微专题4　带电粒子在复合场中的运动【精讲精练】-2026届高三物理二轮复习题型突破（新高考通用）

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在复合场中的运动核心考点，按电场重力场、组合场、叠加场及摆线问题题型系统梳理，通过考点解析、方法提炼（如等效重力法、配速法）、真题精讲（含新课标全国卷等典型题）及分层练习，帮助学生构建问题分析框架，突破解题难点。 讲义以科学思维培养为核心，创新采用模型建构策略，如将复合场圆周运动等效为重力场模型，用配速法分解摆线运动为匀速直线与圆周运动的合成。设置基础到综合的分层练习，配合真题变式训练，有效提升学生科学推理与问题解决能力，为教师精准把控复习进度提供清晰路径。

微专题4　带电粒子在复合场中的运动 题型1　带电体在电场和重力场中的运动 1．带电体在电场、重力场中运动的分析方法 (1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。 (2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转化，总的能量保持不变。 2．带电体在电场和重力场的叠加场中的圆周运动 (1)等效重力法 将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向。 (2)等效最高点和最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的小球，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。 (2023·新课标全国卷)密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、电荷量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后(上板为正极)，这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 (1)求油滴a和油滴b的质量之比； (2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。 【易错提醒】　 (1)不能根据已知条件先求出油滴a、b的半径之比；(2)不能根据油滴a、b的运动情况判断它们带电的电性。 (2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，使其在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)小球在A、B两点的速度大小。 题型2　带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 情境图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向变化，方向总指向圆心，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 运动 规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 2.常见运动及处理方法 3．“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 (2025·河南卷)如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s＝3h。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度) 题型3　带电粒子在叠加场中的运动 1．三种典型情况 (1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。 (2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。 (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。 2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。 3．分析 (2025·贵州卷)如图所示，x轴水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里(图中未画出)，在xOz平面里有竖直向上的匀强电场E，在z＝z0的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B1，z＝z0的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场B2(未知)。有一带正电的粒子，质量为m，从坐标原点O出发，沿x轴正方向以速度v射出后做圆周运动，其中z0＝，B1＝，P点坐标。已知重力加速度为g，粒子电荷量为q。求： (1)电场强度E的大小及该粒子第一次经过z＝z0平面时的位置对应的x坐标值； (2)当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点时间最小时，求B2的大小； (3)若将电场E改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点O沿x轴以速度v射出，求粒子的轨迹方程。 1.(多选)(2025·福建卷)空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为g，则(　　) A．电场强度为E＝ B．磁场强度为B＝ C．NP两点的电势差为U＝ D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为 题型4　“配速法”解决摆线问题 1．摆线 摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。 当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长)。 2．配速法 (1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法适用条件 ①在叠加场中； ②合力不为零。 (3)规律 把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动。 ①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度； ②初速度不为零时，按矢量分解法则分解。 (4)常见的“配速法”的应用 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。将该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 【基础必刷题】 1．(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　) A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大 C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小 2．(2025·北京卷)电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0。下列说法错误的是(　　) A．N点电势比M点高 B．U0正比于流量Q C．在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小 D．若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小 3．(2025·浙江精诚联盟二模)汽车装有加速度传感器，以测量汽车行驶时纵向加速度。加速度传感器有一个弹性梁，一端夹紧固定，另一端连接霍尔元件，如图所示。汽车静止时，霍尔元件处在上下正对的两个相同磁体中央位置，如果汽车有一向上的纵向加速度，则霍尔元件离开中央位置而向下偏移。偏移程度与加速度大小有关。如霍尔元件通入从左往右的电流，则下列说法正确的是(　　) A．若霍尔元件材料为N型半导体(载流子为电子)，则前表面比后表面的电势高 B．若汽车加速度越大，则霍尔电压也越大 C．若汽车纵向加速度为0，增大电流，则监测到的霍尔电压也会增大 D．若汽车速度增大，则霍尔电压也增大 4．(2025·山西名校二模)如图所示，在竖直平面内有一半径为R＝0.5 m的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场B＝2 T，一质量为m＝0.5 kg、带电量为q＝＋4 C的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，并且有速度大小vA＝ m/s水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法正确的有(　　) A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4 m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10 N 5．(多选)(2025·山东临沂模拟)如图所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向里的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为E，让一带正电的粒子从坐标原点O以v0＝的初速度沿x轴正向发射，不计粒子重力影响，则(　　) A．粒子始终在第四象限内做周期性运动 B．粒子最初一段径迹是一段抛物线 C．粒子最终以2v0的速度做匀速直线运动 D．粒子运动过程中的最大速度为3v0 【巩固必刷题】 6．(2025·湖南卷)如图。直流电源的电动势为E0，内阻为r0，滑动变阻器R的最大阻值为2r0，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度v0水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离xm。 7．(2025·山东日照模拟)某“太空粒子探测器”由加速、偏转和探测三部分装置组成，其原理如图所示，两个同心三分之一圆弧面AB、CD之间存在辐射状的加速电场，方向由AB指向CD，圆心为O1，弧面间的电势差为U。在点O1右侧有一过O1、半径为R的圆形区域，圆心为O2，圆内及边界上存在垂直于纸面向外的匀强磁场。MN是一个粒子探测板，与O1O2连线平行并位于其下方2R处。假设太空中漂浮着质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，它们能均匀地吸附到AB上，并被加速电场由静止开始加速到CD上，再从点O1进入磁场，最后打到探测板MN上，其中沿O1O2连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从圆心O2的正下方P点射出磁场，不计粒子间的相互作用和星球对粒子引力的影响。 (1)求粒子到O1点时的速度大小及圆形磁场的磁感应强度大小B； (2)所有吸附到AB上的粒子，从哪一点出发的粒子到达探测板MN的时间最长，并求该粒子从O1点到探测板MN的时间； (3)要使从AB入射的所有离子都可以到达探测板MN上，求探测板MN的最小长度L。 8．(2025·陕晋青宁卷)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：(R、v0、B0均为已知量) (1)电子的比荷； (2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 大题增分策略 带电粒子在电磁场中的运动 (2025·广东汕头二模)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O′O处的电场强度大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°夹角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O′沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。 (1)若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为，求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小； (2)保持(1)问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷需要满足的条件。 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题4　带电粒子在复合场中的运动 题型1　带电体在电场和重力场中的运动 1．带电体在电场、重力场中运动的分析方法 (1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。 (2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转化，总的能量保持不变。 2．带电体在电场和重力场的叠加场中的圆周运动 (1)等效重力法 将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向。 (2)等效最高点和最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的小球，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。 (2023·新课标全国卷)密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、电荷量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后(上板为正极)，这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 (1)求油滴a和油滴b的质量之比； (2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。 【审题指导】　 关键表述 物理量及其关系 油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动 油滴处于平衡状态，所受合外力为零 油滴所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比 阻力大小Ff＝krv 油滴a、b速率分别为v0、，两板间加上电压后(上板为正极)，这两个油滴很快达到相同的速率 油滴a减速，受向上的静电力，油滴a带负电 油滴b加速，受向下的静电力，油滴b带正电 【答案】　(1)8∶1　(2)a带负电　b带正电　4∶1 【解析】　(1)设油滴半径为r，密度为ρ，则油滴质量m＝πr3ρ 速率为v时油滴所受阻力Ff＝krv 当油滴匀速下落时mg＝Ff 解得r＝∝ 可知＝＝2 则＝＝8。 (2)两板间加上电压后(上板为正极)，这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，则油滴a带负电，油滴b带正电 当再次匀速下落时，对a由受力平衡得|qa|E＋Ffa＝mag 其中Ffa＝mag＝mag 对b由受力平衡得Ffb＝mbg＋|qb|E 其中Ffb＝mbg＝2mbg 联立解得＝＝4。 【易错提醒】　 (1)不能根据已知条件先求出油滴a、b的半径之比；(2)不能根据油滴a、b的运动情况判断它们带电的电性。 (2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，使其在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)小球在A、B两点的速度大小。 【答案】　(1)　(2)　 【解析】　(1)在匀强电场中，根据公式可得场强为E＝。 (2)在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m，A到B过程根据动能定理得qU－mgL＝mv－mv 联立解得vA＝，vB＝。 题型2　带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 情境图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向变化，方向总指向圆心，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 运动 规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 2.常见运动及处理方法 3．“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 (2025·河南卷)如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s＝3h。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度) 【答案】　(1)　(2)　(3)v0 【解析】　(1)根据题意可画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知θ＝60° 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r＝rcos θ＋h 解得r＝2h 由牛顿第二定律有qv0B＝m 解得B＝。 (2)根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得AB＝s－2rsin θ＝3h－2h＝h 则粒子在电场中的运动时间为t＝＝ 沿电场方向上，由牛顿第二定律有qE＝ma 由运动学公式有－v0sin θ＝v0sin θ－at 联立解得E＝。 (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为v0，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角α＝60° 结合(2)分析可知，粒子在电场中的运动时间为t1＝ AB间的距离为AB＝h 由几何关系可得BC＝2rsin α＝2h 则AC＝BC－AB＝h 粒子在磁场中的运动时间为t2＝·＝ 则有t＝t1＋t2＝ 综上所述可知，粒子每隔时间t向右移动h，则漂移速度大小v′＝＝v0。 题型3　带电粒子在叠加场中的运动 1．三种典型情况 (1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。 (2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。 (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。 2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。 3．分析 (2025·贵州卷)如图所示，x轴水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里(图中未画出)，在xOz平面里有竖直向上的匀强电场E，在z＝z0的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B1，z＝z0的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场B2(未知)。