排列组合-黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》第69卷 教师讲解卷

编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第69卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第69卷 排列组合 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有（   ）种选法． A．336 B．316 C．56 D．42 2．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．30种 3．（    ） A．4 B．12 C．24 D．6 4．一张录有学校文艺汇演节日的光盘，要在4个班级中轮流观看，不同的排序方法的种数为（    ）． A． B． C． D． 5．袋子里有大小相同的3个白球和2个黑球，从中任意取出1个球，取得白球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．，，，，五人并排站成一排，如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的方法有（   ） A．50 B．60 C．120 D．90 8．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么不同的分配方案共有（   ） A．252种 B．112种 C．20种 D．56种 9．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 10．在珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有 种. 12．某班一个小组有13名学生，现在从中挑选12名学生参加某志愿者活动，不同的选择方法共有 种. 13．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示 种不同的信号 14．已知，则的值为 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29十个质数． (1)从中任取两个数求它们的积，可以得到多少个不同的结果？ (2)从中任取两个数求它们的商，可以得到多少个不同的结果？ 16．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 17．现有100个三极管，其中有4个次品，质检人员从100个三极管中随机抽出3个． (1)抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？ (2)抽取的3个三极管“恰有2个次品”的不同抽取方法共有多少种？ (3)抽取的3个三极管“至少有1个次品”的不同抽取方法共有多少种？ 18．本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本： (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第69卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第69卷 排列组合 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有（   ）种选法． A．336 B．316 C．56 D．42 【答案】C 【分析】根据组合数及其计算求解即可. 【详解】从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有选法（种）． 故选：C. 2．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．30种 【答案】B 【分析】利用组合数公式计数即可. 【详解】三张票没区别，从10人中选3人即可，即分法有种． 故选：B． 3．（    ） A．4 B．12 C．24 D．6 【答案】A 【分析】根据组合数公式计算即可. 【详解】. 故选：A. 4．一张录有学校文艺汇演节日的光盘，要在4个班级中轮流观看，不同的排序方法的种数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列的定义分析求解. 【详解】因为该问题涉及到4个班级的观看顺序，是排列问题，故不同的排序方法有种. 故选：C. 5．袋子里有大小相同的3个白球和2个黑球，从中任意取出1个球，取得白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】记事件A为任取1个球为白球， 从袋子里任取出1个球的方法数为， 任取1个球为白球的方法数为， 所以. 故选:C. 6．，，，，五人并排站成一排，如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】由题意，把，视为一人，且排在的右边，利用全排列公式即可求解. 【详解】把，视为一人，且排在的右边，则本题相当于人的全排列， 故有（种）排法． 故选：D. 7．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的方法有（   ） A．50 B．60 C．120 D．90 【答案】C 【分析】根据排列的定义来计算5本不同数学用书放在同一层书架上的不同方法数. 【详解】5本书进行全排列，． 故选：C. 8．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么不同的分配方案共有（   ） A．252种 B．112种 C．20种 D．56种 【答案】B 【分析】根据分配到甲宿舍的人数可能有人，由组合数和分类加法原理计算即可. 【详解】将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生， 按分配到甲宿舍的人数进行分类，则分配到甲宿舍的人数可能有人， 则不同的分配方案共有（种）． 故选：B. 9．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合组合数的计算分析求解即可. 【详解】第一步，为甲地选1名女教师，有（种）选法； 第二步，为甲地选2名男教师，有（种）选法； 第三步，剩下的3名教师到乙地， 故不同的安排方案共有（种）． 故选：C. 10．在珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，利用对立事件，再分3种情况讨论即可求出结果． 【详解】由题意，用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数， 至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况. 用5根小木棍为数字这一种情况的全排列. 用6根小木棍为数字；；；这四种情况的全排列. 用7根小木棍为数字；；；；；；这七种情况的全排列， 故至少要用8根小木棍的概率为． 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有 种. 【答案】72 【分析】先将除去山楂树和梨树之外的三棵树进行排列，再用插空法排列山楂树和梨树，用分步计数原理求解. 【详解】第一步，先将桃树、苹果树、杏树进行全排列，共有种排列方法； 三棵树共有4个空， 第二步，将山楂树和梨树用插空法排列，共有种排列方法； 利用分步计数原理，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有种. 故答案为：72. 12．某班一个小组有13名学生，现在从中挑选12名学生参加某志愿者活动，不同的选择方法共有 种. 【答案】13 【分析】根据组合的含义及算法计算即可. 【详解】不同的选择方法共有（种）. 故答案为：13. 13．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示 种不同的信号 【答案】15 【分析】由分类计数原理和排列数计算即可. 【详解】分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示种不同的信号； 根据分类计数原理，可以表示的信号共有（种）． 故答案为：15. 14．已知，则的值为 【答案】1或20 【分析】根据组合数的性质计算即可求解. 【详解】解：∵， ∴或， 解得或. 当时，. 当时，. ∴的值为或. 故答案为：或. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29十个质数． (1)从中任取两个数求它们的积，可以得到多少个不同的结果？ (2)从中任取两个数求它们的商，可以得到多少个不同的结果？ 【答案】(1)45 (2)90 【分析】（1）应用组合数的计算公式计算即可. （2）应用排列数的计算公式计算即可. 【详解】（1）因为任取两个数做乘法结果一样，无顺序， 所以任取两个数求它们的积的方法数为， 所以任取两个数求它们的积，可得到45种不同的结果. （2）因为任取两个数做除法结果不一样，有顺序， 所以任取两个数求它们的商的方法数为， 所以任取两个数求它们的商，可得到90种不同的结果. 16．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)161700 (2)9506 (3)9604 【分析】（1）根据组合数的计算即可求解. （2）根据组合数的计算即可求解. （3）根据组合数的计算结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数， 即种，所以有161700种不同的抽法. （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种， 从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则种. 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由（2）得，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种. 由分类加法计数原理得：种. 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 17．现有100个三极管，其中有4个次品，质检人员从100个三极管中随机抽出3个． (1)抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？ (2)抽取的3个三极管“恰有2个次品”的不同抽取方法共有多少种？ (3)抽取的3个三极管“至少有1个次品”的不同抽取方法共有多少种？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）根据组合数公式求解即可. （2）根据组合数公式以及分步计数原理求解即可. （3）根据对立事件以及组合数求解即可. 【详解】（1）抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同方法有（种）． （2）根据分步计数原理，抽取的3个三极管中“恰有2个次品”的不同方法有（种）． （3）抽取的3个三极管中“至少有1个次品”的不同方法有（种）． 18．本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本： (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 (5)种 【分析】（1）根据分步计数原理，可列出式子为，进行计算即可； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种分法，该过程可分为两步，第一步分为三份，每份两本，一共有种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有种方法，可列出方程，可得答案； （3）根据不均匀分组问题的解法，计算即可； （4）在（3）的基础上，可以进行全排列，计算； （5）将其分为“、、型”、“、、型”、“、、型”三种情况进行讨论，利用排列组合的知识，可得答案. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理得到：（种）． （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法． 根据分步乘法计数原理可得：，所以． 因此分为三份，每份两本一共有种方法． （3）这是“不均匀分组”问题，一共有（种）方法． （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有（种）方法． （5）可以分为三类情况： ①“、、型”即（1）中的分配情况，有（种）方法； ②“、、型”即（4）中的分配情况，有（种）方法； ③“、、型”有（种）方法； 所以一共有（种）方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $