第13卷 立体几何 2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）

编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第13卷 立体几何 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【真题精讲】 1．（2025·河南对口招生）如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 2.（2025·河南对口招生）把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 3.（2024·河南对口招生）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【举一反三】 1．在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 4．已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 5．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列命题正确的是（    ） A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线 B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在三棱锥中，则直线PC与平面ABC所成的角为（　　） A． B． C． D． 4．下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是（   ） A．直线在平面外 B．直线与平面内的两条直线平行 C．平面外的直线与平面内的一条直线平行 D．直线与平面内的一条直线平行 5．若一条斜线段的长是它在平面上的射影的2倍，则该斜线段与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 倍. 7．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体对角线长为 ． 8．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有 个． 9．圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 10．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 二、解答题 11．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)求三棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第13卷 立体几何 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【真题精讲】 1．（2025·河南对口招生）如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用长方体的结构特征与平行四边形的判定与性质证得，再利用线面平行的判定定理即可得解. 【详解】连接交于，连接，连接， 因为为长方体， 所以，，则四边形为平行四边形， 易知为中点，为中点， 所以，， 则四边形是平行四边形，则 又平面，平面， 所以平面. 2.（2025·河南对口招生）把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 【答案】4 【分析】根据水的体积相等，利用三棱锥和三棱柱的体积公式求出水面的高度即可. 【详解】已知三棱锥形容器高， 根据三棱锥体积公式，水的体积. 将水倒入直三棱柱形容器中，设水面高度为， 根据直三棱柱体积公式， 由于水的体积不变，则， 等式两边同时除以，可得. 故答案为：4. 3.（2024·河南对口招生）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明； 【解析】证明：连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点， 所以，， 又平面，平面，所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【举一反三】 1．在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】A选项，若，，则与不一定垂直，A不正确； B选项，平行于同一平面的两条直线不一定平行，B不正确； C选项，过直线外一点不一定有且只有一条直线与已知直线垂直；C不正确； D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D正确， 故选：D. 2．已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直的判定定理即可解得. 【详解】当时，平面内的直线不一定和平面垂直，充分性不成立， 但当直线垂直于平面时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 3．一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面的半径，应用圆柱的体积公式求出结果. 【解析】设圆柱底面的圆的半径为,母线为, 则由题意可得,又,所以, 所以, 故答案为： 4．已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 【答案】 【分析】根据题意求出圆柱的底面积和侧面积，进而求解答案. 【解析】根据圆柱的底面半径为4，高为2， 则圆柱的底面面积， 则圆柱的侧面积， 故圆柱的全面积. 故答案为:. 5．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 【答案】 【解析】设轴截面的边长为，由三角形的面积公式可得：，， 即圆锥的底面直径为12，则半径为6，圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为；， 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列命题正确的是（    ） A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线 B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 【答案】A 【分析】根据空间两直线位置关系判断即可. 【详解】对A，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线即不平行也不相交，A正确； 对B，过直线外一点可以做一个平面与已知直线垂直，所作平面内的所有直线都和该直线垂直，B错； 对C，垂直于同一条直线的两直线平行，相交或异面，C错； 对D，不在任何一个平面内的两条直线为异面直线，D错． 故选：A. 2．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥体积公式求解. 【详解】由圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形， 可得圆锥的底面半径， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：A. 3．如图所示，在三棱锥中，则直线PC与平面ABC所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出直线PC与平面ABC所成的角为，再在中利用三角函数求角即可. 【详解】在三棱锥中，， ，平面，平面， 所以平面， 所以即为与平面所成的角，， 又， ∴，即直线PC与平面ABC所成的角为. 故选：C. 4．下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是（   ） A．直线在平面外 B．直线与平面内的两条直线平行 C．平面外的直线与平面内的一条直线平行 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行的判定定理求解. 【详解】A选项，因为直线在平面外也包括直线与平面相交，故A不符合题意； B，D选项，因为缺少条件；故B与D不符合题意； C选项，由直线与平面平行的判定定理，平面外的直线与平面内的一条直线平行，知直线与平面平行，故C符合题意. 故选：C. 5．若一条斜线段的长是它在平面上的射影的2倍，则该斜线段与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角的定义求解即可. 【详解】设该斜线段与平面所成角为， 则由线面角定义可知，， 且，则. 故选：C. 二、填空题 6．球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 倍. 【答案】 【分析】根据球的体积公式即可解答. 【详解】设原球的半径为， 则原球的体积公式， 半径扩大为原来的倍，新体积， 所以体积扩大为原来的倍. 故答案为：. 7．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据长方体中体对角线的公式求解. 【详解】因为三条棱长分别为2，2，3， 所以体对角线的长为． 故答案为：. 8．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有 个． 【答案】1或无数 【分析】根据题意分类讨论两点所在直线与平面垂直和斜交的情况即可得解. 【详解】如果两点所在直线与平面垂直，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有无数个； 如果这两点所在直线与已知平面斜交，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有且只有1个． 故答案为：1或无数. 9．圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 【答案】 【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，， 故答案为：. 10．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 【答案】②④ 【分析】分析可知，选择方法可能是：①④，②④，③④，结合线面的位置关系、线面垂直的判定及面面平行的性质求解即可. 【详解】显然①②③④中选一个，不能使. 而①②③任意两个不能同时成立，只能选一个， 故选择方法可能是：①④，②④，③④. 若选择①④，若，，则或； 若选择②④，若，，则； 若选择③④，若，，则. 综上，要使，应满足的条件是②④． 故答案为：②④. 二、解答题 11．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到异面直线所成角，再在三角形中易得答案； （2）根据三棱锥体积公式易得答案. 【详解】（1）作交于，连．    则就是异面直线与所成角，， 因为，直三棱柱，平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 则． 又，， 则． （2）由知，不在平面，在平面， 所以平面，因此点、到平面的距离相等， 因为，因为是直角三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以三棱锥的高为， 体积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $