第13卷 立体几何 2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（学生练习卷）（课件）

2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》 第13卷 立体几何 学生练习卷答案 选择题 单项选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 1．一个圆柱的底面半径为2，高为5，则它的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆柱的底面半径为2，高为5， 所以它的侧面积为. 2．若直线平面，直线平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与垂直且异面 D．与垂直且相交 【答案】B 【详解】因为直线平面，过直线作平面，使，则； 直线平面，而，所以,所以， 当a不在过b且与垂直的平面内时，直线a与直线b可能异面，当a在过b且与垂直的平面内时，a与b不异面 故只有B选项正确. 3．如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四棱锥的体积=棱柱的体积—三棱锥的体积． 4．棱长都是2的三棱锥的表面积为（   ） A． B．     C． D． 【答案】C 【详解】因为三棱锥的棱长都是，其四个面均为全等的正三角形， 正三角形的面积为， 所以三棱锥的表面积为. 5．如果两直线，且，则b与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．或 【答案】D 【详解】由且，知或． 6．如图，在长方体中，，，与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图所示，连接，因为在长方体中，， 所以与所成角即为与所成角， 因为平面，平面，所以， 因为为长方体的体对角线，且，， 所以，. 7．已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆锥侧面积为半径×母线. 由题意得，底面半径为， 该圆锥侧面积为. 8．已知球的表面积是，则此球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 解得，所以球的体积． 9．如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 【答案】C 【详解】根据等角定理，如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 10．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 【答案】B 【详解】∵平面，平面，∴． ∵四边形为矩形，∴， ∵，平面，平面，∴平面． ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角. 11．，，是空间中三条直线，下面给出几个说法： ①若，，则； ②若与相交，与相交，则与也相交； ③若，分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行. 则上述说法中正确的为 .（仅填序号） 【答案】① 【详解】由空间平行线的传递性知①正确. 若与相交，与相交，则与可能平行，也可能相交或不相交，②错误； 若平面平面，，，，，则，③错误. 12．已知两条相交直线，平面，则与的位置关系是 . 【答案】相交或平行 【详解】因为两条相交直线与，可确定一个平面， 若与平行，则；若与不平行，则与相交. 故与的位置关系是相交或平行. 13．已知底面半径为3的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ． 【答案】3 【详解】设圆柱的高为h，因为圆柱的侧面积是圆柱表面积的， 所以，解得． 14．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 （用弧度表示）. 【答案】 【详解】在正方体中，因为，根据异面直线所成角的定义得，直线与所成的角就是异面直线与所成角的平面角， 在正方体中，四边形是正方形，所以. 15．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 . 【答案】 【详解】连接，因为是的中点，是的中点， 所以，且， 又因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以. 16．已知高为3的正三棱柱的底面边长为2，则正三棱柱的体积为 . 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2， 所以底面积， 所以正三棱柱的体积为. 17．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是 ． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， ∵侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形， ∴，则， ∴， ∴该圆锥的体积. 18．如图，若正四棱柱底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的正弦值是 . 【答案】 【详解】如图所示，连接. 因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 在中，因为正四棱柱的底面边长为2，高为4， 所以，. 因为在正四棱柱中面，面， 所以，所以， 所以异面直线与所成角正弦值是. 19．如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱中，， ∵，∴， ∵，，，所以三边符合勾股定理， ，因为，，∴，得证. 20．如图所示，已知是平行四边形外一点，为和的交点，是的中点.求证：平面.    【答案】证明见解析 【详解】因为是平行四边形，为和的交点， 所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线 所以， 又因为在平面外，在平面内， 所以平面.    21．是所在平面外的一点，且，为斜边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】   如图所示，取的中点，连接.在中，分别为的中点.所以. 又因为.所以. 因为为的中点.所以. 又因为平面，平面.所以平面. 又因为平面.所以. 在中，为的中点.所以. 因为平面平面.所以平面. 22．已知圆锥的底面半径为，高为，求圆锥的侧面积、体积和全面积. 【答案】侧面积为（），体积为（），全面积分别为：（）. 【详解】因为圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的母线（）. 所以圆锥的侧面积（）； 圆锥的全面积（）； 体积（）； 23．如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点， ∴是直角，即， 又垂直于圆所在的平面，∴ 从而平面，故平面平面. 24．如图，在直三棱柱中，，. (1)求三棱柱的体积； (2)求异面直线与所成角的大小 【答案】(1);(2) 【详解】解：（1）在直三棱柱中，，， 则，又因为，平面， 故，因此三棱柱的体积为. （2）在直三棱柱中，，， 将该三棱柱补成正方体，如下图所示：    因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角， 易知是边长为的等边三角形，则. 因此异面直线与所成角为. $