圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 考点目录 垂径定理 圆周角定理 圆的内接四边形 考点一 垂径定理 例1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在中，为半径，垂直平分，且，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为 ． 例4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为 ． 例5．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求弦的长． (2)连接、，若，求的度数． 变式1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 变式2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为 ． 变式4．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，经过点A，与x轴相切于点C，过点A作y轴的垂线交于点B，若半径为5，点A坐标为，则点B坐标为 ． 变式5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 考点二 圆周角定理 例1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，为的切线，切点为A，连接、，交于点C，点D在上，连接、，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 例2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，若，则 ． 例4．（25-26九年级上·山西长治·期末）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，且A，B两点所表示的读数分别是，，则的度数为 ． 变式1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·天津·期末）如图，是的弦，连接，弦上有一点D，连接并延长与过点B的的切线交于点A，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 变式4．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，若，则的度数是 ． 考点三 圆的内接四边形 例1．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，点A，B，C都在上，，则的度数是 ． 例4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若 ，则的度数为 ． 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，四边形内接于，点M为边延长线上的一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径是 （   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，若，则的度数为 ． 变式4．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形内接于，，．若，则的面积为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 考点目录 垂径定理 圆周角定理 圆的内接四边形 考点一 垂径定理 例1.(25-26九年级上·浙江杭州·期末)在 0中，O1为半径，CD垂直平分O1,且0M=4cm,则弦CD的长是 () A.2em B.2/5cm C 4v3cm D.8cm 【答案】C 【详解】解：如图，连接OD,设CD垂直平分OA,垂足为点P, A ,CD垂直平分OA, CP=PD' OP=PA=-O4=2cm, 由勾股定理可得： PD=√OD2-0p2=2V3cm .CD=2PD=43cm 故选：C. ⊙0 例2.(25-26九年级上·新疆吐鲁番·期末)如图， 的直径 是的弦，1B1CD zCD=20 cm AB⊙O 垂足为M, OM=6cm,则AB的长为() A.16cm B.14cm C.10cm D.8cm 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 【答案】A 【详解】解：连接OA, B CD=20cm,AB⊥CD ,圆的直径 ..04=10cm,AM BM, .AM=042-OM2=102-62=8cm .AB=2AM=16cm, 故选：A 例3.(2526九年级上江苏南通月考)如图，4B为00的弦， AB=8,OD⊥AB、⊙O ,交 0于点D,垂足为C, CD=2,则⊙O的半径长为一 D 【答案】5 【详解】解：如图所示，连接OA, B D ∴设OA=OD=r,则OC=OD-CD=r-2, OD⊥AB, .AC=BC=AB=4. 2 在Rt△AOC中，OA=AC2+OC2, 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 2=4+r-22 解得，r=5, ⊙0 的半径长为5， 故答案为：5. 例4.(2425九年级上吉林松原期末)如图，已知4B是O0的弦，点C在弦4B上，4C=1em,BC=21em, OC=13cm,则圆心O到AB的距离为 cm. B 【答案】12 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E, 则4E=4B, :4B=AC+BC=1+21=32(cm .'AE=4B =16cm ∴.CE=AE-AC=5cm, 在Ra0CE中，由勾股定理得OE=VOC2-CE=132-了=12(cm), E B 即圆心O到AB的距离为12cm; 故答案为：12 例5.