精品解析：上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题

虹口区2025学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习 数学练习卷 2026.1 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列四组线段中，成比例的是（ ） A. 1，2，3，4； B. 2，3，4，5； C. 1，2，3，5； D. 2，3，4，6． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，可将四条线段的长度按从小到大排序，看最小线段与最长线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积．若相等，则四条线段成比例；反之，则不成比例． 【详解】解：A、，∴选项A中的四条线段不成比例； B、，∴选项B中的四条线段不成比例； C、，∴选项C中的四条线段不成比例； D、，∴选项D中的四条线段成比例； 故选：D． 2. 在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 3. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 5. 如图，在五边形中， ，延长，，分别交直线 于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据 结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中， ，点 在边上，且，如果，那么的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据， ，证明 ，整理得，又因为 ，，求出 ，再把数值代入 进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，根据向量的数乘和加法运算法则，先运用分配律将括号展开，再合并同类向量即可得到答案． 【详解】解：． .故答案为：． 8. 如果抛物线（ 为常数）开口向下，那么 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得 ． 故答案为： 9. 已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 10. 小丽为了画二次函数的图像，列出了表（信息不全），那么的值是___________． … 0 … … 10 5 1 5 10 … 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性，由点和确定对称轴，再利用点和关于对称轴对称求解m即可． 【详解】解：由点和纵坐标相同，可得它们关于对称轴对称，对称轴为． 所以，点和也关于对称轴对称， 因此， 解得． 故答案为：1． 11. 已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为，较大三角形周长为，根据周长之和为25列方程求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为． 设较小三角形的周长为，较大三角形周长为，则，即， 解得， ∴较小三角形的周长为． 故答案为：10． 12. 在中，，如果，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，等于对边与斜边的比，结合勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 所以． 由勾股定理，，即， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点 、 、 、 都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，点 在边上，连接，点和分别是 和 的重心．如果，那么用和表示是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，重心，相似三角形的判定与性质，先根据点和分别是 和 的重心，得，，证明，因为，得，整理得，所以，故，即可作答． 【详解】解：连接 ，并延长 分别交于点， ∵点和分别是 和 的重心． ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 17. 如图，在中，．点 在边上，连接，将 沿翻折得到 ，点 对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 18. 如图，在中， ，，， 是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形 的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图所示，过点C作 于点F，解直角三角形求出 ，利用勾股定理求出，解直角三角形求出 ，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作 于点H，过点E作 于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作 于点F， ∵， ， ∴，即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，， ∵ 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作 于点H，过点E作 交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. “已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； （2）将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； 【小问2详解】 解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 21. 如图， 、分别是边、上的点，且，． （1）求的长； （2）如果 ，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合 ，证明 ，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 22. 如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带， ，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、 、在同一直线上，点 到地面的距离为5米． （1）求的长（精确到米）； （2）已知到地面的距离 为 米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据： ） 【答案】（1）7.6米 （2） 解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长 米， 在 中， ， 由得， （米）， （米）， 由（1）得 米， 米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【解析】 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得 ，在 中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算 长，在 中，根据锐角三角函数求出 ，由 计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长 米，在中，根据锐角三角函数计算 的长，从而计算 的长，进而比较 和 的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【小问1详解】 解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ， 米， ， ， ， ， ， 在 中， ， 由得， （米）， 由得， （米）， 在 中， ， （米）， 由得， （米）， （米）， 答：的长约为7.6米； 【小问2详解】 略 23. 【模型探究】 如图，已知、分别是 边 、上的点，是 的平分线上一点，满足 ．求证： ． 【模型应用】 （1）已知、分别是 边 、上的点，是 的平分线上一点，如果，，那么 的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边 上选择一个合适的点，并在 内部求作一个点，满足 且 ． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 证明：∵平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ． （1） ； （2）如图，点、即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分 ，可得 ，又由 ，可得 ，从而 ，即可得结论； （1）由，可得，从而可证 ，则 ，再由 ， ，可得 ，即可求解； （2）先作 的平分线 ，则有 ，在 截取 ，再在 截取 ，则，从而 ，则，即 ，同时 ，则 ，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】略 解：（1）∵平分 ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 故答案为： ． （2）略 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交 轴于点和点 ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ． （1）直接写出点 的坐标，并用含 的代数式表示顶点 的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是 ，且与 轴的交点为，连接、，如果 的面积为6，求 的值； （3）当点 的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）当时，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到的长度，即可表示出 的面积，结合面积为6即可求解 的值； （3）首先根据点 的坐标为得到 的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据构造直角三角形，即可求解直线上点E和O的坐标，即可求解直线的解析式，联立直线和抛物线即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； ∵抛物线交 轴于点， ∴，即， 将和代入，得； ∴，； 【小问2详解】 解：设平移后的抛物线为， ∵新抛物线与 轴的交点为， ∴， ∵抛物线交 轴于点 ， ∴，即， ∴， ∵， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵ 的面积为6， ∴，解得： ， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ，即抛物线开口向上， ∴， ∵，， ∴， 设， 如图，当点P在点A上方时，过点A作 交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G， ∴ ， ， ∵， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在 与中，， ∴， ∴，， ∴此时点G与点B重合， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； 如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作 轴于点M，作轴于点N， 同理可求：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； ∴当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 25. 如图1，在中，，且． （1）求证： ； （2）连接交于点，过点 作 交于点 ． ①过点 作 分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果 为的中点，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，作 于点O， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ； （2）①的长为和的长为 ② 【解析】 【分析】（1）首先根据构造垂线结合“三线合一”得到中线，即可证明 ，进而可以得到 ； （2）①：首先利用，进行设参数求解直角三角形三边的长，再通过 ，得到，再证明 即可求得；再根据等面积法求得，利用勾股定理求得，最后利用 得到 且相似比为1，即可得到 进而求解的长为； ②：首先构造辅助线再将转化为，再利用 将转化为，再利用比例的传递性和证明 得到，即可解得，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， 设 ， ， ∴在 中，，解得： （负值舍去）， ∴，， 由（1）得： ，解得：， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴，即，解得：； ∵， 由（1）得：，易得：， ∵ ， ∴， 在 中，， ∵ ， ∴ ， ∴，即 ， ∴ ， ∴； ∴的长为，的长为； ②：如图，作 于点M， ∵， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形、平行线定理、比例的性质，根据题意构造辅助线得到相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹口区2025学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习 数学练习卷 2026.1 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列四组线段中，成比例的是（ ） A. 1，2，3，4； B. 2，3，4，5； C. 1，2，3，5； D. 2，3，4，6． 2. 在 中， ，已知，下列锐角三角比中，值为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 如图，在五边形中， ，延长，，分别交直线 于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中， ，点在边 上，且，如果，那么的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：___________． 8. 如果抛物线（ 为常数）开口向下，那么 的取值范围是___________． 9. 已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 10. 小丽为了画二次函数的图像，列出了表（信息不全），那么的值是___________． … 0 … … 10 5 1 5 10 … 11. 已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 12. 在 中， ，如果，那么的长是___________． 13. 如图，直线，如果，那么 的长是___________． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接 、交于点，那么的值是___________． 15. 如图，在中，点在边上，连接 ，点和分别是 和 的重心．如果，那么用和表示是___________． 16. 对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 17. 如图，在中，．点在边上，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 18. 如图，在中， ，，，是 的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形 的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. “已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； （2）将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 21. 如图，、分别是边 、上的点，且，． （1）求的长； （2）如果 ，求的长． 22. 如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面， 为斜坡上的传送带， ，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． （1）求的长（精确到米）； （2）已知到地面的距离 为 米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（ 足够长）．（参考数据： ） 23. 【模型探究】 如图，已知、分别是 边、上的点，是 的平分线上一点，满足 ．求证： ． 【模型应用】 （1）已知、分别是 边、上的点，是 的平分线上一点，如果，，那么 的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在 内部求作一个点，满足 且 ． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． （1）直接写出点的坐标，并用含 的代数式表示顶点的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果 的面积为6，求 的值； （3）当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 25. 如图1，在中，，且． （1）求证： ； （2）连接交于点，过点作 交于点． ①过点作 分别交 、于点 、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $