1.2整式的乘法课件2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 2 整式的乘法 第2课时 单(多)项式乘多项式 北师版 七年级 数学（下） 知识回顾 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： aman=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn 4.同底数幂的除法： 前面学习了哪些幂的运算?运算法则分别是什么? m，n都是正整数 am÷an=am+n 新课导入 一个长方形操场被划分成四个相同的小长方形活动区域，各边的长度如图所示。如何计算整个操场的面积?你是怎么想的? A B C D a b 从整体看，操场的面积为______; 2a·2b 从局部看，操场的面积为______。 操场由4个小长方形组成。 4ab 2a·2b=4ab 你发现了什么? 一个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区域，各边的长度如图所示。如何计算整个操场的面积?你是怎么想的? A B C D 探究新知 思考 小明认为可以先分别计算四个小活动区域的面积，再求整个操场的面积。 A B C D A区域的面积: 2b·a B区域的面积: 3a·a C区域的面积: 3b·2b D区域的面积: 3a·3b 你能求出A，B，C，D四个区域的面积吗? 如何计算? 在计算过程中你用到了哪些运算律或运算性质? =2ab =3a2 =(3×2)·(b·b) =6b2 =(3×3)·(a·b) =9ab 乘法交换律、结合律 你能计算abc·b2c，3x2y·2xy3，5a2b2·(-2ab)吗? abc·b2c = a·(b·b2)·(c·c) = ab3c2 3x2y·2xy3 = (3×2)·(x2·x) ·(y·y3) = 6x3y4 5a2b2·(-2ab) = [5×(-2)]·(a2·a) ·(b2·b) 一般地，如何进行单项式乘单项式的运算? = -10a3b3 讨论探究 5abc·(– 3ab)=[5×(– 3)]·(a·__ )·(b·__ )·c = _________。 一般地，如何进行单项式乘单项式的运算? a b – 15a2b2c 1.积的系数等于各项系数的积。 2.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 3.只在一个单项式里含有的字母，一定要连同它的指数不变作为积的因式。 小结 单项式与单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 注意: ①系数相乘； ②相同字母的幂相乘； ③其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 两相乘，一不变 应用举例 (2)－2a2b3·(－3a)； (3)7xy2z·(2xyz)2； (4)(4×105)·(5×104)； (5)(x2y2)·(－4xy2). 【方法指导】运用幂的运算法则和单项式乘单项式的法则计算即可． (2)原式＝6a3b3； (3)原式＝28x3y4z3； (4)原式＝20×109＝2×1010； (5)原式＝－4x3y4. 【例1】计算：(1)2xy2·； 解：(1)原式＝x2y3； 【例2】已知－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值． 【方法指导】根据－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程，进而求出m，n的值，即可得出答案． 解：因为－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项， 所以3m＋1＋5m－3＝4， 2n＋5n－4＝1， 解得m＝，n＝. 所以m2＋n＝[]2＋＝. 【方法指导】先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积． 【例3】有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长x m，宽y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积． 解：长方形的面积是xy m2， 绿化的面积是x×y＝xy(m2)， 则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2). 课堂小结 单项式与 单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 运算法则 注意 不要漏乘系数 运算顺序 实质 转化 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 随堂检测 1．计算2a3·3a4的结果是( ) A．5a7 B．5a8 C．6a7 D．6a8 C 2．计算(8×104)×(5×103)的结果是( ) A．4×107 B．4×108 C．13×107 D．1.3×108 B 3．若(am+1bn+2)·(a2n-1·b)＝a5b3，求m＋n的值． 解：根据题意， 得m＋1＋2n－1＝5， n＋2＋1＝3， 解得m＝5，n＝0. 所以m＋n＝5. 第1章 整式的乘除 2 整式的乘法 第1课时 单项式乘单项式 北师版 七年级 数学（下） 知识回顾 什么是单项式乘单项式法则? 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 新课导入 A B C D 如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积?你是怎么计算的? 从整体看，A、B的面积为__________; a·(2b+3a) 从局部看， A、B的面积为__________。 2ab+3a2 a·(2b+3a)=2ab+3a2 你可以用运算律解释吗? 你发现了什么? 单项式乘多项式运算 (2) a (2b+3a)=2ab+3a2，你能用运算律解释吗? a (2b+3a)=2ab + 3a2 乘法的分配律 p(a+b+c)=pa+pb+pc 当p、a、b、c为单项式时，乘法分配律也成立。 探究新知 思考 你能计算ab·(abc+2x) ， c2·(m+n–p)，(x2y+xy2)·(–xy) 吗? ab·(abc + 2x) = ab·abc+ab·2x = a2b2c+2abx c2·(m + n – p) = c2m+c2n – c2p (x2y+xy2)·(– xy) = –x3y2–x2y3 一般地，如何进行单项式乘多项式的运算? 