(2526九年级上湖北武汉期末)如图是0的直径，弦CD1B于点，连接OC,若B=9, AE=1. 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 B (1)求弦CD的长. (2)连接AC、BC,若LAOC=20°，求∠BAC的度数. 【答案】(1)6 (2)80° 【详解】(1)解：：CD⊥AB, .CE DE, EB=9,AE=1, .AB=9+1=10, ∴OC=OA=5, 0E=5-1=4, 在Rta0CE中，CE=V0C2-0E2=V53-4=3 ..CD=2CE=6: (2)解：如图，连接AC、BC, 小 .∠AOC=20° B= ∠A0C=10°， AB是⊙O的直径， .∴∠ACB=90°， .∴∠BAC=90°-∠B=90°-10°=80° 变式1，(23-24九年级上江苏无锡期中)如图，将半径为6的O0沿4B折叠，B与B垂直的半径0C交于点 D且CD=2OD,则折痕AB的长为() 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 C D A.4V2 B.8V2 C.6 D.65 【答案】B 【详解】解：延长C0交B于F点，交O0于点R,连接OB, C E :CE⊥AB E为AB的中点， .OC=6,CD=20D, .CD=4,OD=2,OB=6, 由折叠的性质可知：DE=EF-DF-CF-CD-×2x6-4到=4， 2 ..OE DE-OD=2. 在R△OEB中，由勾股定理可得：BE=VOB-OE=45 AB=2BE=82 故选：B. 变式2.(25-26九年级上·甘肃庆阳期末)《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算 术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题.如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD于点E,ED=4,AB=16,则OE的长是() 5 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 D A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A .⊙0 【详解】解：连接01，设©0的半径是，则 OA=r OE=r-4 C D OD⊥AB,AB=16, :AE=BE三AB=8, .0A=0E2+AE2 2=(r-42+82 .r=10」 ∴.0E=r-4=10-4=6, 故选：A. 变式3.(25-26九年级上广东广州期末)如图，在⊙0中，点C在优ACB上，将BC沿直线BC折叠后刚好经 过弦4B的中点D.若O0的半径为25，B=8,则折痕线段BC的长为一 ⊙0 C 0 D 6 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 【答案】6W2 【详解】解：取D关于BC的对称点在O0上 CD'BD'AC DC OC OB OD 在上，连接， D,过点C作 CE⊥AB于点E,过点O作OF ICE于点F. :D为弦AB的中点，AB=8, :.AD=BD=14B-4. 3 5 的半径为 :0B=0C=2V5 D为弦AB的中点， ∴.OD⊥AB, .0D=0B2-BD2=25-4=2. ,∠A+∠D'=180°，∠D'=∠CDB,∠CDB+∠ADC=180°， ∴.∠A=∠ADC、 .AC=DC, CE⊥AB,AD=4, 46=nE=4D=2=0D, CE⊥AB,OF⊥CE,OD⊥AB, ∴.∠FED=∠OFE=∠ODE=90°， ∴.四边形FEDO是矩形， ..OF=DE=2=OD,OD=EF=2, 在Rt△COF与Rt△BOD中， OF=OD .OC=0B, ,RtACOF≌Rt△BOD(HL) ∴.CF=BD=4, .CE=BE =6, :CB=VCE2+BE2=6√2 > 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 故答案为：62. C D' E D B OP 变式4.(25-26九年级上新疆喀什·期末)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限， 经过点A,与x轴 ⊙P ⊙P （0,1) 相切于点C,过点A作y轴的垂线交”于点B,若”半径为5，点A坐标为 ”,则点B坐标为一· A B C 【答案】(6 【详解】解：连接PA,PC,设PC交AB于点D, 味 D A B C :.⊙p AB⊥y ∠AOC=90° 与x轴相切于点C, 轴， .AB⊥PC,AB∥x轴， ∴四边形OADC是矩形， (0,1) 点A坐标为， ∴.CD=OA=1, ⊙P 半径为5， 8 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 ∴.PA=PC=5,AD=BD, PD=5-1=4, 在RIAPAD中，AD=VPAP-PD=VS2-4=3 .AB=2AD=6, 心点B坐标为6，) 故答案为：(6，) 0， 变式5.(25-26九年级上湖北武汉月考)如图，在 D0中，MB是直径， CD AB⊥CD 是弦， 于点E,连接1C, AD. B (I)证明：∠ACD=∠ADC: (2当E=9CD=6 ⊙0 时，求的半径. 【答案】()见解析 (2)5 中，AB ⊙0 【详解】(1)解：“在 CD AB⊥CD 是直径， 是弦， .AC=AD .∠ACD=∠ADC (2)解：由(I)可知CE=DE=3 连接OC, 9 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形专项训练 D B 设半径r,则OE=9-r 在Rta0CE中，32+9-2=2 9+81-18r=0. 解得r=5 o