第13卷 立体几何 2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（课件）

2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》 第13卷 立体几何 教师讲解卷答案 概念回顾 概念回顾 概念回顾 概念回顾 真题精讲 真题精讲 真题精讲 真题精讲 举一反三 举一反三 举一反三 举一反三 举一反三 举一反三 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 1．（2025·河南对口招生）如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接交于，连接，连接， 因为为长方体，所以，，则四边形为平行四边形， 易知为中点，为中点，所以，， 则四边形是平行四边形，则 又平面，平面， 所以平面. 2.（2025·河南对口招生）把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 【答案】4 【详解】已知三棱锥形容器高， 根据三棱锥体积公式，水的体积. 将水倒入直三棱柱形容器中，设水面高度为， 根据直三棱柱体积公式， 由于水的体积不变，则， 等式两边同时除以，可得. 3.（2024·河南对口招生）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点，所以，， 又平面，平面，所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 1．在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】A选项，若，，则与不一定垂直，A不正确； B选项，平行于同一平面的两条直线不一定平行，B不正确； C选项，过直线外一点不一定有且只有一条直线与已知直线垂直；C不正确； D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D正确. 2．已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，平面内的直线不一定和平面垂直，充分性不成立， 但当直线垂直于平面时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 3．一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 【答案】 【解析】设圆柱底面的圆的半径为,母线为, 则由题意可得,又,所以, 所以, 4．已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 【答案】 【解析】根据圆柱的底面半径为4，高为2， 则圆柱的底面面积， 则圆柱的侧面积， 故圆柱的全面积. 5．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 【答案】 【解析】设轴截面的边长为，由三角形的面积公式可得：，， 即圆锥的底面直径为12，则半径为6，圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为；. 1．下列命题正确的是（    ） A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线 B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 【答案】A 【详解】对A，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线即不平行也不相交，A正确； 对B，过直线外一点可以做一个平面与已知直线垂直，所作平面内的所有直线都和该直线垂直，B错； 对C，垂直于同一条直线的两直线平行，相交或异面，C错； 对D，不在任何一个平面内的两条直线为异面直线，D错． 2．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形， 可得圆锥的底面半径， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 3．如图所示，在三棱锥中，则直线PC与平面ABC所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱锥中，， ，平面，平面， 所以平面， 所以即为与平面所成的角，， 又， ∴，即直线PC与平面ABC所成的角为. 4．下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是（   ） A．直线在平面外 B．直线与平面内的两条直线平行 C．平面外的直线与平面内的一条直线平行 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】C 【详解】A选项，因为直线在平面外也包括直线与平面相交，故A不符合题意； B，D选项，因为缺少条件；故B与D不符合题意； C选项，由直线与平面平行的判定定理，平面外的直线与平面内的一条直线平行，知直线与平面平行，故C符合题意. 5．若一条斜线段的长是它在平面上的射影的2倍，则该斜线段与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该斜线段与平面所成角为， 则由线面角定义可知，， 且，则. 6．球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 倍. 【答案】 【详解】设原球的半径为， 则原球的体积公式， 半径扩大为原来的倍，新体积， 所以体积扩大为原来的倍. 7．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体对角线长为 ． 【答案】 【详解】因为三条棱长分别为2，2，3， 所以体对角线的长为． 8．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有 个． 【答案】1或无数 【详解】如果两点所在直线与平面垂直，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有无数个； 如果这两点所在直线与已知平面斜交，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有且只有1个． 故答案为：1或无数. 9．圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 【答案】 【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，. 10．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 【答案】②④ 【详解】显然①②③④中选一个，不能使. 而①②③任意两个不能同时成立，只能选一个， 故选择方法可能是：①④，②④，③④. 若选择①④，若，，则或； 若选择②④，若，，则； 若选择③④，若，，则. 综上，要使，应满足的条件是②④． 11．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）作交于，连．    则就是异面直线与所成角，， 因为，直三棱柱，平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，则． 又，，则． （2）由知，不在平面，在平面， 所以平面，因此点、到平面的距离相等， 因为，因为是直角三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以三棱锥的高为， 体积为 $