6.2.2 第1课时 函数的导数与极值 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)＝的极大值为(　　) A．e－6　 B．e－7 C．e－8 D．e－9 解析：选B．f′(x)＝，当x<7时，f′(x)>0； 当x>7时，f′(x)<0.所以f(x)＝的极大值为f(7)＝＝＝e－7.故选B． 2．已知f(x)＝sin x－a cos x的一个极值点为x0，若tan x0＝3，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－ C．3 D． 解析：选B．函数f(x)＝sin x－a cos x的图象连续，且f′(x)＝cos x＋a sin x，因为x0为f(x)的一个极值点，所以f′(x0)＝cos x0＋a sin x0＝0，解得tan x0＝－.而tan x0＝3，所以－＝3，所以a＝－.故选B． 3．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－) B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()　 C．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3) D．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) 解析：选C．由题图可知，当x＝－3和x＝3时， xf′(x)＝0， 则f′(－3)＝f′(3)＝0； 当x<－3时，xf′(x)>0，则f′(x)<0； 当－3<x<0时，xf′(x)<0，则f′(x)>0； 当0<x<3时，xf′(x)>0，则f′(x)>0； 当x>3时，xf′(x)<0，则f′(x)<0. 所以f(x)在(－∞，－3)，(3，＋∞)上单调递减；在(－3，3)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(－3)，极大值为f(3).故选C． 4．已知函数f(x)的导函数g(x)＝(x－1)(x2－3x＋a)，若1不是函数f(x)的极值点，则实数a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选D．由题意可知f′(x)＝g(x)＝(x－1)(x2－3x＋a)，若1不是函数f(x)的极值点，令h(x)＝x2－3x＋a，则h(1)＝0，即1－3＋a＝0，得a＝2，当a＝2时，f′(x)＝(x－1)(x2－3x＋2)＝(x－1)2(x－2)，故当x>2时，f′(x)>0；当x<2时，f′(x)≤0，因此2是f(x)的极值点，1不是f(x)的极值点，故a＝2满足题意．故选D． 5．已知函数f(x)＝若f(x)有且只有1个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选C．函数f(x)＝ 有且只有1个极值点， 当a＝0时，没有极值点； 当a≠0时，f′(x)＝ 取2ax＋2＝0， 得到x＝－， 当x≤a时，函数f(x)为二次函数， 则－<a，故a>0. 综上所述，a>0.故选C． 6．(多选)若函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，则(　　) A．a>0 B．b>0 C．b2－8a>0 D．b2＝8a 解析：选AC．f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋b＝， 因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，所以方程2ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，所以 解得a>0，b<0，b2－8a>0， 所以A，C正确，B，D错误．故选AC． 7．函数f(x)＝xex的极值点为________． 解析：由题设f′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)有极小值点为－1，无极大值点． 答案：－1 8．若函数f(x)＝2x3＋ax2－3x－2在x＝1处取得极小值，则函数f(x)的极大值为________． 解析：f′(x)＝6x2＋2ax－3， 由题意得f′(1)＝6＋2a－3＝0，解得a＝－， 故f(x)＝2x3－x2－3x－2， f′(x)＝6x2－3x－3＝3(2x＋1)(x－1)， 当－<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x<－或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)在x＝－处取得极大值， 故极大值为f(－)＝2×(－)－×＋－2＝－. 答案： － 9．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax(x∈R)，g(x)＝x2＋(2－a)ln x，若f(x)与g(x)中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围是________． 解析：若f(x)＝x3－x2＋ax(x∈R)无极值， 则f′(x)＝3x2－2x＋a≥0恒成立， 即Δ＝4－12a≤0，解得a≥； 若g(x)＝x2＋(2－a)ln x无极值， 则g′(x)＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立， 所以2－a≥0，即a≤2. 所以f(x)与g(x)中恰有一个函数无极值， 则或 解得a∈(－∞，)∪(2，＋∞). 答案：(－∞，)∪(2，＋∞) 10．已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值. (1)求a，b的值； (2)求出f(x)的单调区间，并求极值． 