有一带正电的粒子，质量为m，从坐标原点O出发，沿x轴正方向以速度v射出后做圆周运动，其中z0＝，B1＝，P点坐标。已知重力加速度为g，粒子电荷量为q。求： (1)电场强度E的大小及该粒子第一次经过z＝z0平面时的位置对应的x坐标值； (2)当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点时间最小时，求B2的大小； (3)若将电场E改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点O沿x轴以速度v射出，求粒子的轨迹方程。 【答案】　(1)　　(2)　(3)y＝ 【解析】　(1)由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则mg＝Eq 解得E＝ 粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力得qvB1＝m 解得粒子运动的轨道半径R1＝ 根据圆周运动轨迹，由几何关系得x2＋(R1－z0)2＝R 代入数据解得x＝。 (2)粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入B2磁场中速度方向与磁场分界面成θ角，由几何关系可得cos(90°－θ)＝ 可解得θ＝53° 设粒子在B2磁场中运动的轨道半径为R2，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到P点应满足n(2R1sin θ－2R2sin θ)＝ 当n取最小值时，运动时间最短。所以当n＝3时，运动时间最短，代入R1的值解得R2＝ 根据qvB＝m 联立可得B2＝3B1＝ 当该带电粒子沿x轴正方向飞出到达P点时间最小时，B2的大小为。 (3)若将电场方向改为y轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿z轴正方向的洛伦兹力、沿z轴负方向的重力、沿y轴正方向的电场力，根据B1＝ 解得粒子受到的洛伦兹力大小为f洛＝mg 正好与重力相平衡，所以粒子在y轴正方向做匀加速直线运动，有y＝at2 由牛顿第二定律有Eq＝ma 粒子在x轴正方向做匀速直线运动，有x＝vt 联立解得轨迹方程y＝。 1.(多选)(2025·福建卷)空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为g，则(　　) A．电场强度为E＝ B．磁场强度为B＝ C．NP两点的电势差为U＝ D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为 【答案】　BC 【解析】　带电体在复合场中能沿着MN做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图1所示。由受力平衡可知mg＝qE，qvB＝mg，解得电场强度E＝，磁感应强度B＝，故A错误，B正确；在N点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图2所示。且加速度a＝＝g，粒子到达P点时，位移偏转角为45°，故在P点，速度角的正切值tan θ＝2tan 45°＝2，所以粒子在P点的速度vP＝＝v，N到P过程，由动能定理，有qU＝mv－mv2，解得NP两点间的电势差U＝，C正确；将粒子在N点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且vNy＝vcos 45°＝v，故粒子能向上运动的最大距离h＝＝，D错误。故选BC。 题型4　“配速法”解决摆线问题 1．摆线 摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。 当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长)。 2．配速法 (1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法适用条件 ①在叠加场中； ②合力不为零。 (3)规律 把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动。 ①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度； ②初速度不为零时，按矢量分解法则分解。 (4)常见的“配速法”的应用 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。将该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 【答案】　　 【解析】　方法一：动能定理＋动量定理 带电粒子在运动中，只有静电力做功，其运动至最远时，静电力做功最多，此时速度最大，根据动能定理有Eqym＝mv① 以电场方向为y轴，垂直电场方向为x轴，则粒子沿y方向上的速度产生x方向的洛伦兹力，即F洛x＝qBvy 取沿x方向运动一小段时间Δt，根据动量定理有 F洛xΔt＝qBvyΔt＝mΔvx 式中vyΔt表示粒子沿y轴方向运动的距离。因此，等式两边对粒子从M点到第一次最远的过程求和有qBym＝mvm② 联立①②两式，解得vm＝，ym＝。 方法二：“配速法” 将粒子在M点由静止释放，其运动较为复杂，是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动，我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动。 粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡，即Bqv＝Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨道半径r＝＝ 所以ym＝2r＝，vm＝2v＝。 【基础必刷题】 1．(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　) A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大 C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小 【答案】　D 【解析】　根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的运动方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小。故选D。 2．(2025·北京卷)电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0。下列说法错误的是(　　) A．N点电势比M点高 B．U0正比于流量Q C．在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小 D．若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小 【答案】　C 【解析】　根据左手定则可知正离子向下偏，负离子向上偏，故N点电势比M点高，故A正确；设管道半径为r，稳定时，离子受到的洛伦兹力与电场力平衡有q＝Bqv，同时有Q＝Sv＝πr2v，联立解得U0＝，故U0正比于流量Q，故B正确；流量Q一定时，管道半径越小，U0越大，故C错误；若直径MN与磁场方向不垂直，根据U0＝可知此时式中磁场强度为磁感应强度的一个分量，即此时测量时代入的磁场强度偏大，故测得的流量Q偏小，故D正确。故选C。 3．(2025·浙江精诚联盟二模)汽车装有加速度传感器，以测量汽车行驶时纵向加速度。加速度传感器有一个弹性梁，一端夹紧固定，另一端连接霍尔元件，如图所示。汽车静止时，霍尔元件处在上下正对的两个相同磁体中央位置，如果汽车有一向上的纵向加速度，则霍尔元件离开中央位置而向下偏移。偏移程度与加速度大小有关。如霍尔元件通入从左往右的电流，则下列说法正确的是(　　) A．若霍尔元件材料为N型半导体(载流子为电子)，则前表面比后表面的电势高 B．若汽车加速度越大，则霍尔电压也越大 C．若汽车纵向加速度为0，增大电流，则监测到的霍尔电压也会增大 D．若汽车速度增大，则霍尔电压也增大 【答案】　B 【解析】　N型半导体载流子为电子，电流从左往右，电子从右向左运动，电子受到洛伦兹力的作用将在前表面聚集，直到粒子所受洛伦兹力与静电力平衡，前后表面形成稳定的电势差，而后表面的电势比前表面的要高，故A错误；加速度越大，偏移量越大，磁感应强度越大，霍尔电压越大，故B正确；若汽车纵向加速度为0，则霍尔元件所处位置的磁感应强度为零，粒子不受洛伦兹力，不会出现霍尔电压，故C错误；速度增大，但加速度不一定大，偏移量不一定大，霍尔电压也不一定大，故D错误。 4．(2025·山西名校二模)如图所示，在竖直平面内有一半径为R＝0.5 m的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场B＝2 T，一质量为m＝0.5 kg、带电量为q＝＋4 C的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，并且有速度大小vA＝ m/s水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法正确的有(　　) A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4 m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10 N 【答案】　D 【解析】　小球要做完整圆周运动，在C点进行受力分析，可判断洛伦兹力向上，可知在C点速度方向向右，在A点速度方向向左，A错误；对A点受力分析qvAB＋mg－FN1＝m，可得FN1＝8 N，B错误；由动能定理有mg×2R＝m(v－v)，解得C点速度为vC＝5 m/s，C错误；在C点根据牛顿第二定律得qvCB－mg－FN2＝m，又根据牛顿第三定律，得F压＝10 N，D正确。 5．(多选)(2025·山东临沂模拟)如图所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向里的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为E，让一带正电的粒子从坐标原点O以v0＝的初速度沿x轴正向发射，不计粒子重力影响，则(　　) A．粒子始终在第四象限内做周期性运动 B．粒子最初一段径迹是一段抛物线 C．粒子最终以2v0的速度做匀速直线运动 D．粒子运动过程中的最大速度为3v0 【答案】　AD 【解析】　根据配速法将v0分解为v1、v2，且qv1B＝Eq，解得v1＝＝2v0，根据左手定则可知，v1沿x轴正方向，则v2的大小为v0，方向沿x轴负方向，粒子的运动可看成速度大小为v1的匀速直线运动和速度大小为v2的匀速圆周运动的合运动，故粒子始终在第四象限内做周期性运动，故A正确，C错误；粒子受到的合外力不恒定，粒子最初一段径迹不是一段抛物线，故B错误；当速度大小为v2的匀速圆周运动的运动方向与v1运动方向相同时，粒子运动过程中的速度最大，为vm＝v1＋v2＝3v0，故D正确。故选AD。 【巩固必刷题】 6．(2025·湖南卷)如图。直流电源的电动势为E0，内阻为r0，滑动变阻器R的最大阻值为2r0，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度v0水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离xm。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】　(1)粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有d＝v0t 竖直方向做匀变速直线运动＝t，vy＝at＝t 由闭合电路的欧姆定律可得U＝E 联立可得vy＝v0，q＝。 (2)粒子进入磁场与竖直方向的夹角为tan θ＝＝60°，v＝＝v0 粒子在磁场中做匀速圆周运动 qvB＝m 由几何关系易得R＝＝ 联立可得B＝。 (3)取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有qvy1B＝qE 解得vy1＝v0 粒子以vy1速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 vy2＝vy1＋vy＝v0 此时合速度与竖直方向的夹角为tan α＝ 合速度为v′＝ 粒子做圆周运动的半径r＝ 最远距离为xm＝r＋rcos α＝。 7．(2025·山东日照模拟)某“太空粒子探测器”由加速、偏转和探测三部分装置组成，其原理如图所示，两个同心三分之一圆弧面AB、CD之间存在辐射状的加速电场，方向由AB指向CD，圆心为O1，弧面间的电势差为U。在点O1右侧有一过O1、半径为R的圆形区域，圆心为O2，圆内及边界上存在垂直于纸面向外的匀强磁场。