4.1.2 第2课时 全概率公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该教案聚焦全概率公式这一核心知识点，通过三个罐子取球的情境导入，引导学生思考事件互斥与拆分，衔接古典概型知识，搭建从具体问题到抽象公式的学习支架。 资料以情境化实例（如取球、李老师迟到、射击飞盘）引导学生用数学眼光观察现实问题，通过公式推导与多场景应用培养数学思维，用符号表达概率关系提升数学语言能力，助力学生理解应用，方便教师分层教学。

第2课时　全概率公式 1.了解全概率公式的推导过程．　2.结合古典概型，理解并掌握全概率公式．　3.会利用全概率公式解决简单的实际问题． 有三个罐子，1号装有2个红球、1个黑球，2号装有3个红球、1个黑球，3号装有2个红球、2个黑球，球除颜色外其余都相同，某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球． 思考1　设事件Ai表示“从i号罐子取球”，i＝1，2，3.事件A1，A2，A3有何关系？ 提示：A1，A2，A3两两互斥且A1∪A2∪A3＝Ω. 思考2　设事件B表示“任取一球是红球”，事件B如何用Ai拆分？ 提示：B＝A1B∪A2B∪A3B. 思考3　如果从三个罐子中任取一球得到的是红球，那么这个红球来自1号罐子的的可能性如何求？ 提示： 可以求在事件B发生的条件下事件A1发生的概率，即求条件概率P(A1|B). 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B， 如图所示，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B).更进一步，当P(A)>0且P()>0时，因为由乘法公式有P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝______________________________________．这称为全概率公式． [答案自填] P(A)P(B|A)＋P()P(B|) 　分别在下列各条件下，求P(B)，P(A|B). (1)P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.25，P(B|)＝0.3； (2)P()＝0.6，P(B|A)＝0.2，P(B|)＝0.4. 【解】　(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.5×0.25＋(1－0.5)×0.3＝0.125＋0.15＝0.275，又因为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)，所以0.5×0.25＝P(B)P(A|B)，所以0.125＝0.275·P(A|B)，所以P(A|B)＝＝. (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝(1－0.6)×0.2＋0.6×0.4＝0.08＋0.24＝0.32.又因为P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)，所以(1－0.6)×0.2＝0.32×P(A|B)，所以P(A|B)＝＝. (1)公式中BA与B是互斥的． (2)熟记公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).　 [跟踪训练1] (1)若P(BA)＝0.35，P(B)＝0.1，则P(B)＝________． 解析：P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.35＋0.1＝0.45. 答案：0.45 (2)已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则P(B|)＝________，P(B)＝________． 解析：因为P(A)＝，所以P()＝1－P(A)＝1－＝.因为P(|)＝，所以P(B|)＝1－P(|)＝1－＝，所以由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＝P(B|)P()＝×＋×＝. 答案：　 　(对接教材例3)李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50，他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车，设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率． 【解】　用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P(B|A)是乘出租车迟到的概率，P(B|)是骑自行车迟到的概率．根据题意P(A)＝0.01，P(B|)＝0.05，P(B|A)＝0.50，因为A，互斥，所以AB，B互斥．所以P(B)＝P(AB∪B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.01×0.50＋(1－0.01)×0.05＝0.054 5.故李老师迟到的概率为0.054 5. 两个事件的全概率问题的求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).　 [跟踪训练2] (1)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰好患色盲的概率是(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 解析：选C.用事件A，B分别表示“随机选一人是男人”和“随机选一人是女人”，用事件C表示“此人恰好患色盲”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25. (2)(2024·辽宁丹东期末)某商店新进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装有100个产品，废品率为0.06，乙厂每箱装有120个产品，废品率为0.05，求： ①任取一箱，从中任取—个为废品的概率； ②若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解：记事件A，B分别为“取到甲、乙两厂的产品”，事件C为“取到废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥． ①由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得所求概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝. ②P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得所求概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝. 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai). 　(对接教材例4)甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率． 【解】　设B表示“飞盘被击落”，Ai表示“飞盘被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.设H1表示“飞盘被甲击中”，H2表示“飞盘被乙击中”，H3表示“飞盘被丙击中”，所以P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，则P(A1)＝P(H12 3＋1H23＋1 2H3)＝0.36， P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝0.14，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞盘被击落的概率为0.458. “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．　 [跟踪训练3] (2024·辽宁锦州月考)已知在10只晶体管中有2只次品，从中取两次，且不放回抽样．求下列事件的概率： (1)两只都是正品； (2)两只都是次品； (3)正品、次品各一只； (4)第二次取出的是次品． 解：设事件Ai(i＝1，2)表示“第i次取的是正品”． (1)两只都是正品，则P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝. (2)两只都是次品，则P(1 2)＝P(1)·P(2|1)＝×＝. (3)一只是正品，一只是次品，则P(A12＋1A2)＝P(A1)P(2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×＋×＝. (4)第二次取出的是次品，则P(2)＝P(A12＋1 2)＝P(A1)P(2|A1)＋P(1)P(2|1)＝×＋×＝. 1．已知两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，且第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A．0.21 B．0.06 C．0.94 D．0.95 解析：选D.令B表示“取到的零件为合格品”，Ai表示“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2.则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95. 2．(多选)(教材P58T5改编)两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是(　　) A．这件产品是合格品的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949 C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为 D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为 解析：选AC.设Ai表示“取出的是第i批产品”，i＝1，2，B表示“取出的是合格品”，C表示“取出的是次品”，对于A，P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝30%×(1－3%)＋70%×(1－6%)＝0.949，A正确；对于B，P(C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝30%×3%＋70%×6%＝0.051，B错误；对于C，D，P(A1|B)＝＝＝，P(A2|B)＝＝＝，C正确，D错误．故选AC. 3．某地区成年人体重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压的概率分别为0.2，0.1，0.05.则该地区成年人患高血压的概率为________． 解析：设事件B表示“某人患高血压”，事件Ai表示“某人体重的特征”(i＝1，2，3)，则B＝A1B＋A2B＋A3B.由题意知，P(A1)＝0.1，P(B|A1)＝0.2，P(A2)＝0.82，P(B|A2)＝0.1，P(A3)＝0.08，P(B|A3)＝0.05，由全概率公式得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106. 答案：0.106 4．现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率． 解：设事件A表示“对所选的题有思路”，表示“对所选的题完全没有思路”，事件B表示“做对所选题目”，则Ω＝A∪，且A与互斥．由题意得P(A)＝＝，P()＝＝，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.25. 由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝×0.9＋×0.25＝0.737 5.即他做对该题的概率是0.737 5. 1．已学习：(1)全概率公式；(2)全概率公式的推广． 2．须贯通：全概率公式在实际中的应用． 3．应注意：(1)P(B)≠P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A).(2)事件拆分不合理或不全面．　 学科网（北京）股份有限公司 $