2025年江苏省高二年级第一学期期末测试中职数学试卷

2025年江苏省高二年级第一学期期末测试 数学试卷 本试卷共4页，三大题.满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1。本试卷共4页，包含选择题（第1题~第10题，共10题）、非选择题（第11题~第23题，共13 题)两部分.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2。答题前，请务必将自己的姓名、班级、考场、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3。请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4。作答选择题（第1题~第10题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改 动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效， 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案， 将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑) 1.AMBC中，“A=“是“nA=5成立的 () 3 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若复数z满足z·(1-2)=3+i(i是虚数单位)，则z的模等于 () A.v2 B.3 C.2 D.3 3.已知两点M3,-2),N(5,-1),NP=N,则点P的坐标为 ( A.(3,2) B.(3,-1) C.(7,0) D.(-4,1) 4.在等差数列{am}中，4+4，=9，则数列{a}的前12项和为 A.36 B.54 C.108 D.117 5。若直线1不平行于平面，则下列结论成立的是 A.a内的所有直线都与I异面 B.内不存在与I平行的直线 C.心内的所有直线都与1相交 D.直线1与平面有公共点 6、己知椭圆C:女+ +3 =1的左、右焦点分别为F,F,点P在椭圆C上，则△PF的周长为() A.3 B.4 C.5 D.6 π 7.要得到函数y=sin(仨x+二)的图像，可以将函数y=sin二x的图像 ( 26 2 A.向左平移刀个单位 B.向左平移刀个单位 6 C.向右平移刀个单位 D.向右平移个单位 6 3 8。若双曲线女-少 行厅=1a>0,6>0)的一条海近线经过点6，)，则此双曲线的离心率为() A. 5 3 B. c. D. 4 4-5 3 Q,在4BC中，cos4,tam(4-B)= 3则tamB 9 B. D 13 0 10.设a>0,b>0,若5是3°与3的等比中项，则1+的最小值为 a b A.8 B.4 C.1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1.已知向量a,b满足a-b=0,同=1=2，则2a- 12。等差数列{a}中，若4=3，g,=-7,则4。= 13。已知sina-3cos=0,则sin2+sin2a=」 14。己知正四棱柱ABCD-AB,C,D,中，AA1=2AB,E为AA的中点，则异面直线BE与CD所 成角的余弦值为 15。斜率为1的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则AB= 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16。(8分)已知复数z=(a-a-2)+1+a)i为纯虚数，其中i是虚数单位. (1)求实数a的值： (2)若复数z+1是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，求b+c的值. 17.(10分)已知向量a=(2,1),b=(3,-1). (1)求向量4，b的夹角： (2)若3a-b与a+kb垂直，求实数k的值. 2 18。(10分)求符合下列条件的圆锥曲线的标准方程. @两个焦点在坐标轴上，且经过点4〔，V5、B(反，2)的椭圆标准方程： (②与双曲线 -x2=1有相同渐近线，且经过点（√5，-2）的双曲线的标准方程 4 19.（10分)已知a,P为锐角，sm(r-四）=30，cosa+)=- 10 5. (1)求cos20的值： (2)求sin(2a+B)的值. 20.(12分)数列{an}中，4=2，且在平面直角坐标系中，点A(a,3)和点B(-4+1,5)的中点坐 标为(-1,4) (I)求数列{an}的通项公式： (2)设b。=(W2)+3,求数列{凸)的前n项和T 21.(12分)设函数f(x)=2√3 sinxc0sx+2cos2x-3. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间： (2)在△4BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若f(A)=-1,a=3,若向量m=L,sinC) 与n=(2,sinB)共线，求△ABC的面积. 