8.2 第2课时 回归分析及非线性回归模型(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦回归分析及非线性回归模型核心知识点，从线性回归预测误差引入残差概念，通过残差图分析拟合效果，再到非线性模型的变量代换转化，最后用残差平方和与R²量化评估，构建完整学习支架。 资料以父亲儿子身高、茶水温度等实例驱动，通过思考问题引导学生用数学眼光发现变量关系，借助变量代换培养数学思维，用残差图和R²训练数学语言表达。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　回归分析及非线性回归模型 学习目标 1.结合实例，了解随机误差、残差、残差图的概念．　2.对回归模型会进行残差分析．　3.了解非线性回归模型的基本思想方法，能转化为一元线性回归模型解决实际问题．　4.能利用R2判断回归模型的拟合效果． 思考1　对于教材P105表8.2－1中的数据，由最小二乘法得儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为＝0.839x＋28.957，那么当x＝172时，＝0.839×172＋28.957＝173.265(cm)，如果一位父亲的身高为172 cm，他儿子长大成人后的身高一定是173 cm吗？为什么？ 提示：不一定，因为还有其他影响他儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子的身高． 思考2　对于教材P105表8.2－1中的第6个数据，我们发现当父亲身高为172 cm时，儿子的身高实际为176 cm，实际身高与预测的身高相差了多少？ 提示：176－173.265＝2.735(cm). 思考3　只要给出一组成对样本数据，利用最小二乘法就可求出经验回归方程吗？ 提示：不一定，成对样本数据除了线性相关，还有非线性相关． 一　残差及残差分析 1．残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为____________，通过经验回归方程得到的称为____________，观测值减去预测值所得的差称为________．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为____________． 2．残差分析 作图时__________为残差，____________可以选为样本编号，或身高数据等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． [答案自填] 观测值　预测值　残差 残差分析　纵坐标　横坐标 　(1)下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是(　　) (2)已知变量x和y的统计数据如下表： x －2 －1 0 1 2 y 5 ？ 2 2 1 由表中的数据得到经验回归方程＝－x＋2.6，那么当x＝－1时残差为________．(注：残差＝观测值－预测值) 【解析】　(1)用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高．故选D. (2)由题表知，＝＝0，则＝－＋2.6＝2.6，因此x＝－1时的观测值为5－(5＋2＋2＋1)＝3，而x＝－1时的预测值为－(－1)＋2.6＝3.6，所以当x＝－1时残差为3－3.6＝－0.6. 【答案】　(1)D　(2)－0.6 (1)残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预测精度越高． (2)残差是随机误差的估计值，i＝yi－i. [跟踪训练1] (1)已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 解析：选C.原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大． (2)某工厂为研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种原材料的质量y(单位：吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)，如表所示．(残差＝观测值－预测值) x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.7x＋.据此计算出在样本(4，3)处的残差为－0.15，则表中m的值为________． 解析：由题意可得x＝4时的预测值为3－(－0.15)＝3.15， 则有3.15＝0.7×4＋，所以＝0.35，即＝0.7x＋0.35， 又＝＝4.5， ＝＝， 故＝0.7×4.5＋0.35， 所以m＝4.5. 答案：4.5 二　非线性经验回归方程 1．非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系． 2．非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋(，∈R)时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程． 　(对接教材P115问题)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据及相应散点图，并对数据做初步处理，如下表： (xi－)(yi－) (xi－)(wi－) 73.5 3.85 －95 －2.24 表中：wi＝ln (yi－25)，＝i， 假如该茶水温度y关于时间x的回归方程为y＝d·cx＋25，请求出此回归方程． 附：(1)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－； (2)参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60. 【解】　由y＝d·cx＋25，得y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln (y－25)＝ln d＋x ln c，令w＝ln (y－25)，则w＝ln d＋x ln c， ＝i＝＝3，(xi－)2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋12＋22＋32＝28，结合题表数据， 得ln c＝＝＝－0.08， 结合参考数据可得c＝e－0.08≈0.92，由ln d＝－ln c＝3.85－3×(－0.08)＝4.09，得d＝e4.09≈60， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为＝60×0.92x＋25. 解决非线性回归问题的方法及步骤 [跟踪训练2] (1)如图是一组实验数据的散点图，拟合方程y＝＋c(x＞0)，令t＝，则y关于t的经验回归直线过点(2，5)，(12，25)，则当y∈(1.01，1.02)时，x的取值范围是(　　) A．(0.01，0.02)　　　　　 B．(50，100) C．(0.02，0.04) D．(100，200) 解析：选D.根据题意可得y＝bt＋c(t＞0)，由y关于t的经验回归直线过点(2，5)，(12，25)可得解得 所以y＝2t＋1，由y∈(1.01，1.02)可得1.01＜2t＋1＜1.02， 所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200.故选D. (2)已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，若对＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln 与x线性相关，现有一组数据如下表所示，当x＝5时，预测的值为________． x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 解析：对＝ebx－0.5两边取对数， 得ln ＝bx－0.5令z＝ln ＝bx－0.5，则 x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5，代入＝　－0.5得3.5＝·2.5－0.5， 故＝1.6，故z＝1.6x－0.5，＝e1.6x－0.5.　 当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e7.5. 答案：e7.5 三　残差平方和与决定系数R2 1．残差平方和法 残差平方和(yi－i)2________，模型的拟合效果越好，残差平方和________，模型的拟合效果越差． 2．利用决定系数R2刻画回归效果 R2＝1－，R2越______，模型的拟合效果越好；R2越______，模型的拟合效果越差． [答案自填] 越小　越大　大　小 　已知某种汽车新购入价格为14万元，但随着使用年限增加汽车会贬值．通过调查发现使用年限 x(单位：年)与出售价y(单位：万元)之间的关系有如下一组数据： x 1 2 4 8 10 y 12 10 7 6 5 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)已知R2＝1－，当R2≥0.9时，经验回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．(结果保留三位小数) (附：用最小二乘法求经验回归方程＝x＋的系数公式＝＝；＝－) 【解】　(1)由题意，得＝×(1＋2＋4＋8＋10)＝5，＝×(12＋10＋7＋6＋5)＝8， iyi－5＝1×12＋2×10＋4×7＋8×6＋10×5－200＝－42， (xi－)2＝(1－5)2＋(2－5)2＋(4－5)2＋(8－5)2＋(10－5)2＝60， ＝＝＝－0.7， 则＝－＝8＋0.7×5＝11.5， 所以y关于x的经验回归方程是＝－0.7x＋11.5. (2)列出残差表： xi 1 2 4 8 10 yi 12 10 7 6 5 i 10.8 10.1 8.7 5.9 4.5 yi－i 1.2 －0.1 －1.7 0.1 0.5 yi－ 4 2 －1 －2 －3 所以(yi－i)2＝1.22＋(－0.1)2＋(－1.7)2＋0.12＋0.52＝4.6，(yi－)2＝42＋22＋(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝34， 所以R2＝1－＝1－≈0.865，则0.8＜R2＜0.9，所以该经验回归方程的拟合效果良好． (1)回归模型拟合效果的好坏可以通过计算决定系数R2来判断，其值越大，说明拟合效果越好． (2)在含有一个解释变量的线性回归模型中，决定系数R2恰好等于样本相关系数r的平方．在线性回归模型中有0≤R2≤1，因此R2和两个变量的样本相关系数r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好． [跟踪训练3] (1)通过对两个具有线性相关关系的变量x和y，利用两组不同的统计数据建立了模型：①＝7.5x＋2；②＝6.8x＋2.5.对这两个模型进行了残差分析发现：第①个线性回归模型比第②个线性回归模型拟合效果好．若用R，R，Q1，Q2分别表示模型①与模型②的决定系数与残差平方和，则下列结论正确的是(　　) A．R＞R，Q1＜Q2 B．R＞R，Q1＞Q2 C．R＜R，Q1＜Q2 D．R<R，Q1＞Q2 解析：选A.用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，因为第①个线性回归模型比第②个线性回归模型拟合效果好，所以R＞R，Q1＜Q2.故选A. (2)甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表： 甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度最高的同学是________． 解析：对于已经获取的样本数据，R2表达式中(yi－i)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大，由此知丁同学的回归模型的拟合精度最高． 答案：丁 1．为研究某航空公司最近一段时间的正点率，用模型①和模型②模拟正点率y(单位：%)与时间x(x的取值为5，10，15，20，25，30天)的回归关系：模型①y＝a＋bx，模型②y＝ec＋dx，设两模型的决定系数依次为R和R.若两模型的残差图分别如下图所示，则(　　) A．R<R　　　　　　 B．R＝R C．R>R　　　　　　 D．R，R关系不能确定 解析：选A.根据题图知，模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以R<R.故选A. 2．(多选)(教材P116思考改编)某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图．若去掉D(3，10)后，下列说法正确的是(　　) A.样本相关系数r变小 B．决定系数R2变大 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强 解析：选BD.根据题图可知，去掉点D(3，10)后，y与x的线性相关程度加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错误，D正确；去掉点D(3，10)后，残差平方和变小，则R2变大，B正确，C错误．故选BD. 3．已知变量x和y的统计数据如下表： x 6 7 8 9 10 y 3.5 4 5 6 6.5 若由表中数据得到经验回归方程为＝0.8x＋，则当x＝10时的残差为________． 解析：＝＝8，＝＝5，故5＝0.8×8＋，解得＝－1.4，则当x＝10时，＝0.8×10－1.4＝6.6，故残差为6.5－6.6＝－0.1. 答案：－0.1 4．(教材P120练习T2改编)数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2018－2023年某市夜间经济的市场发展规模(单位：亿元)，其中2018－2023年对应的年份代码依次为1～6. 年份代码x 1 2 3 4 5 6 某市夜间经济的市场发展规模y/亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型y＝a·bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程(a，b的值精确到0.001)； (2)现用(1)中求得的回归方程预测2025年该市夜间经济的市场规模． 参考数据： ivi e2.848 e0.148 1.167 1.168 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 3.28 其中vi＝ln yi. 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解：(1)将y＝a·bx的等号左右两边同时取自然对数得ln y＝ln (a·bx)＝ln a＋x ln b， 所以v＝ln a＋x ln b. ＝＝3.5， 而＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91， 所以＝＝ ＝ ＝≈0.148， ln ≈3.366－0.148×3.5＝2.848. 所以＝2.848＋0.148x， 即ln ＝2.848＋0.148x， 所以＝e2.848＋0.148x＝17.25×1.16x. (2)2025年对应的年份代码为8， 当x＝8时，＝17.25×1.168≈17.25×3.28＝56.58(亿元)， 即2025年该市夜间经济的市场规模约为56.58亿元. 1．已学习：(1)残差的概念与残差图；(2)残差平方和及决定系数R2；(3)非线性经验回归方程． 2．须贯通：回归分析时，必须先画散点图，确定两个变量是否有关系，有什么样的关系，然后确定是哪种回归模型才能进一步求解． 3．应注意：混淆残差图法、残差平方和法和R2法的概念，导致刻画回归效果出错． 学科网（北京）股份有限公司 $