3.3向量的内积（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

3.3 平面向量的内积 第三章 平面向量 目 录 学习目标 01 新课导入 02 探究新知 03 课堂小结 04 当堂检测 05 学习目标 知识目标 理解向量内积的定义，掌握向量内积的计算公式、运算律，明晰向量垂直的判定条件及向量夹角的求解方法，能准确运用内积相关知识识别、解决简单问题； 能力目标 通过观察力的做功等实例，抽象概括向量内积的核心特征，归纳内积运算的规律，培养应用内积概念解决实际问题的能力，深化数形结合思想； 情感目标 由物理中的功、工程中的受力分析等实例及生活中的相关场景引入，让学生感受到向量内积与实际生活、其他学科的紧密联系，体会数学的实用价值；通过内积的符号化表征与几何直观表达的对应关系，感悟数学的简洁美与逻辑严谨性，激发学习数学的兴趣..； 核心素养 通过思考、讨论等活动，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养． 新课导入 创设背景，生成问题 　这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积，它是一个数量，又称为数量积． 在力学中，一个物体受到力的作用，并在力的方向上产生了一段位移，这个力就对物体做了功．如果一个物体在力F 的作用下产生位移s，如图所示，那么力F对物体所做的功为：W=|F||s|cos θ．其中θ是F与s的夹角． 探究新知 调动思维，探究新知 　两个非零向量夹角的定义 如图所示，已知两个非零向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB是向量a与b的夹角，记作<a，b>．规定0≤<a，b> ≤π. ①当 时，a与b的方向相同； ②当 ＝π 时，a与b的方向相反； ③当 ＝ 时，a与b垂直，记作：a⊥b. 调动思维，探究新知 　两个非零向量夹角的定义 想一想：如图，等边三角形中，求 （1） 与 的夹角； （2） 与 的夹角. A B C 通过平移 变成共起点！ C´ 调动思维，探究新知 　两个非零向量的内积 已知两个向量a与b，它们的夹角为 ，则向量a，b的模与它们夹角的余弦值的乘积称为向量a与b的内积(数量积或点积)， 记作： a·b＝|a||b|cos . 调动思维，探究新知 ✭注意： （1）a·b的结果是一个实数，可以是正数、负数和零． （2）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 　两个非零向量的内积 ✭规定：零向量与任意向量a的内积为0，即0·a= 0 . 例1　已知|a|=3，|b|=6，求下列各种情况下的a·b的值： 　　（1） =60°； （2）a⊥b； （3）a∥b . 解 (1)因为 =60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°=3×6× = 9 . (2)因为a⊥b，所以 =90°，于是a·b＝|a||b|cos 90°= 0 . (3)因为a∥b，所以a与b的方向相同或相反. 当a与b的方向相同时， =0°，所以a·b＝|a||b|cos 0° ＝3×6×1=18. 当a与b的方向相反时， =180°，所以a·b＝|a||b|cos 180° ＝3×6×(-1)=-18. 巩固练习，提升素养 调动思维，探究新知 　内积运算定律： ①a·b＝b·a ②λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb) ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c 交换律 已知向量a，b，c和实数λ，则有下列结论： 结合律 分配律 内积不满足结合律！ ✭注意：(a·b)·c＝a·(b·c)不成立，并且a·b＝a·c也不能推出b＝c. 调动思维，探究新知 　内积运算的乘法公式 (1)a2－b2＝_____________； (2)(a＋b)2＝____________； (3)(a－b)2＝____________． (a＋b)·(a－b) a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 调动思维，探究新知 　两个向量内积的性质 设a，b为两个非零向量： (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2，或|a|＝ ； (3)cos ＝ ； (4)|a·b|≤|a||b|. (5) 巩固练习，提升素养 例2　已知|a|=2，|b|=1， =60°，求： 　　（1）（a+b）·（a-b）； （2）|a+b| . 解 （1）（a+b）·（a-b） = a·a-a·b+b·a-b·b = |a|2-|b|2 = 4-1 = 3． （2）因为|a+b|2 =（a+b）·（a+b） = a·a+a·b+b·a+b·b = |a|2+2a·b+|b|2 = 4+2×1×cos 60°+1 = 7， 所以|a+b|=　 ． 巩固练习，提升素养 举一反三1　在△ABC中，若| |＝| |＝| |＝2，则 等于(　　)A．