， ∵购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元， 购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元， 由题意，得：，解得：． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元． （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， ∵购买奖品的花费不得高于680元， 由题意，得：，解得：． ∵m为整数， ∴，则． ∴学校有两种购买方案， 方案一：购买A种奖品17个，则购买B种奖品8个， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， 此时花费元； 方案二：购买A种奖品18个，则购买B种奖品7个， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， 此时花费元； ∴时，花费最少， 即购买A奖品17个，购买B奖品8个，花费最少． 【题型9.不等式组:分配类问题】 【典例】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 【跟踪专练1】某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 【跟踪专练2】近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 【题型10.不等式组:方案选择类问题】 【典例】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【跟踪专练1】某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【跟踪专练2】某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，已知甲商品进价为15元一件，售价为20元一件，乙商品进价为35元一件，售价为45元一件．（注：获利售价进价） (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于4290元且销售完这批商品后获利多于1260元，共有哪几种购货方案？ 【答案】(1)甲种商品购进100件，乙种商品购进60件； (2)有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件． 方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 【分析】本题考查的一元一次不等式组的应用和一元一次方程的应用． （1）设甲种商品应购进x件，则乙种商品应购进件，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设甲种商品应购进x件，则乙种商品应购进件， 根据题意得： 解得： 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件； （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件． 根据题意得 ． 解不等式组，得． ∵a为非负整数， ∴a取66，67． ∴相应取94，93． ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件． 方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 【题型11.不等式组:阶梯收费类问题】 【典例】某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型12.不等式组:其他综合问题】 【典例】小明在网上购买了牛奶和蛋糕，牛奶的储藏温度要求为，蛋糕的储藏温度要求为，若快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，则储藏温度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数学知识解决实际问题，根据题意，快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，储藏温度应该既满足牛奶的储藏温度又满足蛋糕的储藏温度，从而得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：牛奶的储藏温度要求为，蛋糕的储藏温度要求为， 若快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，储藏温度应该既满足牛奶的储藏温度又满足蛋糕的储藏温度，则储藏温度应为， 故选：B． 【跟踪专练1】某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键． 设共有宿舍x间，根据如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，最后一间宿舍不空也不满，列出一元一次不等式组，求出解集，再由x为整数，即可解答． 【详解】解：设共有宿舍x间，依题意，得 解①得 ， 解②得 ， ∴原不等式的解集为， ∵x为整数， ∴x可以为5或6． 故答案为：5或6． 【跟踪专练2】一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的货车共6辆一次将货物全部运完，已知每辆甲型货车最多能装该种货物16吨，租金400元，每辆乙型货车最多能装该种货物18吨，租金425元，若此工厂计划此次租车费用不超过2500元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．（请列不等式（组）解此应用题） 【答案】一共有三种租车方案：租甲种型号的货车2辆，租乙种型号的货车4辆；租甲种型号的货车3辆，租乙种型号的货车3辆；租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆，最低费用为2450元． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设租甲种型号的货车x辆，则租乙种型号的货车辆，根据总运货量要不低于100吨，且租车费用不超过2500元建立不等式求解即可． 【详解】解：设租甲种型号的货车x辆，则租乙种型号的货车辆， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的值为2或3或4， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种租车方案：租甲种型号的货车2辆，租乙种型号的货车4辆；租甲种型号的货车3辆，租乙种型号的货车3辆；租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆； ∵， ∴租1辆甲种型号的货车的费用比租1辆乙种型号的货车的费用低， ∴当甲种货车最多时，总费用最低，即租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆时，费用最低，最低为元， 答：一共有三种租车方案：租甲种型号的货车2辆，租乙种型号的货车4辆；租甲种型号的货车3辆，租乙种型号的货车3辆；租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆，最低费用为2450元． 1．不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组无解的条件，解题关键是先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据 “大大小小无解” 的原则确定参数的取值范围． 先解不等式组：由得；由得．根据 “不等式组无解” 的条件（大于大数、小于小数），需，求解得． 【详解】∵ 解不等式得 ， 解不等式得， 又∵ 不等式组无解， 解得 ． 故选D． 2．若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的方法，以及根据整数解的个数确定参数取值范围的思路是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据只有2个整数解确定整数解为0和1，从而推导a的取值范围． 【详解】解：解不等式组： ∵ 且 ∴解集为． ∵解集只有2个整数解，且， ∴整数解为和． 为确保只有这两个整数解： 在解集中，∴； 不在解集中，∴． ∴． 故选 C． 3．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有6个整数解，分别为， ∴， 故选：D． 4．已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 5．已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 6．对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据表示不大于的最大整数可列不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义最大整数问题，掌握表示不大于的最大整数的定义，抓住是解题关键． 7．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 8．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，第一次敲进长度为，第二次敲进长度为，第三次敲进长度最大值为，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解不等式得：， 解不等式得：， 因此不等式组的解集为， 故答案为：． 解答题 9．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，数轴见解析，9． 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再在数轴上表示解集，最后找出所有整数解并计算它们的和． 【详解】解：①解不等式①： ． ②解不等式②： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和 ∴不等式组的解集为． ④在数轴上表示解集： ⑤求整数解并求和： 解集中的整数解为：． 整数解的和为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、数轴表示解集以及整数解的求和，解题关键是准确求解每个不等式，正确确定公共解集，并在数轴上规范表示． 10．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 11．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 12．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 【答案】(1)见解析 (2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地 【分析】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表； （2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案． 【详解】（1）解：表格填写如下： 甲地 乙地 丙地 产品件数 运费/元 （2）解：根据题意，得 解得 ∴该不等式组的解集为． 为正整数， 可取或或． 故一共有种运输方案，分别如下： 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数． 13．为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 【答案】(1)， (2)有两种购买方案∶方案一，购买A型设备1台，B型设备9台；方案二，购买A型设备2台，B型设备8台 (3)最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出方程组求解； （2）根据题意列出不等式组求解，并求得正整数解； （3）通过计算、比较，再作出决策． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 故，； （2）解：设购买A型x台，则B型台， 由题意得：， 解得：， 所以或， 所以有两种购买方案∶ 方案一，购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二，购买A型设备2台，B型设备8台； （3）解：方案一需要资金：万元， 方案二需要资金：万元， 方案一更省钱， 即最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次不等式寒假预习讲义 ·懂概念：吃透一元一次不等式组、解集的核心定义，能快速判断不等式组类型； ·会解法：掌握 “解单个不等式→数轴找公共解” 两步法，熟记解集四句口诀并灵活用； ·通思想：用数轴把抽象解集变直观，学会类比一元一次不等式解法解不等式组； ·能应用：找准实际问题中的不等关系，尝试列一元一次不等式组解决简单问题； ·守规范：规范解题步骤，精准计算，避开移项变号、数轴标解等常见易错点。 .预习必备 知识点梳理 1.不等式组通用解题步骤 2.常见题型核心公式 3.预习易错点 常考题型 精讲精炼 1.不等式组:求解集 2.不等式组:求整数解 3.不等式组:由解集求参数 4.不等式组:由解集情况求参数 5.不等式组与方程组综合题 6.列不等式组解应用题 7.不等式组:行程类问题 8.不等式组:经济类问题 9.不等式组:分配类问题 10.不等式组:方案选择问题 11.不等式组:阶梯收费问题 12.不等式组:其他综合问题 强化巩固 题型通关 (13题) . 【知识点01.不等组通用解题步骤】 · 审：审清题意，找出已知量、未知量，明确题目中的不等关系 （常见关键词：至少、最多、不小于、不大于、超过、不足、不能超过等）。 · 设：设出合适的未知数（直接设或间接设，注意单位）。 · 列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）。 · 解：解出不等式（组）的解集。 · 验：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数量为正整数，时间、长度为非负数等）。 · 答：写出符合题意的答案。 【知识点02.常见题型核心公式】 1. 分配问题 公式：总数量 = 每份量 × 份数 ± 剩余 / 不足量 2. 方案设计（购买 / 租车 / 租船） 公式：总费用 = 单价 × 数量；总承载量 = 单量 × 数量 3. 最值问题 公式：同方案设计（总费用 / 总承载量公式） 核心：解不等式组定正整数取值范围，枚举算最值 4. 比较 / 决策问题 公式：各方案总费用 / 耗时 = 单位量 × 数量 + 固定量 5. 行程问题 公式：路程 = 速度 × 时间； 相遇总路程 = 甲 + 乙路程； 追及路程差 = 速度差 × 时间 6. 工程问题 公式：工作总量 = 效率 × 时间（总工作量常设 1）；合作效率 = 各效率和 7. 数字问题 公式：两位数 = 10× 十位 + 个位；三位数 = 100× 百位 + 10× 十位 + 个位 8.阶梯收费问题（水费 / 电费 / 燃气费 / 打车费） 核心公式：总费用 = 各阶梯单价 × 对应用量（里程）之和 9.经济问题（盈利 / 打折 / 进价售价） 核心公式： 利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100% 折后价 = 原价 × 折扣（如 8 折 =×0.8） 总利润 = 单件利润 × 销售数量不等关系： 【知识点03.易错点总结】 · 概念判断错：误将含不同未知数、非一元一次的不等式组合判定为一元一次不等式组 · 单个不等式解错：移项忘变号、系数化为 1 时，乘除负数未反向不等号 · 数轴标解失误：实心点 / 空心点混淆，解集方向标反，未准确画出单个不等式的解集范围 · 找公共解集出错：不会结合数轴分析，死记口诀却用反（如同大取小、大小小大找错范围），忽略 “大大小小无解” 的情况 · 解题步骤不规范：跳步解不等式、未写出 “公共解集” 步骤，直接写最终答案，检查无依据 · 实际问题建模错：找不全不等关系，漏设未知数或单位，解集未结合实际意义取舍（如人数、数量为正整数） 【题型1.不等式组:求解集】 【典例】不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点在第二象限，则a的取值范围是 ． 【跟踪专练2】已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.不等式组:求整数解】 【典例】满足的整数是 ． 【跟踪专练1】关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【题型3.不等式组:由解集求参数】 【典例】若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【跟踪专练2】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型4.不等式组:由解集情况求参数】 【典例】关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【跟踪专练1】已知关于x的不等式组的整数解有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的不等式组至少有2个偶数解，且关于m，n的方程组的解均为整数，则符合条件的所有整数a的积为 ． 【题型5.不等式组与方程组综合题】 【典例】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【跟踪专练2】关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6.列不等式组解应用题】 【典例】的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示： ． 【跟踪专练1】若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【题型7.不等式组:行程类应用题】 【典例】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【跟踪专练1】某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【跟踪专练2】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型8.不等式组:经济类问题】 【典例】某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【跟踪专练2】学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的2倍，购买奖品的花费不得高于680元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【题型9.不等式组:分配类问题】 【典例】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【跟踪专练1】某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【跟踪专练2】近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【题型10.不等式组:方案选择类问题】 【典例】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 【跟踪专练1】某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【跟踪专练2】某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，已知甲商品进价为15元一件，售价为20元一件，乙商品进价为35元一件，售价为45元一件．（注：获利售价进价） (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于4290元且销售完这批商品后获利多于1260元，共有哪几种购货方案？ 【题型11.不等式组:阶梯收费类问题】 【典例】某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【跟踪专练1】如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【跟踪专练2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【题型12.不等式组:其他综合问题】 【典例】小明在网上购买了牛奶和蛋糕，牛奶的储藏温度要求为，蛋糕的储藏温度要求为，若快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，则储藏温度应为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间． 【跟踪专练2】一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的货车共6辆一次将货物全部运完，已知每辆甲型货车最多能装该种货物16吨，租金400元，每辆乙型货车最多能装该种货物18吨，租金425元，若此工厂计划此次租车费用不超过2500元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．（请列不等式（组）解此应用题） 1．不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 5．已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 6．对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围 ． 7．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 8．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是 ． 解答题 9．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 10．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 11．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 12．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 13．为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $