5.1.2 导数的概念课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2.1 导数的概念 普通高中教科书·数学（A版）选择性必修 第二册 主讲人：王翊帆 情境导入 跳水运动员在某一刻的瞬时速度 抛物线在某一点的切线斜率 想一想， 该如何计算? 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 (单位： )与起跳后的时间(单位： )存在函数关系: 如何求出运动员在 时的瞬时速度? 情境导入 跳水运动员在某一刻的瞬时速度 从物理角度来看，当时间间隔 无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于当时的瞬时速度。 故当 无限趋近于0时，平均速度 的极限，就是该时刻的瞬时速度。 情境一 情境导入 抛物线在某一点的切线斜率 已知抛物线 ， 求该抛物线在 处的切线 的斜率 : 割线 的斜率是 当横坐标间隔 无限变小时，点 无限趋近于点 ，于是割线 无限趋近于点 处的切线 . 故当 无限趋近于0时， 的极限，就是切线 的斜率 . 割线 的斜率 设抛物线上任意一点 的坐标是 这两类问题虽然来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法。 情境二 概念生成 对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 . 这时， 的变化量为 , 的变化量为 我们把比值 ，即 叫做函数 从 到 的平均变化率. 如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数(也称为瞬时变化率），记作 或 ，即 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等. 例题精讲 例1 将原油精炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第 时,原油的温度(单位：℃)为 .计算第 与第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况. 解: 在第 和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和 . 在第 与第 时，原油温度的瞬时变化率分别为-3℃/ 与5℃/ .说明在第2 附近，原油温度大约以3℃/ 的速率下降;在第6 附近，原油温度大约以5℃/ 的速率上升. 变式练习 变式 将原油精炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第 时,原油的温度(单位：℃)为 .计算第 与第 时，原油温度的瞬时变化率. 课堂小结 平均变化率的定义：平均变化率为 . 导数的概念：当 时，若平均变化率的极限存在，则函数在 处可导，该极限即为 在 处的导数（瞬时变化率），记作 或 . 导数的实际意义：可描述瞬时速度、切线斜率、温度瞬时变化率等不同场景下的瞬时变化规律. 二、思想方法 导数定义法求解步骤：先求函数增量 ，再算平均变化率 ，最后求当 时的极限。 将实际问题转化为数学问题：通过建立函数关系，将瞬时变化类实际问题转化为导数求解问题。 逼近思想：通过“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”，将复杂的瞬时问题转化为可计算的平均问题。 跨学科融合思想：物理、数学等不同领域的问题，可通过同一数学模型——导数解决。 一、知识层面 分层作业 基础巩固层（必做） 提升应用层（选做） 1.完成练习2. 2.完成练习3. 3.完成练习4.(1)&(2) 1.原油温度函数为 ， 求温度瞬时变化率为 时的时刻 ，并分析该时刻的温度变化特征。 2.探究函数 在 处是否可导，若不可导说明理由，若可导求出导数(分别讨论 和 的极限)。 3.结合生活实例，列举 个可通过导数描述瞬时变化率的场景，并简要说明函数关系和导数的实际意义。 5.1.2.1 导数的概念 THANKS! $