第12卷 数列的综合应用（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文 化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考，点。每份试卷聚焦一个专题， 精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写， 每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便 教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效 突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷解三角形 (教师讲解卷) 坐【概念回倾】 (一)求数列的通项公式a 1.累加法 2.公式法（定义法）】 3.累乘法 4.构造法 (二)求数列前项和S 1.常规的等差数列、等比数列求和，运用等差数列、等比数列前项和公式直接求解 2.分组求和法一适用于类似{a,+bn}的形式 1 3.裂项求和法一适用于 的形式 n(n+k) 4.错位相减法一适用于{a.·b}({a}为等差数列，b,}为等比数列的形式. 【真题精讲】 1.(2025年浙江)已知数列{an}满足a=1,a1+an=2n(neN),则a5=（） A.2 B.5 C.7 D.10 I答案】B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》 【解析) 【分析)根据题意，利用数列的递推式依次赋值即可得解 【详解】依题意，由an1+an=2n(neN)得an+1=2n-an,又a=1, 所以a2=2×1-a1=1,a3=2×2-a2=3, a4=2×3-a3=3,05=2×4-a4=5. 故选：B. 2. （2024年浙江)已知数列a,满足a=2,a1=a。 1 ,则a4= 【答案】 1山 30 【解析) 【分析】根据递推公式依次求值即可. 1 【详解】已知a1=2,an+1=an- a 。13 则a2=41--=2- 1325 422,4=4-1= a2236 15611 436530 故答案为： 11 30 3.(2024年浙江)如图所示，将长为5，宽为3的长方形分别沿两条对称轴对折，对折1 次得到×3和5×2两种不同的长方形，它们的面积之和4=15，周长之和6=24：对折 3 2 2 5 53 3 45 2次共得到二×3，二× 4 3,×25×三和不同的长方形，它们的面积之和4， 4 ,周长之和 b,=28.以此类推，对折n次拱得到n+1种不同的长方形，它们的面积之和为a,,周长之 和为bn ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今AI职教》 5 2 =1 n=2 (1)写出a,b (2)求数列{an},{b,}的通项公式， (3)求数列{an}的前n项和S。· 【答案】(4，=2 5 ，b,=30 (2）an= 15(n+1) bn=32-24-m 2" (3)Sn=45-15n+45 【解析) 【分析)(1)根据规律求出第三次对折的面积之和和周长之和即可. (2)根据规律求解数列的通项公式即可 (3)应用错位相减求解前n项和即可. 【小问1详解】 3535 53.4 15 a=4224 +3×+2×5=-×15= 88 8 6=253+533 二++二+3+ +5=30 22 4 88 【小问2详解】 {an)通项公式： 53 n=1时：a,=3×。+。×5=15 22 n=2时：a,=x+3×3+3x5=3x15=45 35 5.3 22 44 4 4 3535 53 4 15 n=3时：a3=×+。×2+3×。+。×5=×15= 4224 88 8 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 A职教》 15(n+1) ·an= 2 {b}通项公式 n=1时：b=2× =2时6，=2×2+2 3+5+3+5+3+5=28 44 n=3时： .bn=32-24n 【小问3详解】 a,=15n+101 =15(n+1) Sn=41+a2+a3+a4+.an, s=0g45+60g15+1s9 2=0周*s+0周+-15+1 28=15-15a+1s8+15周+5s日 =5-05+15日”+908 69 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》 45 (15n+45) n+l 45-(30n+90) ..8= 45-(15n+45) =45-(15n+45 4(2023年浙江7若S,=sim+sin元+证 3π+sin2π++sin aeN,则 S2021=（） A.1 B.-1 C.0 D.2021 【答案】A 【解析】 【分析)】观察可知，已知数列是周期为4的周期数列，根据已知求解. 【详解】可得数列是周期为4的周期数列 π 且sinZ+sin元+sin3 +sin2π=0，则 3π 2021元 S2021=sin)+sin元+sin +sin2π+…+sin 2 =0×505+sin 2021r=5in 021r=sin1 2 2 故选：A 奥【举一反】 1.(2022年浙江)已知数列{a},{b,}满足如下两个条件： (i){an}为等差数列，公差d>0,{bn}为等比数列： (i)a=b=1,a,b=8,a,b3=28.求： (1)数列{a},{b}的通项公式： (2)数列{abn}的前n项和Sn· ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 A职教》》 2.