第16卷 概率统计 2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）

编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第16卷 概率统计 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列. 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 ，这里n，m∈N*，并且m≤n． 特别地，=n！=n(n-1)(n-2)·…·1，并规定0！=1 2.组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 ．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n. 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. 3.二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C (k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．通项为展开式的第k＋1项． 【真题精讲】 1．（2025·河南对口招生）2016年联合国教科文组织将二十四节气纳入非物质文化遗产，春季节气有“谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春”共六个，如果小明同学将以上6个节气按时间顺序进行排列，他一次排列正确的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据排列和古典概率即可得解. 【详解】个节气全排列的总情况数为种，而一次排列正确的情况只有种， 所以一次排列正确的概率是. 故选：A. 2.（2025·河南对口招生） 的展开式中，二项式系数之和是_________. 【答案】32 【分析】利用二项式展开式的二项式系数之和为可求. 【详解】对于二项式，其展开式的二项式系数之和为. 所以的展开式中，二项式系数之和是. 故答案为：. 3.（2024·河南对口招生）将一枚骰子点数为1的面磨平，此面朝上时点数记为0，现投掷该骰子2次，则点数之和为2的概率为_________． 【答案】 【分析】根据古典概型求概率的公式计算即可. 【解析】易知该骰子可能出现点数为， 投掷该骰子2次，可能出现的结果种数共有36种， 点数之和为2包含和两种结果， 则概率为. 故答案为：. 【举一反三】 1．小张投篮，第一次命中的概率为0.3，如果第一次没命中，那么第二次命中的概率增加0.1，则连续两次都没命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】第一次未命中的概率为1-0.3=0.7， 如果第一次没命中，第二次命中的概率为0.1+0.3=0.4， 则如果第一次没命中，第二次未命中的概率为1-0.4=0.6， 所以连续两次都没命中的概率为：0.7×0.6=0.42， 故选：C. 2．现在有5张相同奖券，其中2张有奖，3张无奖，则连刮2张都中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先分析总的刮奖方式，再分析连刮2张都中奖的刮奖方式，即可求得概率. 【解析】∵5张相同奖券，其中2张有奖，3张无奖， 刮2张的方案有种， 2张都中奖的方案为， 则，概率为. 故选：A. 3．手机密码通常由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的6位数字组成（允许重复），如果任意输入一个6位数字，恰好能开机的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理，结合古典概型的概率公式即可求解. 【解析】密码共6位且允许重复 每位都可能是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数 由分步乘法计数原理，6位密码共有种可能 又任意输入6位数 这个6位数恰好是手机密码的情况只有1种， 由古典概型的概率公式，得恰好能开机的概率为. 故选：D. 4．的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 【答案】C 【分析】先求通项公式，再具体分析，即可 【解析】的展开式的通项为， 当时，，不成立；当时，，不成立； 当时，，成立；当时，，不成立； 故选：C. 5．某班有48名学生，若任选一人是女生的概率是，则这个班的男生人数是________． 【答案】28 【分析】先设女生人数，再根据古典概型求概率算法列式求出参数，即可求得该班男生人数. 【解析】设该班女生人数为，则从48名学生中任选一人是女生的概率是， 解得：，则该班男生人数是. 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．若，则的值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】B 【解析】若，则，， 故选：B. 2．飞行棋是备受儿童喜欢的棋类游戏，一般由2至4位玩家参与．规定玩家必须投掷出骰子点数为5或6，才能将棋子从基地处移至起飞处．若玩家甲在第一次投掷骰子时就可以把棋子从基地处移至起飞处的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意得，玩家必须投掷出骰子点数为5或6，棋子可以从基地处移至起飞处， 因为投出点数为的概率为，投出点数为的概率为， 所以第一次投掷骰子时就可以把棋子从基地处移至起飞处的概率. 故选：C. 3．有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题知：， 故选：D. 4．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为（   ） A．9 B．12 C．64 D．81 【答案】C 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，结合分步乘法计数原理，不同的考试方法种数为. 故选：C. 5．二项式的奇数项二项式系数和是64，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二项式奇数项的二项式系数和为求解. 【详解】二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和为， ， 解得. 故选：C. 二、填空题 6．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则这两个数的和为7的概率是 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】从2，3，4，5四个数中任取两个数， 所有基本事件为：，共6个， 列举可得两个数的和为7的基本事件为，共2个， 则两个数的和为7的概率， 故答案为： 7．若事件为必然事件，则其对立事件的概率等于__________. 【答案】0 【解析】由，， 得， 故答案为：0. 8．若从1，2，3，4，5这五个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 【答案】 【分析】根据题意结合组合数及排列数的计算即可得解. 【详解】1，2，3，4，5这五个数字中，偶数有个，奇数有个， 从这五个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数， 则不同的四位数的个数是个， 故答案为：. 9．一个袋子中有大小相同的红、白、黑三种颜色的球，从中任意摸出一个球，摸出红球的概率是，摸出黑球的概率是，则摸出红球或黑球的概率是 . 【答案】 【解析】， 故答案为：. 10． 的展开式中所有项的系数和是 . 【答案】 【分析】根据二项式定理即可求解. 【详解】由题意得，令，则 的展开式中所有项的系数和是. 故答案为：. 二、解答题 11．甲、乙、两人进行射击，如果甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，求： (1)甲、乙两人都未击中目标的概率； (2)恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式求值即可. （2）根据恰有1人击中目标分为甲击中或乙击中，再由独立事件和对立事件的概率公式分别求出对应的概率相加即可. （3）根据至少有1人击中目标的对立事件为没有一个击中目标，再由对立事件的概率公式求值即可. 【详解】（1）已知甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为， 甲、乙两人都未击中目标的概率为. （2）恰有1人击中目标，即甲中乙不中或乙中甲不中，概率为： . （3）至少有1人击中目标与甲乙都未击中目标互为对立事件，概率为： . 12．求的二项展开式的第7项 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式易得答案. 【详解】因为的二项展开式通项公式为， 所以二项展开式的第7项为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第16卷 概率统计 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列. 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 ，这里n，m∈N*，并且m≤n． 特别地，=n！=n(n-1)(n-2)·…·1，并规定0！=1 2.组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 ．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n. 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. 3.二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C (k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．通项为展开式的第k＋1项． 【真题精讲】 1．（2025·河南对口招生）2016年联合国教科文组织将二十四节气纳入非物质文化遗产，春季节气有“谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春”共六个，如果小明同学将以上6个节气按时间顺序进行排列，他一次排列正确的概率是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河南对口招生） 的展开式中，二项式系数之和是_________. 3.（2024·河南对口招生）将一枚骰子点数为1的面磨平，此面朝上时点数记为0，现投掷该骰子2次，则点数之和为2的概率为_________． 【举一反三】 1．小张投篮，第一次命中的概率为0.3，如果第一次没命中，那么第二次命中的概率增加0.1，则连续两次都没命中的概率为（ ） A. B. C. D. 2．现在有5张相同奖券，其中2张有奖，3张无奖，则连刮2张都中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 3．手机密码通常由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的6位数字组成（允许重复），如果任意输入一个6位数字，恰好能开机的概率是（ ） A B. C. D. 4．的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 5．某班有48名学生，若任选一人是女生的概率是，则这个班的男生人数是________． 【拓展提升】 一、选择题 1．若，则的值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 2．飞行棋是备受儿童喜欢的棋类游戏，一般由2至4位玩家参与．规定玩家必须投掷出骰子点数为5或6，才能将棋子从基地处移至起飞处．若玩家甲在第一次投掷骰子时就可以把棋子从基地处移至起飞处的概率为（   ） A． B． C． D． 3．有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为（   ） A．9 B．12 C．64 D．81 5．二项式的奇数项二项式系数和是64，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 6．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则这两个数的和为7的概率是 ． 7．若事件为必然事件，则其对立事件的概率等于__________. 8．若从1，2，3，4，5这五个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 9．一个袋子中有大小相同的红、白、黑三种颜色的球，从中任意摸出一个球，摸出红球的概率是，摸出黑球的概率是，则摸出红球或黑球的概率是 . 10． 的展开式中所有项的系数和是 . 二、解答题 11．甲、乙、两人进行射击，如果甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，求： (1)甲、乙两人都未击中目标的概率； (2)恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率． 12．求的二项展开式的第7项 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $