2.1.2 垂直课件 2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第2章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第2课时 垂直 北师版 七年级 数学（下） 情景导入 观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 新课探究 垂直、垂线、垂足的概念 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。 a b α 转动木条的同时观察其夹角的变化。 α α α α b b b b a 与 b 垂直 (1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？ a b α (2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？ 此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ a α b 唯一一个 35° 145° 145° 35° 90° 90° 90° 90° 概念引入 表示方法： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。 它们的交点叫作垂足(如图O点) C D A B O ① 如图① 记作：AB⊥CD 如图② 记作：l ⊥ m O ② l m 生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？ 窗户 黑板 墙角 栏杆 新课探究 垂直的判定与性质 如图，O为直线AB上一点。 (1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ A B C O 由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°， 可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。 (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 (3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？ 所以 OC⊥ AB 可得∠AOC =∠BOC=90° 且∠AOC+∠BOC=180° 由∠AOC =∠BOC， (已知条件) (补角的性质) (角的数量关系) (垂直的定义) (3)因为 OC⊥AB (已知) 所以 ∠AOC=∠BOC=90° 垂直的性质： 因为 AB⊥OC(已知) ， 所以∠AOC = 90°(垂直的定义) 垂直的判定： 因为∠AOC ＝ 90°(已知)， 所以 AB⊥OC (垂直的定义) A B C O 对应训练 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 解：这两条直线垂直。因为两条直线相交所成的四个角的和是360°，当这四个角都相等时，这四个角都为90°，由两直线垂直的定义可知两条直线垂直。 2.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是 （ ） A.40° B.45° C.50° D.55° C 新课探究 垂直的判定与性质 问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ 问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？ 点 A 在直线 l 上 A 点 A 在直线 l 外 A l l 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？ A B m O 无数条 l 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A B m O 无数条 l1 一条 l (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 问题4：根据题中要求作直线的垂线。 (1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A B m O 无数条 l1 一条 一条 l (3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 (4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ P A B C O l 线段PO 的长度最短 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 P A B O l C 线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 应用举例 【方法指导】运用垂线的概念求角度． 【例1】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠1＝55°，求∠EOD的度数． 解：因为OE⊥AB(已知)， 所以∠EOB＝90°(垂直的定义)． 因为∠BOD＝∠1＝55°(对顶角相等)， 所以∠EOD＝∠EOB＋∠BOD＝90°＋55°＝145°. 【方法指导】运用垂线的概念判定两直线垂直． 【例2】如图，直线AB上有一点C，过点C引两条射线CE，CD，且∠ACE＝31°，∠DCB＝59°，则CE，CD有何位置关系？为什么？ 解：因为∠ACE＝31°，∠DCB＝59°， 所以∠ECD＝180°－∠ACE－∠DCB＝180°－31°－59°＝90°， 所以CE⊥CD. 【例3】如图，已知∠ACB＝90°，即直线AC________BC；如果BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm，那么点B到直线AC的距离等于________，点A到直线BC的距离等于________，A，B两点间的距离等于________.你能求出点C到AB的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流． 【方法指导】运用点到直线的距离，直角三角形面积的计算解决问题． 解：AC⊥BC；点B到直线AC的距离等于4 cm； 点A到直线BC的距离等于3 cm； A，B两点间的距离等于5 cm. 过点C作AB的垂线段CD， S三角形ABC＝AC·BC＝AB·CD. 所以CD＝2.4 cm， 所以点C到AB的距离为2.4 cm. 课堂小结 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 同位角、内错角、同旁内角 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 概念 性质 概念 性质 概念 性质 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 概念 性质 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 随堂练习 1.请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。 P O 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PO的长度即为所求。 2.画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。 l l1 A l B l O 2.画一条直线 l，在直线l上取一点 A，在直线 l 外取一点B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。 3.下面是画在方格纸上的两个图形，请你分别找出图中互相垂直的线段。 OA⊥OC， OD⊥OB DC⊥BC， DC⊥CE A B C D O （1） A B C D E （2） $