解：(1)因为f(x)＝ax2＋b ln x，该函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋， 则解得 此时，f(x)＝x2－ln x， 经检验，a＝，b＝－1符合题意． 因此，a＝，b＝－1. (2)因为f(x)＝x2－ln x，该函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝， 令f′(x)＝0，可得x＝1，列表如下： x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)，函数f(x)的极小值为f(1)＝－ln 1＝，无极大值． 11.已知函数f(x)＝，则f(x)在区间(a，a＋)(a>0)上存在极值的充分不必要条件是(　　) A．<a<1 B．0<a< C．0<a< D．<a<1 解析：选A．由f(x)＝，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 因此1是函数f(x)的极大值点，欲使f(x)在区间(a，a＋)(a>0)上存在极值， 只需a<1<a＋，即<a<1，显然四个选项中，只有<a<1能推出<a<1，但是<a<1推不出<a<1.故选A． 12．(多选)若函数f(x)＝aex－x2－2x＋b有两个不相等的极值点，则实数a的取值可以是(　　) A．e　 B．2 C．1　 D．0 解析：选BC．由f(x)＝aex－x2－2x＋b 得f′(x)＝aex－x－2， 由于f(x)＝aex－x2－2x＋b有两个不相等的极值点，则f′(x)＝aex－x－2＝0有两个不相等的实数根，则a＝有两个不相等的实数根， 记g(x)＝，则g′(x)＝， 故当x>－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x<－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，如图所示， 所以当x＝－1时，g(x)取得极大值g(－1)＝e， 又当x>－2时，g(x)>0恒成立， 故0<a<e.故选BC． 13．若函数f(x)＝(x2－a)ex在区间(－2，2)内只有极小值，无极大值，则实数a的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝(x2－a)ex在区间(－2，2)内只有极小值，无极大值，所以f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0在区间(－2，2)内只有一个左负右正的异号根，即关于x的方程x2＋2x－a＝0在区间(－2，2)内只有一个左负右正的异号根，所以得a∈[0，8). 答案：[0，8) 14．已知f(x)＝ln x． (1)求的极值； (2)若函数y＝f(x)－ax存在两个零点，求实数a的取值范围． 解：(1)令g(x)＝＝且x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝，当0<x<e时g′(x)>0； 当x>e时g′(x)<0， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 故g(x)＝的极大值为g(e)＝，无极小值． (2)由题设，a＝有两个根，即y＝a与g(x)＝有两个交点，作出y＝a与g(x)＝的简图，如图所示， 由图知，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 在(0，1)上g(x)<0，在(1，＋∞)上g(x)>0，且当x趋向于正无穷时g(x)趋向于0. 综上，只需0<a<g(e)＝，即实数a的取值范围为. 15.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a<0，b<0，c<0，d>0 B．a<0，b<0，c>0，d>0 C．a<0，b>0，c<0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d>0 解析：选A．观察题图知，f(0)＝d>0，函数f(x)有3个零点，设3个零点为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，于是f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)，当x>x3时，f(x)<0，而此时(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0， 因此a<0，又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 设函数f(x)的两个极值点为α1，α2， 且α1<α2<0，即f′(x)＝0有两个不等实根， －＝α1＋α2<0，＝α1α2>0，因此b<0，c<0，所以a<0，b<0，c<0，d>0.故选A． 16．已知函数f(x)＝x2＋a ln (x＋2)，a∈R，存在两个极值点x1，x2，求f(x1)＋f(x2)的取值范围. 解：由题，函数f(x)的定义域为(－2，＋∞)， 且f′(x)＝2x＋＝， 由于f(x)有两个极值点，则二次函数g(x)＝2x2＋4x＋a在(－2，＋∞)上有两个零点x1，x2. 又g(x)的对称轴为直线x＝－1，图象开口向上， 则解得0<a<2. 又x1，x2是方程2x2＋4x＋a＝0的两根， 从而x1＋x2＝－2，x1x2＝， 则f(x1)＋f(x2)＝x＋a ln (x1＋2)＋x＋a ln (x2＋2) ＝(x1＋x2)2－2x1x2＋a ln [2(x1＋x2)＋x1x2＋4] ＝4－a＋a ln ，其中0<a<2. 令h(x)＝4－x＋x ln ，0<x<2， 则h′(x)＝－1＋ln ＋1＝ln <0， 从而h(x)在(0，2)上单调递减， 又当x→0(x>0)，h(x)→4，x→2，h(x)→2， 所以h(x)的值域为(2，4). 综上所述，f(x1)＋f(x2)的取值范围是(2，4). 学科网（北京）股份有限公司 $