3 22.(14分)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60、边长为a的菱形，又 PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点M、N分别为棱AD、PC的中点 (1)证明：DWN/平面PMB; (2)证明：BM⊥平面PAD: (3)求点A到平面PMB的距离. D M B 双4分E如城C若茶-10>b>0过点代2现，且C的高心度为 2 (1)求椭圆C的方程： (2)过点Q(2,0)的直线1与椭圆C相交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求直线1的 方程 42025年江苏省高二年级第一学期期末测试 数学试卷参考答案 一、单项选择题 :A【解析】△ABC中，AE→sn1日 ，但sinA-3 2 2可得A=兀或A=二元，故 3 3 Aπ 3 是sinA=5的充分不必要条件，故选A 2 2.A【解析】设z=a+bi(a,b∈R),(a+bi)(1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i=3+i,可得 a+2b=3 b2=1解得a=,67 子所以：兮：明-5絮-，选人 所明-H零，适入 3.C【解析】设P(x,y),有(x-5,y+1)=(2,1),得x=7,y=0,故选C. 4.B【解折1S:-12a+8)_12a,+a）-12x9-54,故选B 2 2 2 5.D【解析】直线I不平行于平面a,即1与平面o相交或l三o,则1与o必有公共点，故选D. 6.D【解析】△PFF,的周长为2a+2c=6,故选D ⑦B【解析】y=$in(只x+巧)三$in,石+，所以y=sin。x向左平移C个单位即可，放选 6 3 2 8.D【解析】由题意力-4e 5 a3,e云=+()2=7，故选D 3 3 3 9.A【解析】由题意，sinA=亏tanA= 4 31 可得tanB=tan[A-(A-B)]= tanA-tan(A-B）=43=1 +an4am4-月)1中9文灯-了故选A 43 10.B【解析】由V3是3与3的等比中项，得（√3）2=3“×3，.3a+b=3, 六a+h=1.由a>0,6>0,得+-a+b+a+b=2+b+9之2+2,2日-4，故选B a b a b a b Va b 1 二、填空题 11.22【解析】2a-=4a-4a-万+6=4+4=8，所以2a-=22 2.32【解析1题意，得d=；号-子-5，所以a=4+7d=3+7×(5)=-32 5-35-3 13. 解折】sina-3cosa=0,tama正 .sina+sin 2a=sina+2sin a cosata+2tan a3 sin2 a cos2a anu+1=2,故答案为2 14. 0【解折】连结4B,~CD∥AB,LABE为所求.设4B=Q,圆AEEa BE=N2a,AB:5a,所以cos∠4BE-20+5a=a=30. 2v2a.5a 10 15.8【解析】直线y=x-1代入抛物线方程得x2-6x+1=0,得x+x2=6, AB=x+x2+p=6+2=8. 三、解答题 a2-a-2=0 16.【解】(1)由题意 ,2分) 1+a≠0 解得a=2.(2分) (2)由题意，复数z=3i,方程x2+bx+c=0的两个根分别为1+3i,1-3i,(1分) .(1+3i)+(1-3i)=-b,得b=-2.(1分) c=(1+3i)1-3i)=10.(1分) 可得b+c=8.(1分) 17.【解】)=V5,=0,(1分) a.b=2×3+1×(-1)=5,(1分) 设向量a与i的夹角为0，则cos0= 5 丽 V5×102 .(2分) 6∈[0，b0= 4 即向量a屿6的夹角为元.(1分) 4 (2)解法一：由题意(3a-b)·(a+kb)=3a+(3k-1)ab-kb=0,(2分) 所以15+53k-1)-10k=0,(2分) 解得k=-2.(1分) 解法二：3a-b=(3,4),a+kb=(2+3k,1-k),(2分) :3a-b与a+kb垂直，∴.3×(2+3k)+4(1-k)=0,(2分) 解得k=-2.(1分) 18.【解】(1)设椭圆方程为mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n), 9 m+3n=1 由题意 ，(2分) 2m+4n=1 1 解得m= 3n=2(2分) 2 所以椭圆的标准方程为3+12 =1.(1分) 2设双曲找方程为片一=2认≠0)，2分》 代入(V5,-2),得2=-4，(2分) 所以双曲线的方程为女广=1.1分> 416 19.【解1)sin(r-a）)=10sina=10,a分 10 10 c0s2a=1-2sin'a=1-2×9=-4.3分) 105 (2),B为锐角，.0+B∈(0，π)，(1分) 由s5ima=0,得cosa-0,1分) 10 10 由caa+-5.有sma+8)-号5,1分 .sin(2a+β)=sin(a+β)cosa+cos(a+B)sina X- 5710 .3分) 10 20.