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式除以多项式的法则: a (2b+3a)=2ab + 3a2 注意: ①依据是乘法分配律； ②积的项数与多项式的项数相同。 小结 应用举例 例1 计算： (1) 2ab (5ab2 + 3a2b)； (2) ( －2ab) · ； 解：原式 = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b = 10a2b3 + 6a3b2. 解：原式 = ab2 · ab +(-2ab) · ab =a2b3－a2b2 (3) 5m2n (2n + 3m－ n2)； (4) 2(x + y2z + xy2z3) · xyz. 解：原式 = 5m2n · 2n + 5m2n · 3m + 5m2n · (－n2) = 10m2n2 + 15m3n－ 5m2n3. 解： 原式 = (2x + 2y2z + 2xy2z3) · xyz = 2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4. 【例2】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a m， 下底宽(a＋2b) m，坝高a m. (1)求防洪堤坝的横断面面积； 【方法指导】(1)根据梯形面积公式，然后利用单项式乘多项式的运算法则计算； 解：(1)防洪堤坝的横断面面积 S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝a2＋ab(m2). 故防洪堤坝的横断面面积为[ a2＋ab]m2； 【例2】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a m， 下底宽(a＋2b) m，坝高a m. (2)如果防洪堤坝坝长100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 【方法指导】(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长． (2)堤坝的体积V＝[a2＋ab]×100＝50a2＋50ab(m3). 故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab) m3. 新课导入 多项式乘多项式运算 问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得长方形(图2)的面积怎样用不同形式表示? m n 图 1 m n a b 图 2 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗? 方法一：用不同的形式表示所拼图的面积： m n a b ① (m + a)( n + b) ③ m( n + b) + a( n + b) ② n(m + a) + b(m + a) ④ mn + mb + an + ab 于是得到 (m + a)( n + b)＝n(m + a) + b(m + a) ＝m( n + b) + a( n + b)＝mn + mb + an + ab ＝ mn + mb + an + ab. 或 (m + a)( n + b) ＝ m(n + b) + a( n + b) 方法二：把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律： m n a b (m + a)( n + b) ＝(m + a)n + (m + a)b ＝ mn + mb + an + ab. 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗? 小结 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 追问：以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多 项式与多项式相乘的法则? 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 【例3】计算：(1)(1－x)(0.6－x)； 【方法指导】直接利用多项式乘多项式法则进行计算． (2)(2x＋y)(x－y). 解：原式＝1×0.6－1×x－x×0.6＋x·x ＝0.6－x－0.6x＋x2 ＝x2－1.6x＋0.6； 解：原式＝2x·x－2x·y＋y·x－y·y ＝2x2－xy－y2. 应用举例 【例4】某小区的内坝是一块长为(3a＋b) m、宽为(2a＋b) m的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 【方法指导】根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案． 解：由题意， 得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2 ＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(m2). 当a＝3，b＝2时， 5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(m2)， 故绿化的面积是63 m2. 课堂小结 多项式的乘法 单项式乘多项式 单项式乘单项式 多项式乘多项式 (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 转化 转化 1．下列运算正确的是( ) A．3x2(5x2－x3)＝15x4－3x6 B．－a(4a－b)＝－4a2－ab C．－3x(2x2y－3y)＝－6x3y＋9xy D．－2(a－5b)＝－2a＋5b 2．先化简，再求值：x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝3. 解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1， 当x＝3时，原式＝9＋1＝10. 随堂检测 C 3．解方程： (1)(x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)＝3(x2－7x＋15)； (2)(x－4)(6x＋7)＝(3x－2)(2x＋5)＋2. 解：（1）x＝ 解：（2）x＝ $