7.3.1 离散型随机变量的均值 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析：选D．由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.故选D． 2．随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝3a，则E(X)＝(　　) X 1 2 3 P a b c A. B． C． D．1 解析：选C.由题意得解得a＝，b＝，c＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选C. 3．一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个．现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X，则E(X)＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选D．由题意可知X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝.故选D． 4．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4).又ξ的均值E(ξ)＝3，则a＋b＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)， 所以E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝30a＋10b＝3①； 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝10a＋4b＝1②， 由①②可解得a＝，b＝0，所以a＋b＝.故选A. 5．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值为(　　) A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 解析：选A.依题意得，X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3， P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2. 可得X的分布列如表所示： X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.故选A. 6．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 解析：选ABC.由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，故B正确； 又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9×0.4＝6.3，解得a＝7，故A正确； 所以E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，故C正确； E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故D错误． 7．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子中任意取出2个，则取到白米粽的个数的均值为________． 解析：设取到白米粽的个数为随机变量X，则X的可能取值为0，1，2， 所以P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， 所以取到白米粽的个数的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 答案： 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的均值是______元． 解析：设可获收益为X万元，如果成功，X的取值为5×12%，如果失败，X的取值为－5×50%， 一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝， 所以一年后公司收益的均值为E(X)＝(5×12%×－5×50%×)×10 000＝4 760(元). 答案：4 760 9．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则E(X)＝________． 解析：X的可能取值是1，2，3，4，5， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝×××＝， P(X＝5)＝×××＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案： 10．某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M，N两个目标投掷，先向目标M掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M的概率为，套中目标N的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为X.求： (1)小明恰好套中2次的概率； (2)X的分布列及均值． 解：(1)记“小明恰好套中2次”为事件A， 分3种情况：第一次，第二次套中，第三次没有套中；第一次，第三次套中，第二次没有套中；第一次没有套中，第二次，第三次套中， 则P(A)＝×2××＋××＝， 小明恰好套中2次的概率为. (2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，4，5， P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＝， P(X＝2)＝×2××＝， P(X＝3)＝×2××＝， P(X＝4)＝××＝， P(X＝5)＝××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 11．从1～20中随机抽取3个数，记随机变量ξ为这3个数中相邻数组(a，a＋1)的个数．如当这三个数为11，12，14时，ξ＝1；当这三个数为7，8，9时，ξ＝2.则E(ξ)的值为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 解析：选B．随机变量ξ的可能取值为0，1，2， 当ξ＝1时，所取的三个数中仅两个数相邻，当这三个数中含有1，2或19，20时，对应取法各为17种，其余情况取法为17×16种， 所以P(ξ＝1)＝＝＝， 当ξ＝2时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种， 所以P(ξ＝2)＝＝＝， 所以当ξ＝0时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1 140－18－306＝816(种)， 所以P(ξ＝0)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝0.3.故选B． 12．(多选)已知随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 P a b 记“函数f(x)＝3sin π(x∈R)是偶函数”为事件A，则(　　) A．P(A)＝ B．E(X)＝ C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝ 解析：选ACD．因为函数f(x)＝3sin π(x∈R)是偶函数， 所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z， 又因为X＝－1，0，1， 所以事件A表示X＝±1， 所以P(A)＝a＋b＝1－＝，E(X)＝(－1)×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，故A，C正确，B错误． 随机变量X2的可能取值为0，1， P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝a＋b＝， 所以E(X2)＝0×＋1×＝，故D正确．故选ACD． 13．甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元．若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金________元． 解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况： ①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，所以甲赢的概率为＋＋＝，所以E(X)＝800×＋0×＝700，则乙应得奖金800－700＝100(元). 答案：100 14．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 6 8 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利数； 日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000 频率 (2)求第二天开始营业时该商品的件数为3的概率． 解：(1)设日销售量为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3. 由题意知，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 补充表格如下： 日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000 频率 所以，试销期间日平均获利为0×＋1 000×＋2 000×＋3 000×＝1 850(元). (2)由题意知，当第一天的销售量为0，2，3件时，第二天开始营业时该商品的件数为3，故所求概率P＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝. 15．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)约为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A.由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，…，n， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝，…，P(X＝n)＝， 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，① 则E(X)＝2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，② ①－②得，E(X)＝1＋＋＋＋…＋－n×，即得E(X)＝3－.当n→＋∞时，E(X)≈3.故选A. 16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值． 解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种).故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝. (2)由题意得P(Y＝51)＝P(X＝1)， P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)， P(Y＝42)＝P(X＝4). 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)， 则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3. 由P(X＝k)＝，得 P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 故所求Y的分布列为 Y 51 48 45 42 P 因此所求年收获量Y的均值为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46(kg). 学科网（北京）股份有限公司 $