强化课 排列与组合的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学排列与组合综合问题，系统梳理先选后排法、分类讨论法（多面手问题）、隔板法（相同元素分配）、间接法（正难则反）四种核心题型，构建从基础到特殊情境的解题策略支架，帮助学生逐步掌握不同问题的处理逻辑。 资料通过例题解析与跟踪训练结合，突出数学思维（如分类推理、分步逻辑）和数学语言（组合数符号应用）的培养，课中助力教师系统授课，课后学生可通过实例巩固，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

　排列与组合的综合问题 题型一　先选后排法——排列与组合综合问题 　从A，B，C等7人中选5人排成一排． (1)若A必须在内，有多少种排法？ (2)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 【解】　(1)根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有CA＝1 800种排法． (2)根据题意，先在其他4人中选出2人，有C＝6种选法，将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有AA＝12种选法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，所以共有6×12×2＝144种不同的排法． (1)求解排列与组合问题时，首先要把握问题的实质，元素是否有序，再结合两个计数原理，按元素的性质确定分类标准，按事情发生的过程确定分步的顺序． (2)解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列． [跟踪训练1] 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，共有多少种不同的选派方法？ 解：(1)从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 共有C＝120种选择方法． (2)从10名志愿者中选2男1女，共有CC＝60种选择方法，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为CCA＝360. 题型二　分类讨论法——多面手问题 　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别翻译英语和日语，有多少种不同的选法？ 【解】　由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 方法一：分两类． 第一类：从只会英语的6人中选1人翻译英语，有6种选法，则选翻译日语的1人有2＋1＝3种选法．此时共有6×3＝18种选法． 第二类：从既会英语又会日语的1人中选1人翻译英语，有1种选法，则选翻译日语的1人有2种选法，此时有1×2＝2种选法． 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20种选法． 方法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)翻译英语；(2)翻译日语． 第一类，甲入选． (1)甲翻译英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2种选法； (2)甲翻译日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6种选法． 故甲入选共有2＋6＝8种不同的选法． 第二类，甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12种不同的选法． 综上，共有8＋12＝20种不同的选法． 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． [跟踪训练2] 某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？ 解：设既能当车工又能当钳工的工人为“多面手”，则由题意分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”， 此时选法有CC＝75(种)； 第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”， 此时选法为CCC＝100(种)； 第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”， 此时选法为CCC＝10(种). 由分类加法计数原理得，不同的选法共有75＋100＋10＝185(种). 题型三　隔板法——相同元素的分配问题 　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． 【解】　(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10种放法． (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有C种选法，由分步乘法计数原理得，共有CC＝40种放法． 相同元素的分配问题的求解方法——隔板法 (1)定个数：确定元素的个数、分成的组数以及各组元素的数量； (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数； (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数． [跟踪训练3] 现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，则分配方案有(　　) A．8种 B．10种 C．18种 D．27种 解析：选B．由题意，利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空隙，再在5个空隙放置2个隔板，则共有C＝10种方案．故选B． 题型四　间接法——正难则反问题 　(1)甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游玩方案的种数为(　　) A．65 B．73 C．70 D．60 (2)某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上)，那么这位老师一天的课表的所有排法有________种． 【解析】　(1)根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种情况，若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼、东湖，每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16种情况，故汉口江滩一定要有人去有81－16＝65种情况．故选A. (2)从9节课中任意安排3节共有A＝504(种)； 其中前5节课连排3节共有3A＝18(种)；后4节课连排3节共有2A＝12(种). 所以老师一天课表的所有排法共有504－18－12＝474(种). 【答案】　(1)A　(2)474 间接法的解题步骤 间接法，也称为总体剔除法，其解题步骤是：首先忽略题目中给出的附加条件，就整体的排列组合数量进行计算；然后再利用附加条件来计算得出不符合题目要求的数量；最后通过前后相减的方式得出问题的具体答案． [跟踪训练4] (1)从正方体的8个顶点中选4个点可作四面体的个数为(　　) A．38 B．46 C．58 D．64 解析：选C.正方体的8个顶点中选4个点共有C种选法，其中4点共面的情况有正方体的6个面和6个对角面，故可作C－12＝58个四面体． (2)某科技大会现面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”“服务组”“物料组”“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有________种．(用数字作答) 解析：依题意，6人中选派4人参与选派方式共有A＝360(种)，其中甲、乙都不参与的选派方式共有A＝24(种)，甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有CA＝60(种)，所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有A－CA－A＝360－60－24＝276(种). 答案：276 学科网（北京）股份有限公司 $