(2021年浙江)已知实数a>b>0,若P为a与b的等差中项，G为a与b的等比中项， 则() A.P<G B.P>G C.P≤G D.P≥G 3.（2021年浙江)某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1 个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为；第2小时内死亡2个，剩下的细胞 都一分为二，分裂后细胞总数记为a2;;第n小时内死亡n个，剩下的细胞都一分为二， 分裂后细胞总数记为an,由此构成数列{an} (1)写出数列{an}的前三项： (2)写出a,与an-（n≥2)的关系式： (3)求通项公式a 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 4.(2018年湖北)解答下列问题： 1)泻出数列2,468 3333…的-个通项公式 (2)在等差数列{an}中，a。=3a2,a6=16,求{an}的前15项和Ssi B没为等比数列么的前口项和。且A=2亚+号4=2+分求他，的通项公式 5.(2024年河北)设{an}为等差数列，其前n项和为Sn,已知S,=3S,-2,a=2a2-1 (1)求数列{an}的通项公式： 2冷b=1 ,求b+b2+…+b的值. a an+ ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 A职教》》 奥【拓展提升】 一、单选题 已知数列a的前项和为S且a山，a3S,+2,则满足。<0的m的最小境为 (） A.4 B.5 C.6 D.7 2.形是一种具有自相似性的几何图案，它每一部分的形状和结构都和整体相似，在艺术设 计和科学技术等领域有着广泛的应用.如图，某种分形图案按如下方式生成：图1为边长为 1的正方形，在图1上新增2个边长为，的正方形后得到图2；在图2上新增4个边长为4的 正方形后得到图3；在图3上新增8个边长为。的正方形后得到图4，，依此类推 图1 图2 图3 图4 图1，图2，图3，图4，的面积分别表示为a1,42,4,a4,,构成数列an}. (1)求a1,a2,a，a4的值 (2)求数列{an}的通项公式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 A职教》》 3.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总 数为a 公 图1 图2 图3 图4 (1)求a2,a3,a4i (2)写出an1与an的关系； (3)求数列{an}的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 AI职教》》 4,某树形图的生长过程如图所示，一个半径为1的圆，第1次生长出2个小圆，第2次分 别从2个小圆处各生长出2个更小的圆，依次下去，它们的半径都为其前一个圆的半径 的一半，第次生长后，新出现的一个小圆的面积为a,求： 第1次生长后图第2次生长后图 (1)a1,a2,a的值 (2)猜测数列{a}为何数列，并根据猜测写出数列{an}的通项公式； (3)第次生长后图中所有圆的面积之和， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）求数列的通项公式 1.累加法 2.公式法（定义法） 3.累乘法 4.构造法 （二）求数列前项和 1.常规的等差数列、等比数列求和，运用等差数列、等比数列前项和公式直接求解. 2.分组求和法—适用于类似的形式. 3.裂项求和法—适用于的形式. 4.错位相减法—适用于的形式. 【真题精讲】 1. （2025年浙江）已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用数列的递推式依次赋值即可得解. 【详解】依题意，由得，又， 所以，， ，. 故选：B. 2. （2024年浙江）已知数列满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式依次求值即可. 【详解】已知， 则，， . 故答案为：. 3. （2024年浙江）如图所示，将长为5，宽为3的长方形分别沿两条对称轴对折，对折1次得到和两种不同的长方形，它们的面积之和，周长之和；对折2次共得到三种不同的长方形，它们的面积之和，周长之和.以此类推，对折次拱得到种不同的长方形，它们的面积之和为，周长之和为. （1）写出； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据规律求出第三次对折的面积之和和周长之和即可. （2）根据规律求解数列的通项公式即可. （3）应用错位相减求解前n项和即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 通项公式： 时：， 时：， 时：， …… ∴. 通项公式： 时：， 时：， 时：， …… . 【小问3详解】 ， ， ①， ②， ①-②， ， . 4.（2023年浙江）17. 若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】观察可知，已知数列是周期为4的周期数列，根据已知求解. 【详解】可得数列是周期为4的周期数列， 且,则 故选：A 【举一反三】 1. （2022年浙江）已知数列满足如下两个条件： （i）为等差数列，公差，为等比数列； （ii）．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，先求出公差，与公比，进而求出的通项公式. （2）根据错位相减法求前项和. 【小问1详解】 设的公比为q， 依题意有， ①的平方，化简整理得， 解得或， ． 当代入①式，得． 所以数列的通项公式， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 ， ， ． 2. （2021年浙江）已知实数，若为与的等差中项，为与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别用、关系表示P和G，再利用均值不等式判断即可. 【详解】已知，P为、的等差中项，即， G为、的等比中项，即， 又由基本不等式知， 所以. 故选：B. 3. （2021年浙江）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为；…；第小时内死亡个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为，由此构成数列. （1）写出数列的前三项； （2）写出与的关系式； （3）求通项公式. 【答案】（1），，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接由所给题意写出前3项即可. （2）根据（1）中所给数据分析与的关系即可. （3）设，s，t为常数，则令，通过求解s，t，来求解通项公式即可. 【小问1详解】 设初始时刻有个细胞， 由条件知：， ， . 【小问2详解】 由题意和（1）分析可得. 【小问3详解】 … ②一①，得 ， 即 所以. 4. （2018年湖北）解答下列问题： (1)写出数列的一个通项公式； (2)在等差数列中，，求的前15项和； (3)设为等比数列的前n项和，且，求的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用观察法得到数列的通项公式，从而得解； （2）利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （3）利用与的关系式得到，进而求得公比，再利用等比数列的通项公式与求和公式求得，从而得解. 【详解】（1）观察数列，可知数列的分子部分依次为从2开始的偶数，可记为， 数列的分母部分依次为的指数幂，可记为， 所以该数列的一个通项公式为. （2）依题意，设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 故. （3）依题意，设等比数列的公比为， 因为，两式相减得， 则，所以， 由，得，解得， 故的通项公式为. 5．（2024年河北）设为等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项公差为，其前n项和为， 由，可得，解得， 由等差数列前项和公式， 由，可得， 化简得，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则. 则. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知数列的前项和为，且，，则满足的n的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据代入式子化简，得出为等比数列，再由等比数列的通项公式结合二次函数的单调性即可确定最值. 【详解】由得， 即，又， 所以为等比数列， 所以，即， 所以， 即，则3， 令，则， 所以函数的对称轴为， 其在单调递减，在单调递增， 又的可能值为，所以 且，， ，， 当时，，所以从第四项起以后各项均满足， 故选：A. 2．形是一种具有自相似性的几何图案，它每一部分的形状和结构都和整体相似，在艺术设计和科学技术等领域有着广泛的应用．如图，某种分形图案按如下方式生成：图1为边长为1的正方形；在图1上新增2个边长为的正方形后得到图2；在图2上新增4个边长为的正方形后得到图3；在图3上新增8个边长为的正方形后得到图4，…，依此类推. 图1，图2，图3，图4，…的面积分别表示为，，，，…，构成数列. (1)求，，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)， ， ， (2) 【分析】（1）根据图形的规律和正方形的面积求解即可. （2）根据图形的规律和等比数列的求和公式，求解即可. 【详解】（1）， ， ， . （2）在图上新增个边长为的正方形得到图， 新增的面积为. 则数列的通项公式为. 3．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为. (1)求； (2)写出与的关系； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中图形数出黑点数即可解得. （2）根据第一问的结论找出规律即可解得. （3）根据第二问的结论进行分组求和结合等差数列求和公式即可解得. 【详解】（1）由题意得. （2）由已知得， . （3）， （其中）， 又. 4．某树形图的生长过程如图所示，一个半径为1的圆，第1次生长出2个小圆，第2次分别从2个小圆处各生长出2个更小的圆……，依次下去，它们的半径都为其前一个圆的半径的一半，第次生长后，新出现的一个小圆的面积为，求： (1)的值； (2)猜测数列为何数列，并根据猜测写出数列的通项公式； (3)第次生长后图中所有圆的面积之和． 【答案】(1)，， (2)数列为等比数列， (3) 【分析】（1）求得第1、2、3次生长后，新出现的一个小圆的半径，计算面积即可； （2）根据等比数列的定义判断，由等比数列的通项公式求出； （3）利用等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）由题意，第1次生长后，新出现的一个小圆的半径为，则， 第2次生长后，新出现的一个小圆的半径为，则， 第3次生长后，新出现的一个小圆的半径为，则． （2）由题意得，数列为等比数列，且， ． （3） 5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等公式.如图所示，“三角垛”从上往下第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，第层球数比第层的球数多个，设各层球数构成一个数列. (1)求和的值； (2)写出与（且）之间的关系式； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)（且） (3) 【分析】（1）由题意结合数列的递推公式得到和的值； （2）由题意得到与（且）之间的关系式即可； （3）由（2）知化简即可得到数列的通项公式. 【详解】（1）由题意得， 故， . （2）（且）. （3）由知 . 6．在数列中，，，数列的前项和（，为常数）. (1)求实数，的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，可得关于，的方程组，解方程组可得所求； （2）根据与的关系可得数列的通项公式. 【详解】（1）由题意得，， 解方程组，得， 所以； （2）由（1）得， 当时，， 又当时，不满足上式， 所以. 7．如图所示，在边长为1的正三角形中，挖去一个由三边中点所构成的三角形，记挖去的三角形面积为；在剩下的3个三角形中，再以同样的方法，挖去三个三角形，记挖去的3个三角形面积和为，……，重复以上过程，记挖去的个三角形面积的和为，得到数列.    (1)写出，，； (2)求数列的通项公式； (3)求数列前项和. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2）根据，，的值观察规律即可求解； （3）先证明数列为等比数列，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）∵正三角形的边长为1， ∴挖去的三角形的底边长为，高为， ∴； ； ； （2）由（1）知，，，， ∴可得； （3）由（2）知，， ∴， ∴，且， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. 8．（1）已知数列满足，，求数列的通项公式和数列的第20项． （2）已知等比数列中，，，求前5项和的值． 【答案】（1） （2）93或 【分析】（1）根据等差数列的定义判断，再由等差数列的通项公式求解即可； （2）先求出等比数列的公比，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由，可得， 则数列是以为公差的等差数列，又， 则， 所以． （2）设公比为， 则， 解得或， 当时，由可得，，解得， 此时； 当时，由可得，，解得， 此时． 9．数学上，把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图所示，观察可发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，求：    (1)根据数列1，4，9，16，…的规律，求第5个“正方形数”； (2)将第5个“正方形数”表示为两个相邻的“三角形数”之和； (3)求“三角形数”的通项公式． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形数的规律可求出第5个正方形数. （2）先找出三角形数的数列规律，再求解即可.. （3）根据三角形数的数列的规律来推导通项公式. 【详解】（1）观察数列1，4，9，16，……，可以发现其规律是第个数为，故第5个“正方形数”为25． （2）先找三角形数的规律，数列1，3，6，10，……， ， 故，所以． （3）观察可知， 由题意得 根据累加法得， ． 10．如图所示，已知数列，对于任意，点都在函数的图像上，若点的坐标为，的面积为．    (1)求的面积和的面积； (2)求的面积； (3)令梯形的面积为，梯形的面积为，梯形的面积为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点在函数上求出解析式，再根据三角形的面积求解即可. （2）根据三角形面积求解即可. （3）根据梯形面积公式以及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）由在上，得. 所以 （2）由题意可得， （3）梯形的面积. 也符合，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以前项和. 11．已知等差数列满足，，且数列的前n项和为． (1)求及； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式,前项和公式即可得解； （2）化简，每一项拆分为两项的差，再相加后即可. 【详解】（1）由题意得解得. ∴. . （2）∵. . . . . ∴. . . ． 所以. 12．已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2023项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，由是首项为2的等比数列且，求出的值，进而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项， ，即， ，， ，解得或（舍）， ； （2）， ， 的前2023项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $