5.2 指数函数（课件）高教版（第三版）《数学 基础模块下册》【上好课】

5.2 指数函数 高教版（第三版）·基础模块 第五单元 指数函数与对数函数 学习目标 知识层面 理解指数函数的定义，掌握其图像特征与单调性；能求定义域并比较函数值大小 能力层面 能通过实例理解指数函数的应用，能根据实际问题建立指数函数模型 核心素养层面 通过学习指数函数，培养数学抽象和数学建模的核心素养，提升运用数学知识解决实际问题的能力 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 趣味问题 给我一张白纸，只要将其对折40次，其厚度就可以架起一座从地球到月球的桥梁，你信吗？ 大胆猜测一下，这是真的吗？ 教学导入 折纸送你上月球 教学导入 折纸过程 折纸1次 2 层 折纸2次 4 层 折纸3次 8 层 ... 情境1：折纸问题 可以看出，折纸层数 与折纸次数 的关系式可以表示为： 这个函数的 底数为常数 ， 自变量 x 在指数的位置上 . 教学导入 情境2：放射性物质的剩留量 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的 84%. 试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式. 教学导入 经过时间 物质质量 0.841 第一年 0.842 第二年 0.843 第三年 第x年 ··· ··· y=0.84x 情境2：放射性物质的剩留量 教学导入 情境2：放射性物质的剩留量 年 数 1 2 3 … x 剩留量 y=1×84%=0.84 y=1×0.84×0.84=0.842 y=1×0.84×0.84×0.84=0.843 … y=? 一般地，经过年，这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式： 2 知识讲授 知识讲授 你能归纳 与的共同点吗？ 观察发现 ① 底数都是正实数 ② 指数位置都是 自变量 在指数上 ③ 都是幂的形式 幂结构 知识讲授 一般地，形如 (其中) 的函数称为指数函数. 底数 常数 指数 自变量 指数函数的定义 定义域 全体实数 R 知识讲授 概念理解 这里为什么要规定底数？ ① 若 ② 若 ③ 若 没有研究的必要性 知识讲授 指数函数的结构 是底数，且且 是指数，作为函数的自变量 系数必须是，不能是其他常数 知识讲授 小组合作 判断下列函数中，哪些函数是指数函数？ 判断标准 底数为正数且不等于 1 指数部分必须为 系数必须为 1 知识讲授 深化理解 1.下列各函数中，是指数函数的是（ ） D C 8 选项A：底数 ，不符合要求 选项B：系数 ，不符合要求 选项C：指数 ，不符合要求 设， 得， 知识讲授 指数函数的图像 x … … y … ... 1 2 4 8 x … … y … ... 1 2 4 8 知识讲授 指数函数的图像 知识讲授 指数函数的性质 不具有 增函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 知识讲授 指数函数的性质 不具有 减函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 知识讲授 指数函数的性质 (0，1) 当时，为增函数； 定义域 值域 公共点 单调性 当时，为减函数. 图像特点：“一撇一捺” (时像一撇，时像一捺) 知识讲授 对比辨析 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是 在上是 函数值 y 恒 增函数 减函数 指数函数 (且)的图像和性质 知识讲授 填一填，记一记 1.指数函数的一般形式是____，其中____且____. 2.指数函数恒过定点 (____, ____). 3.当时，函数在 R 上是 ____ 函数. 增 递减 知识讲授 案例分析 例1 已知指数函数，且，求，， 的值. 解题思路 根据已知条件求出底数 分别计算三个函数值 知识讲授 案例分析 例2 比较下列各组中两个数值的大小. 当被比较的两个数值是同一指数函数的两个函数值时, 可利用函数的单调性, 通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小． 解题思路 符合相同为增，符号相反为减. 解：(1)因为指数函数中的， 故函数在上是增函数， 又因为,所以; 知识讲授 案例分析 例2 比较下列各组中两个数值的大小. 解：(2)因为指数函数中的， 故函数在上是减函数 又因为，所以. 知识讲授 案例分析 例2 比较下列各组中两个数值的大小. 解：(3)因为指数函数中的底数, 故函数在上是减函数, 又因为, 所以． 类似地可得, 则． 解题思路：底数和指数均不同，无法直接用单调性比较，引入中间量 1 作为桥梁. 知识讲授 案例分析 例3 求下列函数的定义域. 解题思路：针对指数型函数的定义域，需注意三点： ① ,定义域为R； ② 分式分母不为0； 知识讲授 案例分析 例3 求下列函数的定义域. 解题思路：针对指数型函数的定义域，需注意三点： ① ,定义域为R； ② 分式分母不为0； 知识讲授 案例分析 例3 求下列函数的定义域. 解题思路：针对指数型函数的定义域，需注意三点： ① ,定义域为R； ② 分式分母不为0； 得 知识讲授 案例分析 例4 比较下列各组中两个数值的大小. ，指数函数 是减函数. 又因为 因为 ，所以. 知识讲授 案例分析 例5 已知指数函数，且，求，， 的值. 解： 知识讲授 填一填，记一记 1.函数的定义域是_________. 3.比较大小：______ （填 ）. 3 学以致用 学以致用 1.若，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 练习 答案：D 分析：根据指数函数的单调性求解不等式即可. 详解：不等式，因为是定义域 R 上的增函数， 又因为，所以 ，即 . 所以的取值范围是 . 故选：D. D 学以致用 2.下列函数是指数函数的是（ ） C. D. 练习 答案：A 分析：根据指数函数的定义求解即可. 详解：函数（）叫做指数函数. 提示,对于D选项，y=当时不符合指数函数的定义，故D选项错误. 故选：A. A 学以致用 3.函数 的图像恒过定点（ ） A. (1,4) B. (1,5) C. (0,4) D. (0,5) 练习 答案：B 分析：根据指数型函数恒过的定点求解即可. 详解：函数 令，即 时， . 所以函数 的图像恒过定点 (1,5). 故选：B. B 学以致用 4.函数 的定义域、值域分别是（ ） A. B. C. D. 练习 答案：B 分析：根据指数函数的性质求解即可. 详解：指数函数的定义域，值域. 故选：B. B 学以致用 5.若指数函数是减函数，则满足（   ） A． B． C． D． 练习 答案：C 分析：根据指数函数的性质求解即可. 详解：指数函数（）, 当时，指数函数为增函数，当时，指数函数为减函数， 因为指数函数为减函数，所以底数的取值范围是. 故选：C. C 学以致用 6.函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 练习 答案：C 分析：根据指数函数的单调性，以及特殊点，即可求解. 详解：由题意知函数为指数函数, 当 时，,所以排除 A、B, 时，指数函数为增函数，,所以排除 D. 故选：C. C 学以致用 指数函数知识点反复记忆 1.一般地，函数（叫做______函数，其中是______，是______. 2.指数函数的定义域是_________，值域是_________. 3.指数函数的图像恒过定点______. 4.当时，指数函数在上是______函数；当时，指数函数在上是______函数. 指数 自变量 底数 增 减 4 课堂练习 课堂练习 （1）因为，所以指数函数 是增函数. 又 ，所以. （2）因为，所以指数函数 是减函数. 又 ，所以. 解析 练习 课堂练习 练习 解析 （3）因为指数函数中的底数, 故函数在上是减函数, 又因为, 所以． 类似地可得, 则． 课堂练习 练习 又，所以. 所以. 定义域为. 解析 课堂练习 练习 A. B. C. D. 由指数函数定义知形如叫作指数函数 C 解析 课堂练习 练习 4.若，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 因为 ，且 增函数， 所以 ， 所以 . D 解析 课堂练习 练习 5.已知指数函数过点 ，求其解析式. 设指数函数 （， 把 代入解析式有， 解析 课堂练习 练习 6.若函数 是指数函数，那么的值是（ ） 因为函数 是指数函数， 所以 ， 解得 . A 解析 又因为， 5 课堂小结 课堂小结 指数函数 定义 图象和性质 定义域：R. 值域： 图象恒过点 当时为减函数； 当时为增函数 需熟练背诵 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. Lavf58.12.100 $