MN是一个粒子探测板，与O1O2连线平行并位于其下方2R处。假设太空中漂浮着质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，它们能均匀地吸附到AB上，并被加速电场由静止开始加速到CD上，再从点O1进入磁场，最后打到探测板MN上，其中沿O1O2连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从圆心O2的正下方P点射出磁场，不计粒子间的相互作用和星球对粒子引力的影响。 (1)求粒子到O1点时的速度大小及圆形磁场的磁感应强度大小B； (2)所有吸附到AB上的粒子，从哪一点出发的粒子到达探测板MN的时间最长，并求该粒子从O1点到探测板MN的时间； (3)要使从AB入射的所有离子都可以到达探测板MN上，求探测板MN的最小长度L。 【答案】　(1)　 (2)B点　R　(3)R 【解析】　(1)粒子在电场中被加速，则Uq＝mv2 解得粒子到O1点时的速度大小v＝ 沿O1O2连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从圆心O2的正下方P点射出磁场，可知粒子运动的轨道半径为r＝R 根据qvB＝m 解得B＝。 (2)由粒子的运动轨迹可知，从B点发出的粒子从O1点射入时在磁场中运动的轨迹最长，打到MN上时运动的轨迹也是最长，时间最长，在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为150°，运动时间 t1＝·＝πR 出离磁场后运动时间 t2＝＝ 则该粒子从O1点到探测板MN的时间 t＝t1＋t2＝R。 (3)由图可知，从B点射入的粒子打到MN的右边距离最远，从A点射入的粒子打到MN最左边最远，则由几何关系可知，MN的最小长度为x＝(R＋Rcos 30°)－R(1－cos 30°)＝R。 8．(2025·陕晋青宁卷)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：(R、v0、B0均为已知量) (1)电子的比荷； (2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 【答案】　(1)　(2)2π2R2 【解析】　(1)当磁场的磁感应强度为B0时，电子刚好不会落到筒壁上 则电子以速度v0垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为R0＝ 根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0＝ 联立解得＝。 (2)磁感应强度调整为后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设vx，vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0＝ 根据洛伦兹力提供向心力可得evx＝ 联立解得vx＝ 由射出到相切，经过半个周期，用时t＝＝×＝＝ 根据速度的合成与分解可知vy＝＝v0 平行轴线方向运动距离y＝vyt＝R 结合对称性，被电子击中的面积S＝2×2πRy＝2π2R2。 大题增分策略 带电粒子在电磁场中的运动 (2025·广东汕头二模)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O′O处的电场强度大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°夹角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O′沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。 (1)若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为，求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小； (2)保持(1)问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷需要满足的条件。 【审题指导】　 关键表述 关键表述解读 半径为R的中心线O′O处的电场强度大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1 当电荷量为q的粒子经O′点进入区域Ⅰ，受到辐向电场的静电力，大小恒定，方向指向圆心O1。粒子在静电力的作用下将做半径为R的圆周运动 区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知) 进入区域Ⅱ的粒子速度指向x轴正方向，静电力指向y轴正方向，所以粒子x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动 该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为 粒子在x轴方向的位移为L，满足L＝v0t y轴方向位移为，满足＝at2 保持(1)问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上 保持(1)问中E2不变，粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹不变，仍然从P点进入区域Ⅲ中，速度方向和区域Ⅲ中的磁场垂直，在区域Ⅲ中做匀速圆周运动。如图所示 【答案】　(1)　　(2)≤≤ 【解析】　(1)由静电力提供向心力可得q0E1＝m0 ① 得＝ ② 区域Ⅱ中x轴方向有L＝v0t ③ y轴方向有a＝ ④ ＝at2 ⑤ 联立②③④⑤式得E2＝。 ⑥ (2)设粒子进入辐向电场的速率为v 在辐向电场中有qE1＝m ⑦ 得v＝ ⑧ 区域Ⅱ中沿x轴方向有L＝vt1 ⑨ y轴方向有a1＝ ⑩ y＝a1t ⑪ vy＝a1t1 ⑫ 联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫式得y＝ ⑬ vy＝ ⑭ 区域Ⅲ中粒子速度方向与x轴正方向的夹角为θ， 则tan θ＝＝1 ⑮ 粒子进入区域Ⅲ的速度v′＝ 方向与区域Ⅲ中磁场方向垂直 ⑯ qv′B＝m ⑰ 联立⑭⑮⑯⑰式得r＝ ⑱ 为了保证粒子能够打到粒子收集板上，粒子轨迹如图所示， 由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足 L≤r≤L⑲ 联立⑱⑲式得粒子的比荷≤≤。 学科网（北京）股份有限公司 $