－2 B．2 C．－2 D．2 C 【解析】 与 始点不同，故 与 的夹角不是60°，而是其补角120°，即〈 ， 〉＝120°，所以 ＝| || |cos 120°＝2×2× ＝－2，故选C. 巩固练习，提升素养 举一反三2 已知|a|＝6，|b|＝5，〈a，b〉＝120°，求|a－b|. 解：∵a·b＝6×5cos 120°＝－15， ∴|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2 ＝62－2×(－15)＋5＝91 ⇒|a－b|＝ . 巩固练习，提升素养 例3　证明菱形的对角线互相垂直. 证明 如图所示，已知菱形OACB，设 ＝a， ＝b，则|a|=|b| . 因为 =a+b， =a-b ， 所以 · =(a+b)·(a-b)= |a|2-|b|2= 0， 所以 ⊥ ， 即菱形的对角线互相垂直. 巩固练习，提升素养 解 例4　已知|a|=|b|=2，a·b= ，求 . 因为cos = 由于0≤ ≤π，所以 = . 巩固练习，提升素养 举一反三3 已知|a|＝2，|b|＝1，|2a＋b|＝ ，则〈a，b〉＝______． 【提示】 因为|a|＝2，|b|＝1，所以|2a＋b|2＝4×4＋4×2×cos 〈a，b〉＋1＝21⇒cos 〈a，b〉＝2(1)，又因为〈a，b〉∈[0°，180°]，所以〈a，b〉＝60°. 60° 巩固练习，提升素养 例5　已知|a|＝5，|b|＝12，当m为何值时，向量a＋mb与a－mb互相垂直？　 【解析】　∵a＋mb与a－mb互相垂直，∴(a＋mb)·(a－mb)＝0⇒|a|2－m2|b|2＝0化简得25－144m2＝0，解得m＝± ， ∴当m＝± 时，a＋mb与a－mb互相垂直． 巩固练习，提升素养 举一反三4 已知|a|＝5，|b|＝4，且〈a，b〉＝60°，当k为何值时，向量ka－b与a＋2b相互垂直？ 解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0， 即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，化简得45k=42， 解得k＝ .∴当k＝ 时，ka－b与a＋2b垂直． 课堂小结 课堂小结 1．两个非零向量夹角的定义； 2．两个非零向量的内积； 3．内积运算定律； 4．两个向量内积的性质． 5．平面向量的内积常见的题型主要有： （1）已知向量的模及夹角计算向量的内积； （3）运用向量的内积的运算法则及性质求向量的内积． （2）已知两个向量的内积及模长求两向量的夹角； 当堂检测 随堂检测，查漏补缺 一、选择题 1．已知向量a，b的方向相同，且|a|＝6，|b|＝4，则a·b等于(　　) A．24 B．－24 C．12 D．－12 【提示】 因为向量a，b的方向相同，所以〈a，b〉＝0°，则a·b＝6×4×cos 0°＝24.故选A. A 2．已知|a|＝4，|b|＝3，若|a－b|＝5，则a·b等于(　　)A．－2 B．－4 C．0 D．2 【提示】 |a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝16＋9－2a·b＝25， 解得a·b＝0.故选C. C 随堂检测，查漏补缺 3．在△ABC中，已知 ，则 等于(　　)A．3 B． C．－3 D． C 【提示】 由 ，得AC2＋BC2＝AB2，∠C＝90°，∠B＝30°， ＝2× ×cos 150°＝－3. 随堂检测，查漏补缺 二、填空题 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________． 5．在△ABC中，若 <0，则△ABC为________三角形．(判断三角形的形状) 钝角 , ,故 【提示】根据向量的内积公式即可得解. 随堂检测，查漏补缺 三、解答题 6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，求|b|. 解：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝ |b|， ∴|2a－b|2＝4－4× |b|＋|b|2＝10， 故|b|＝ . 随堂检测，查漏补缺 7．已知|a|＝3，|b|＝6.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a⊥b，求a·b；(3)若〈a，b〉＝60°，求a·b. 随堂检测，查漏补缺 解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a，b〉＝0°， ∴a·b＝3×6cos 0°＝18， 若a与b反向，则〈a，b〉＝180°， ∴a·b＝3×6cos 180°＝－18. (2)当a⊥b时，〈a，b〉＝90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当〈a，b〉＝60°时， a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6× ＝9. 谢谢 THANKS $