第二单元 因数和倍数（易错思维训练）数学人教版五年级下册

第二单元 因数和倍数（易错思维训练） 1．a、b、c是100以内的3个质数，使得a＋b＝c成立的不同质数算式共有（    ）个。 A．6 B．7 C．8 D．9 2．求24个偶数的平均数，保留一位小数的数是15.9，若保留两位小数的数应该是（    ）。 A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．19.94 3．1＋2＋3＋……＋88的和是（    ）数，2a＋a＋b＋b＋b＋a＋b的和是（    ）数。 A．奇；质 B．偶；偶 C．质；不确定 D．质；奇 4．对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（    ）。 A．57 B．99 C．100 D．114 5．1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 6．四位数67□□是4的倍数，那么□□中可能是（    ）。 A．74 B．86 C．92 D．98 7．一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 8．小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 9．小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数，”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数。”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方。”那么小明今年( )岁。（小明今年年龄小于31岁，年龄均为整数岁。） 10．三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 11．通过枚举、观察、分析、归纳，可以研究除2、3、5之外的自然数的倍数特征。比如，下面几个数都是6的倍数：438、534、714、852、972，从中可以发现，6的倍数共同特征是怎样的，请你概括出两条： ①( )；②( )。 12．已知：A＝4×999＋5×99＋6×9＋（4＋5＋9），B＝2×999＋4×99＋8×9＋（2＋4＋8＋5），C＝2×1000＋2×100＋3×10＋6。那么A、B、C三个数中，( )是3的倍数。 13．一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 14．陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 15．有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 16．不超过100的自然数中，恰好有6个因数，这样的数一共有( )个。 17．将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 18．明明用40根小棒搭图形。搭一个三角形需要三根小棒，搭一个四边形需要四根小棒……他搭了一些四边形和一些六边形后，说自己剩下了13根小棒。他说得对吗？为什么？ 19．如果，且a、b、c是不同的质数（b＜c），那么a、b、c各代表多少？写出分析过程。 20． 你能算出学校舞蹈社团招收了多少名学生吗？ 21．相邻三个偶数的乘积是一个六位数，该六位数的首位是5，尾数是8，试列出这三个相邻偶数。 22．房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 23．一个自然数在900和1300之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。 24．幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。她发给每一个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖，发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍，那么共有多少个小朋友？ 25．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？” 26．赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 27．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 28．（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数（易错思维训练） 1．a、b、c是100以内的3个质数，使得a＋b＝c成立的不同质数算式共有（    ）个。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可。 【解答】这样的算式有：2＋3＝5； 2＋5＝7； 2＋11＝13； 2＋17＝19； 2＋29＝31； 2＋41＝43； 2＋59＝61； 2＋71＝73； 一共有8组。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查学生对质数的理解与灵活应用。 2．求24个偶数的平均数，保留一位小数的数是15.9，若保留两位小数的数应该是（    ）。 A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．19.94 【答案】B 【分析】先求出这24偶数的平均数保留两位小数的最大值和最小值，这24个偶数的和一定为偶数，再根据“这组数据的和＝平均数×数据个数”求出满足条件的这24个偶数的和，最后利用“平均数＝这组数据的和÷数据个数”求出商保留两位小数的值，据此解答。 【解答】平均数保留一位小数的数是15.9，平均数保留两位小数的最小值为15.85，保留两位小数的最大值为15.94。 24个偶数和的最小值为：15.85×24＝380.4 24个偶数和的最大值为：15.94×24＝382.56 24个偶数的和一定为偶数，则24个偶数的和为382。 382÷24≈15.92 故答案为：B 【点睛】掌握平均数的意义和小数取近似数的方法是解答题目的关键。 3．1＋2＋3＋……＋88的和是（    ）数，2a＋a＋b＋b＋b＋a＋b的和是（    ）数。 A．奇；质 B．偶；偶 C．质；不确定 D．质；奇 【答案】B 【分析】1＋2＋3＋…….＋88可写成（1＋88）＋（2＋87）＋（3＋86）……＋（44＋45），一共有44个（1＋88），即44×89＝3916；3916÷2＝1958，没有余数，因此1＋2＋3＋……＋88的和是偶数； 2a＋a＋b＋b＋b＋a＋b＝4a＋4b＝4（a＋b），4是偶数，根据一个数×偶数＝偶数，据此解答即可。 【解答】1＋2＋3＋……＋88 ＝（1＋88）＋（2＋87）＋（3＋86）……＋（44＋45） ＝44×89 ＝3916 3916÷2＝1958 所以1＋2＋3＋……＋88的和是偶数； 2a＋a＋b＋b＋b＋a＋b ＝4a＋4b ＝4（a＋b） 所以2a＋a＋b＋b＋b＋a＋b的和是偶数。 故答案为：B 【点睛】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。 4．对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（    ）。 A．57 B．99 C．100 D．114 【答案】C 【分析】123是奇数，123＋105＝228，228是偶数，228÷2＝114；依次类推，对123进行有限次操作，得到的结果228、114、57、162、81…… 228、114、57、162、81都是3的倍数，所以操作过程中产生的数都是3的倍数。据此判断每个数即可。 【解答】57、99、114是3的倍数，100不是3的倍数，所以得到的结果不可能是100。 故答案为：C 【点睛】本题需要从3的倍数特征进行考虑，掌握相应的特征是解答本题的关键。 5．1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】一个就有一个零，的个数决定算式结果零的个数。而算式中2的个数多于5的个数，因此末尾零的个数由5的个数决定。需要计算从1949到2013的所有整数中因数5的总个数，通过找出5的倍数、25的倍数、125的倍数等，并分层计算它们的数量。 【解答】乘积末尾连续零的个数等于因数2和因数5配对个数的最小值。计算因数5的总个数： 5的倍数：最小为1950，最大为2010，共13个（1950、1955、1960、1965、1970、1975、1980、1985、1990、1995、2000、2005、2010），每个至少有1个因数5。 25的倍数：最小为1950，最大为2000，共3个（1950、1975、2000），每个是25的倍数，额外多1个因数5（因为25＝5×5，作为5的倍数时已计入1个）。 125的倍数：2000是125的倍数（125×16＝2000），额外多1个因数5（因为125＝5×5×5，作为5和25的倍数时已计入2个）。 因数5总个数＝13＋3＋1＝17。 2的倍数（含至少1个2）： （个） 2的倍数已经远大于17（4、8、16、32的倍数不需要再进行统计），所以末尾连续零的个数为17个。 故答案为：C 【点睛】计算乘积末尾0的个数，核心逻辑是“抓少的因数”：因为每1个0对应1对“2×5”，而连续整数中因数2的数量通常远多于因数5，因此只需统计质因数5的总个数（分层统计5、25、125等倍数的数量），即可直接得到末尾0的个数。 6．四位数67□□是4的倍数，那么□□中可能是（    ）。 A．74 B．86 C．92 D．98 【答案】C 【分析】直接用选项中的两位数除以4，能整除的就是。 【解答】A． 74÷4＝18……2；B. 86÷4＝21……2；C. 92÷4＝23；D. 98÷4＝24……2 故答案为：C 【点睛】本题考查了4的倍数特征，一个数如果最后两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。 7．一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 【答案】D 【分析】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此20应该是这个数的2倍，据此解答。 【解答】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。 20÷2＝10 这个数是10。 故答案为：D 【点睛】考查一个数因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 8．小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 【答案】D 【分析】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。 【解答】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意； B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意； C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意； D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。 因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。 故答案为：D 【点睛】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。 9．小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数，”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数。”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方。”那么小明今年( )岁。（小明今年年龄小于31岁，年龄均为整数岁。） 【答案】16 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。需要通过逐步推理来确定两人的年龄。 【解答】假设小红和小明的年龄差为 x岁，设小红今年的年龄为岁，那么小明今年的年龄为 （y＋x）岁。 当小明像小红这么大时，小红的年龄是个质数，此时小红的年龄为（y－x）岁，因为这个年龄是质数。 当小红长到小明这么大时，小明的年龄也是个质数，此时小明的年龄为（y＋2x）岁，因为这个年龄是质数。 现在两人年龄和是个质数的平方，即 y＋y＋x＝质数的平方。 通过尝试不同的年龄组合，发现当小红今年9 岁，小明今年 16 岁时，满足条件。 所以小明今年16岁。 【点睛】本题考查了年龄问题，关键是理解运用年龄差不变，考查了质数的意义以及完全平方数的运用。 10．三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 9 11 8 10 12 【分析】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案；三个连续偶数的积是960，把960分解质因数，然后化成三个连续偶数的积，由此求解。 【解答】，， 这三个奇数分别是7，9，11。 这三个偶数分别是8，10，12。 【点睛】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 11．通过枚举、观察、分析、归纳，可以研究除2、3、5之外的自然数的倍数特征。比如，下面几个数都是6的倍数：438、534、714、852、972，从中可以发现，6的倍数共同特征是怎样的，请你概括出两条： ①( )；②( )。 【答案】 个位数是偶数 各个数位上的数字之和是3的倍数 【分析】2的倍数叫做偶数，个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。观察这5个数，找到6的倍数特征。 【解答】438的个位是“8”，是偶数；4＋3＋8＝15，是3的倍数； 534的个位是“4”，是偶数；5＋3＋4＝12，是3的倍数； 714的个位是“4”，是偶数；7＋1＋4＝12，是3的倍数； 852的个位是“2”，是偶数；8＋5＋2＝15，是3的倍数； 972的个位是“2”，是偶数；9＋7＋2＝18，是3的倍数； 所以6的倍数特征是：①个位数是偶数；②各个数位上的数字之和是3的倍数。（答案不唯一） 【点睛】运用研究2、3、5的倍数特征的方法，找到6的倍数特征。 12．已知：A＝4×999＋5×99＋6×9＋（4＋5＋9），B＝2×999＋4×99＋8×9＋（2＋4＋8＋5），C＝2×1000＋2×100＋3×10＋6。那么A、B、C三个数中，( )是3的倍数。 【答案】A 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；分别化简求出A、B、C三个数，判断它们各个数位上的数字之和是否是3的倍数，据此解答。 【解答】对于A： 因为999、99和9都是3的倍数，所以（4×999＋5×99＋6×9）也是3的倍数。 4＋5＋9＝18，18是3的倍数，因此A是3的倍数。 对于B： 因为999、99和9都是3的倍数，所以（2×999＋4×99＋8×9）也是3的倍数。 2＋4＋8＋5＝19，19不是3的倍数，因此B不是3的倍数。 对于C： C＝2×1000＋2×100＋3×10＋6＝2000＋200＋30＋6＝2236 2＋2＋3＋6＝13，13不是3的倍数，因此C不是3的倍数。 因此A、B、C三个数中，A是3的倍数。 【点睛】能够找到方法正确对A、B、C三个数分析以及知道3的倍数的特征是解决本题关键。 13．一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 【答案】957 【分析】先确定去掉末位数后所得两位数的最大19的倍数，再根据3的倍数特征确定末位数，从而得到最大的三位数。 【解答】两位数中19的最大倍数是95，即所求的数前两位是95。又知这个三位数是3的倍数，即95□是3的倍数，□里可以填1，4，7，当□里填7时，这个三位数最大，是957。 所以，一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是957。 【点睛】判断最大的19的倍数，再通过3的倍数特征求得这个满足条件的最大的数。 14．陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 【答案】12 5 【分析】第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 【解答】第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 【点睛】首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 15．有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 【答案】12 【分析】已知有四个数，设为a、b、c、d 。每三个数求和，会得到a＋b＋c、a＋b＋d、a＋c＋d、b＋c＋d这4个和，对应题目中的45、46、49、52 。 把这4个和相加，即（a＋b＋c）＋（a＋b＋d）＋（a＋c＋d）＋（b＋c＋d），整理后是3（a＋b＋c＋d） ，这说明4个和的总和是四个数总和的3倍。 所以先将4个和相加，再除以3，就能求出四个数的总和a＋b＋c＋d 。 要找最小的数，因为最大的“三个数的和”（52 ）是除最小数外其他三个数的和，所以用四个数的总和减去最大的三个数的和，结果就是最小数。 【解答】（45＋46＋49＋52）÷3 ＝192÷3 ＝64 64－52＝12 那么这四个数中最小的一个数是12。 【点睛】解题关键在于两点：一是发现 “四组每三个数的和相加，等于四个数总和的3倍”，以此求出四个数的总和；二是明确 “最大的三个数的和，对应的是除最小数外另外三个数的和”，用总和减去这个最大和，就能精准得到最小数，这两步逻辑紧密关联，是突破本题的核心思路。 16．不超过100的自然数中，恰好有6个因数，这样的数一共有( )个。 【答案】16 【分析】本题是数论与计数结合的基础题型，将“因数个数”与“质因数分解”相关联。解题的关键矛盾在于：若直接枚举1－100的所有数并逐个统计因数个数，会因步骤繁琐导致效率低、易出错；因此需先通过数论定理推导“恰好有6个因数的数”，再定向枚举，实现“从无序排查到有序计算”的转化，避免重复或遗漏。 【解答】首先，因数个数定理对任意自然数n，若其质因数标准分解式为n ＝ p1a1×p2a2×……×pkak（其中p1＜p2＜……＜pk为质数，a1，a2，……，ak为正整数，即各质数的指数），则n的因数个数为：因数个数＝（a1＋1）×（a2＋1）×……×（ak＋1）； 然后，我们来推算“恰好有6个因数的数”的结构。因为要求“因数个数＝6”，只有两种形式，形式1是：质数的5次方（因数个数位5＋1＝6），形式2是：一个质数的平方乘另一个不同质数（因为因数个数为（2＋1）×（1＋1）＝6）； 接下来我们具体找形式1和形式2里的数： 形式1：质数的5次方，只有25＝32（因为35＝243＞100，更大质数的5次方也超过100）共1个。 形式2：我们按质数从小到大的顺序进行枚举，结果≤100的情况如下： 22乘3、5、7、11、13、17、19、23分别得12、20、28、44、52、68、76、92（8个）； 32乘2、5、7、11分别得18、45、63、99（4个）； 52乘2、3分别得50、75（2个）； 72乘2得98（1个）； 以上情况合计8＋4＋2＋1＝15（个） 所以形式1和形式2的总个数为1＋15＝16（个） 【点睛】求“因数个数相关计数题”，需要先通过“因数个数定理”推导目标数的质因数结构，高效作出数据范围进行枚举的同时，要将数字从小到大排序，枚举时优先验证小质数（2，3，5，7），无需考虑大质数，减少无效计算。 17．将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 【答案】14人；18人；175个 【分析】两筐的苹果数量相等，每班一筐，苹果的数量在100到200之间，甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个，就是说这筐苹果个数减去6个，就是13的倍数；乙班每人分得10个就有1人分得5个苹果，就是说这筐苹果个数减去5个，就是10的倍数，这筐苹果苹果的数量被13除余6，被10除余5的数，余数是5，这个数的末尾数是5，算出苹果的数量再求甲、乙两班的人数，即可解答。 【解答】100到200之间，被13除余6的数有： 13×8＋6＝110 13×9＋6＝123 13×10＋6＝136 13×11＋6＝149 13×12＋6＝162 13×13＋6＝175 13×14＋6＝188 末尾数是5的数是175 175÷10＝17……5 符合题意的只有175，即两筐苹果分别有175个； 甲班人数13＋1＝14（人） 乙班人数有：175÷10＝17……5 17＋1＝18（人） 答：甲班有14人；乙班有18人；每筐苹果各有175个。 【点睛】本题是找出一个既是13的倍数余6，又是10的倍数余5，根据余数是5的特点，它的末尾数是5 ，找出对应的数，解答问题。 18．明明用40根小棒搭图形。搭一个三角形需要三根小棒，搭一个四边形需要四根小棒……他搭了一些四边形和一些六边形后，说自己剩下了13根小棒。他说得对吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】因为所搭多边形边数为偶数，所以无论怎样搭，所用小棒根数都是偶数，因此可以从这个角度去考虑，结合明明说的还剩下13根小棒，来验证他的说法是否正确。 【解答】他说得不对。根据偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数可以知道，明明无论搭几个四边形，用的小棒根数都是偶数，无论搭几个六边形，用的小棒根数也是偶数；再根据偶数＋偶数＝偶数可以知道，明明使用的小棒总根数一定是偶数；根据偶数－偶数＝偶数，所以剩下的小棒根数一定是偶数，而13是奇数，所以明明说得不对。 【点睛】本题可从奇偶数运算的性质出发，先推测所用小棒的奇偶性，再证明剩下小棒的根数，最后与题目里的相对比，得出结论。 19．如果，且a、b、c是不同的质数（b＜c），那么a、b、c各代表多少？写出分析过程。 【答案】a是17；b是2；c是11 【分析】221是a与（b＋c）的积，先将221写成两个数相乘的形式，即221＝13×17，因为b与c的和为奇数，所以b和c一个为奇数一个为偶数，a、b、c是不同的质数，且2是唯一的偶质数，则b和c中有一个数为2，据此求出a、b、c的值。 【解答】分析可知，221＝13×17，b和c中有一个数为2。 当a＝13时，17－2＝15，15不是质数，所以不符合题意； 当a＝17时，13－2＝11，11是质数且b＜c，所以a为17，b为2，c为11。 答：a代表17，b代表2，c代表11。 【点睛】把221分解为两个数相乘的积，再根据b、c之间的关系求出a、b、c的值是解答题目的关键。 20． 你能算出学校舞蹈社团招收了多少名学生吗？ 【答案】60名 【分析】总人数在40~70人之间，能平均分成5组，说明学生的人数是5的倍数，根据5的倍数的特征，在这一范围内满足条件的是40名、45名、50名、55名、60名、65名、70名；能平均分成3组，说明学生的名数是3的倍数，根据3的倍数的特征，就只有45名、60名满足条件；男、女生名数相等，根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，说明男女生的总人数是一个偶数，只有60名满足条件。据此解答。 【解答】4＋0＝4，4不是3的倍数，即40不是3的倍数； 4＋5＝9，9是3的倍数，即45是3的倍数； 5＋0＝5，5不是3的倍数，即50不是3的倍数； 5＋5＝10，10不是3的倍数，即55不是3的倍数； 6＋0＝6，6是3的倍数，即60是3的倍数； 6＋5＝11，11不是3的倍数，即65不是3的倍数； 7＋0＝6，7不是3的倍数，即70不是3的倍数； 所以既可以平均分成3组，也可以平均分成5组的名数可能是45名或60名； 因为男、女生的名数相等，根据奇数和偶数的运算性质， 奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，男女生加起来的总人数是一个偶数； 45是奇数，60是偶数，即60名满足条件。 答：学校舞蹈社团招收了60名学生。 【点睛】此题的解题关键是利用3、5的倍数的特征以及奇数和偶数的运算性质求解。 21．