【解】（①）油题意得：0山=-1，(2分) 2 即an1-an=2. 所以{a}是公差为2的等差数列，(2分) .am=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.(2分) (2)b,=(√2)+3=2”+3（1分) 则T,=(2+3)+(22+3)+(23+3)+…+(2+3) =(2+2+23+…+2")+(3+3+3+…+3)(2分) _20-2）+3m（2分 1-2 =2m1+3n-2.(1分) 21.【解】()）f(x)=V3sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2,(3分) 61 T=π.(1分) 又-T+2kr<2x+亚sC+2kx,即-T+k红≤x<2+kr, 62 6 可得指区间为[号+红，名+k∈乙。2分) 2)f(=2sin(2A+)-2=-1,得sin(2A+)= 6 6 2 :2A+”∈匹，13元 6 6π)24+π=5 6’ ，得4-号2分 66 .m//n,.sinB=2sinC,即b=2c.(1分) 1 又a2=4c2+c2-2x2c×c×29,可得c=5,b=25.2分) 所以5=csim4=x2v5xV5x5-35.1分 2 22 22.【解】(1)取PB中点E,连接ME,NE, :E,M,N分别为PB,AD,PC中点，EN∥BC,EN=BC,DM∥BC,DM=BC, .ENDM,所以四边形DMEN为平行四边形，可得DN∥ME·(2分) 4 又.DN±平面PMB,EM∈平面PMB, ∴.DN//平面PMB.(2分) (2):PD⊥底面ABCD,BM∈平面ABCD,.BM⊥PD,(2分) 连接DB,在菱形ABCD中，因为∠A=60°，所以△ABD为等边三角形，又点M为棱AD中 点，所以BM⊥AD.(2分) 又因为PD,ADS平面PAD,PD∩AD=D, .BM⊥平面PAD.(1分) (3)设点A到平面PMB的距离为h, 由m=m持兮eh=wP0.h=SgP .(1分) SAPMB :PD1底面ABCD.:PDI4D,在APMD中，PM=G+兮a=5 1 - 155.5,2 由题意SPws=2X24X2 一X -aX a= 2a2,(2分) 8 SMB422.2a子 a2.(1分) 8 52 所以h=8 2a2×a5 a, 5 8 即点A到平面PMB的距离为 -a.(1分) 23.【解】(1)由题意 a2+63=1,2分 4.1 c2=a2-b2 解得：a2=8,b2=2. 所以椭圆方程为二+上=1.（2分) 82 (2)直线1的斜率不存在时，A(2,1),B(2,-1)不合题意，(1分) 设直线1的斜率为k,所以：y=k(x-2),设A(x,y),B(x2,y), 由82，得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-8=0.(1分) y=k(x-2) △=(-16k2)2-41+4k2)16k2-8)=64k2+32>0恒成立， 16k2 X1+x2= 1+4k2’出3 16k2-8.2分) 1+4k2 :OA L OB 0A·0B=xx2+y1y2=0.(1分) 即xx2+k(x-2)k(x2-2)=(1+k2)xx2-2k2(x+x2)+4k2 =1+k2)16k2-8)32k4 1+4k2 1+4+4=0(2分) 解得k=±V6 2分) 3 即所求直线的方程为y=士V6(: 3(x-2).1分) 62025年江苏省高二年级第一学期期末测试 数学试卷参考答案 一、单项选择题 1A【解折】A1BC中，A-行一i血4=5 可得4=或4=2元，故A= 3 ,伯simA= 2 3 3 3 是snA=3 的充分不必要条件，故选A. 2 2.A【解析】设z=a+bi(a,b∈R),(a+b)1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i=3+i,可得 a+2b=3 (b-2a=1’解得a=1 上，所以月-5+贺万，放选A 65,所以：= 5 51 两明= =2,故选A 3.C【解析】设P(x,y),有(x-5,y+1)=(2,1),得x=7,y=0,故选C. 4.B【解折1S。-12(4+4-120,+a2_12x9 54,故选B 2 2 2 5.D【解析】直线1不平行于平面，即1与平面相交或1≤a,则1与o必有公共点，故选D. 6.D〖解析】△PFF,的周长为2+2c=6,故选D ,.B【解折1y=simx+)=对nc+),所以y=simx向左平移行个单位即可，故选B 6 2 3 8。D【解析】由题意力=4： a-3.e=c +白选D a 3 3 9.A【解析】由题意，sinA=二，∴.tanA=二， 4 31 可得tanB=tamA-(A-B]-,tan4-tan4-B）-43=上 -1+tan4.tan(4-B)1 +3I3,故选A 43 10。B【解析】由V3是3与3的等比中项，得(V3)2=3×3°，3b=3, .a+b=1.由a>0,b>0,得 得1+1-a+b+a+b=2+b+0≥2+2B.9=4,故选B. a b a b a b Va b 二、填空题 11.2W2【解析】 2a-=4a-4a.6+6=4+4=8,所以2a-8=22 2.-32【架折1白题行以-，-7-5：时所以4。=4+7a=3+7×()=-2 5-35-3 13。 【解折】sima-3cosa=Q:am2国 .sina+sin 2a=sina+2sina cosaana+2tana3 sin2 a+cos2a tan'x+1一2，故答案为2 0【解析】连结4B,CD∥AB,∠ABE为所求.设AB=a,则4E=a, 14.10 BB=V5a,4B=5a,所以cs∠ABE=2r5a-a=30. 2W2a√5a10 15.8【解析】直线y=x-1代入抛物线方程得x2-6x+1=0,得x+x2=6, ∴AB=x+x2+卫=6+2=8. 三、解答题 16。【解】(1)由题意 a-2=0,2分y 1+a≠0 解得a=2.(2分) (2)由题意，复数z=3i,方程x2+bx+c=0的两个根分别为1+3i,1-3i,(1分) ∴.(1+3i)+1-3)=-b,得b=-2.(1分) c=1+3)1-3)=10.(1分) 可得b+c=8.(1分) 17.【解】(1)=V5,=0,(1分) b=2×3+1×(-1)=5,(1分) 设向量a与b的夹角为0，则cos0= .B 5 √5 丽 √5xV102 .2分) 6∈[0，x]6= 4 即向量a与b的夹角为 .(1分) 4 (2)解法一：由题意(3a-b)(a+kb)=3a+(3k-1)a·b-kb=0,(2分) 2 所以15+5(3k-1)-10k=0,(2分) 解得k=-2.(1分) 解法二：3a-b=(3,4),a+kb=(2+3k,1-),(2分) 3a-b与a+kb垂直，∴.3×(2+3k)+4(1-k)=0,(2分) 解得k=-2.(1分) 18。【解】(1)设椭圆方程为x2+y2=1(m>0,n>0,1≠m), 9 m+3n=1 由题意 4 ,(2分) 2m+41n=1 1 解得m= 12·2分) x2,y2 所以椭圆的标准方程为3十12 -+ =1.(1分) 2接双自线方程为香术=2*0,2分) 代入(5，-2)，得元=-4，(2分) 所以双曲线的方程为。上=1.(1分 416 D【解】)中m(红-ow00ima字 30,(1分) 1 ∴.cos2a=1-2sin2a=1-2× ×10-4.(3分) (2).,B为锐角，∴.0+B∈(0，π)，(1分) 由sna=名o,0cosa ,(1分) 10 由ca+m-5.得nu+)-号5.1分) 5 .sin(2a+B)=sin(a+B)cosa+cos(a+B)sina 5把(90-治8除) 10 10 10 20.【解】（四油题意得：，0L=-1,(2分） 2 即a1-an=2. 所以{a}是公差为2的等差数列，(2分) ∴.am=4+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.(2分) (2)b=(2)+3=2+3(1分) 则T=(2+3)+(22+3)+(2+3)++(2”+3) =(2+22+23+…+2)+(3+3+3+…+3)(2分) =20-2）+3n(2分) 1-2 =2m+3n-2.(1分) 21.【解】()f9)=V5sn2x+co82x-2=2i(2x+乃)-2，(3分) .T=π.(1分) 又-T+2k元≤2x+TsT+2kr,即-T+kr≤x≤T+kz, 2 62 3 6 可得蜡区间为[写红名+k知]，长eZ.2分) e团=2m2A+爱-2-l山，得n24+3- 24+后得524+g ，得A=写2分) 6-6 .∵m//n,.sinB=2sinC,即b=2c.(1分) 又a2-4c2+c2-2x2cxcx-9,可得c=5,b=23.(2分) 所us-cmA-日25x5✉535.1分 2 22。【解】(1)取PB中点E,连接ME,NE, yE,M,N分别为PBAD,PC中点，BNC,N-C,DM/BC,DM=号BC, 0 .EN型DM,所以四边形DMEN为平行四边形，可得DN∥ME.(2分) 又，DN￠平面PMB,M∈平面PMB, 4 .DN//平面PMB.(2分) (2),PD⊥底面ABCD,BM三平面ABCD,∴.BM⊥PD,（2分) 连接DB,在菱形ABCD中，因为∠A=60,所以△ABD为等边三角形，又点M为棱AD中 点，所以BM⊥AD.(2分) 又因为PD,ADS平面PAD,PDOAD=D, .∴.BM⊥平面PAD.(1分) (3)设点A到平面PMB的距离为h, 击=g得写eh-arPn.h=S。PD.C1分) 1 3 SAPMB L底面ABCD,÷PD⊥AD,在RMPD中，PM=T+G)2-V 由题意SAPMB= 15x5a=西d,2分) -OX 2228 1a5.5 -a= a2.(1分) 8 3 所以h=8 5 15 5 a2 8 即点A到平面P八B的距离为 5a.(1分) 41 23.【】@⑩油题意行+。1,2分) c2=a2-b2 解得：2=8，b2=2. 所以椭圆方程为士+上=1.(2分) 82 (2)直线1的斜率不存在时，A(2,1),B(2,-1)不合题意，(1分) 5 设直线1的斜率为k,所以1：y=k(x-2),设A(x,y),B(x2,y2), +,得L+)x1ox中16-8=0.4分y 由了82 y=k(x-2) △=(16k2)2-41+4k2)16k2-8)=64k2+32>0恒成立， X+x2 16k2 1+42’米， 16-8.(2分) 1+4k21 .OA⊥OB, ..0A.0B=0.(1) 即xx2+k(x-2)k(x2-2)=A+k2)xx2-2k2(x1+x)+4k2 =0+k2)162-8)32k4 1+4k2 1+4联+4=0(2分) 解得：=±V6 (2分) 即所求直线的方程为y=± 3x-2).(1分) 6 2025年江苏省高二年级第一学期期末测试 数学试卷 本试卷共4页，三大题．满分150分，考试时间120分钟 注意事项: 1．本试卷共4页,包含选择题(第１题第10题,共10题)、非选择题(第11题第23题, 共13题)两部分．考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前,请务必将自己的姓名、班级、考场、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符． 4．作答选择题(第1题第10题),必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑; 如需改动,请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑) 1．中，“”是“”成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若复数满足(是虚数单位)，则的模等于 （ ） A． B． C．2 D．3 3．已知两点，，则点的坐标为 （ ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，，则数列的前12项和为 （ ） A．36　 B．54　　 C．108　 D．117 5．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是 （ ） A．内的所有直线都与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线都与相交 D．直线与平面有公共点 6．已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上，则的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．要得到函数的图像，可以将函数的图像 （ ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 8．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（ 　） A． B． C． D． 9．在中，，则= （ ） A． B． C． D． 10．设,若是与的等比中项，则的最小值为 （ ） 　 A． B． C． 　　 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知向量满足，则=___________. 12．等差数列中，若，则＝ . 13．已知,则_________. 14．已知正四棱柱中，，为的中点，则异面直线所成角的余弦值为____________. 15．斜率为1的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则=____________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．(8分)已知复数为纯虚数，其中是虚数单位． 　　(1)求实数的值； (2)若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值． 17．(10分)已知向量． (1)求向量的夹角； (2)若垂直，求实数的值． 18．(10分)求符合下列条件的圆锥曲线的标准方程． (1)两个焦点在坐标轴上，且经过点的椭圆标准方程； (2)与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的标准方程． 19.（10分）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 20. (12分) 数列中，，且在平面直角坐标系中，点A和点B的中点坐 　 标为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 21. (12分)设函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)在中，所对的边，若，若向量与共线，求的面积． 22.（14分）已知四棱锥，底面是、边长为的菱形，又，且，点分别为棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； (3)求点到平面的距离． 23.（14分）已知椭圆过点,且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，且(为坐标原点)，求直线的方程． 1 6 学科网（北京）股份有限公司 $