相邻三个偶数的乘积是一个六位数，该六位数的首位是5，尾数是8，试列出这三个相邻偶数。 【答案】82、84、86 【分析】三个相邻的偶数的乘积是一个六位数，从中可以知道这三个偶数一定是两位数，决不能是三位数以上。由乘积的末尾是8，可以确定这相邻三个偶数的尾数是2，4，6（2×4×6＝48）；有乘积的最高位是5，即范围在500000~599999之间，70×70×70＝343000，80×80×80＝51200，90×90×90＝729000，由此可知，每个偶数的十位上数字都是8，所以这三个偶数是82，84，86，据此解答。 【解答】根据分析可知，这三个相邻偶数是82，84，86。 82×84×86 ＝6888×86 ＝592368 592368的首尾是5，尾数为8。 答：这三个相邻偶数是82，84，86。 【点睛】由已知条件，确定个位上的数，再确定十位上的数，是解答本题的关键。 22．房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【答案】 不可能 【分析】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【解答】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【点睛】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 23．一个自然数在900和1300之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。 【答案】997，1102，1207 【分析】先找到同时满足被3除余1、被5除余2、被7除余3的最小自然数52，再通过加上3、5、7的最小公倍数105的倍数，确定在900到1300之间的数。 【解答】被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，… 被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，… 被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，… 共同最小数：52 满足条件的数为：52＋105k（k为自然数，105是3、5、7的最小公倍数）。 需满足900≤52＋105k≤1300，从1开始代入k，找到符合这个不等式的范围的值，可得： 当k＝9时： 52＋105×9 ＝52＋945 ＝997 当k＝10时： 52＋105×10 ＝52＋1050 ＝1102 当k＝11时： 52＋105×11 ＝52＋1155 ＝1207 验证：997、1102、1207均满足被3除余1、被5除余2、被7除余3，且在900到1300之间。 答：符合条件的数为997，1102，1207。 【点睛】解题关键在于先找到同时满足被3除余1、被5除余2、被7除余3的最小自然数52，再通过加上3、5、7的最小公倍数105的倍数，确定符合范围的数。 24．幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。她发给每一个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖，发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍，那么共有多少个小朋友？ 【答案】10个 【分析】利用方程求解。设共有x个小朋友。水果糖总数为8x＋15。因为巧克力、奶糖和水果糖同样多，剩下的巧克力恰好是奶糖的3倍。巧克力8x＋15－2x，奶糖8x＋15－7x。根据此等量关系列出方程8x＋15－2x＝3×（8x＋15－7x），求解。 【解答】解：设共有x个小朋友。 8x＋15－2x＝3×（8x＋15－7x） 8x＋15－2x＝24x＋45－21x 6x＋15＝3x＋45 6x＋15－3x＝45 3x＋15＝45 3x＝45－15 3x＝30 x＝30÷3 x＝10 答：共有10个小朋友。 【点睛】本题主要考查盈亏问题在实际中的应用。 25．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？” 【答案】179头 【分析】根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。 【解答】比15的倍数多14，且在150~200之间的数有： 15×10＋14 ＝150＋14 ＝164 15×11＋14 ＝165＋14 ＝179 15×12＋14 ＝180＋14 ＝194 164÷4＝41 164不符合题意； 179÷4＝44……3 179÷6＝29……5 179符合题意； 194÷4＝48……2 194不符合题意。 答：这群奶牛有179头。 【点睛】本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。 26．赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【分析】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【解答】 9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 【点睛】本题考查了学生对因数和倍数的认识、小数除法，以及人民币的掌握情况，关键要弄清28同一个数相乘末尾数的特征。 27．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【答案】见详解 【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【解答】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点睛】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 28．（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【点睛】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $