第10卷 解三角形（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.基本概念：有三角形六个元素（三条边和三个角）中的三个已知元素（至少有一个元素是边），求其余三个未知元素的过程叫做解三角形，这也是我们常说的“知三求三”. 2.正弦定理 （1）正弦定理： （2）变式①： 变式②：设，则，， ；或者是，，.（变式②可实现三角形中的边角互化.） （3）正弦定理的用处：①已知两角一边解三角形；②已知两边一角解三角形. 3.余弦定理 （1）余弦定理：； （2）变式：；；（角化边） （3）余弦定理的用处：①已知两边夹角解三角形；②已知三边解三角形. 4.三角形的面积公式 5.三角形中常见的结论 ①； ②三角形中大边对大角，小边对小角； ③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ④大角的正弦值较大，正弦值较大的角也较大 即在中， ⑤三角形内的诱导公式： ；， 【真题精讲】 1. （2025年浙江）如图，在中，，，D是AB上一点，且，. （1）的大小； （2）的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的余弦定理和特殊角的三角函数值求解即可； （2）由（1）可知，再结合三角函数的正弦定理、两角差的正弦公式和三角形面积公式，分析求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以 ， 所以. 2. （2024年浙江）在中，已知. （1）求的长； （2）若为延长线上一点，且的面积为，求的长. 【答案】（1）6 （2）3 【解析】 【分析】（1）由题意根据余弦定理求出的长即可； （2）根据三角恒等变换求出，再由三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，已知 由余弦定理得 【小问2详解】 ， ，且为锐角， ，又， ， 由倍角公式得， 所以， 因为，所以， 所以， ， . 3.（2023年浙江）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，，，，△ADC的面积为．求： （1）的值； （2）AB的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，即可求角. （2）运用余弦定理即可求边. 【小问1详解】 所以 即 ∵，由正弦定理得 ∴，即∠BAC为锐角 ∴ 【小问2详解】 由正弦定理， 得， ∴ 由余弦定理，得 即， ∴或（舍去） 所以． 【举一反三】 1. （2022年浙江）如图所示，在中，D为BC边上的一点，已知，，． 求： （1）BC的长； （2）的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将，代入余弦定理中即可求得结果. （2）先由正弦定理求出,再通过同角三角函数的基本关系求出,即可得到边的值,代入三角形面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 解：由余弦定理得 所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 即， ． 又是锐角， ， ， 所以． 的面积为 . 2.（2021年浙江）在中，已知 （1）求； （2）设为等腰三角形，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理直接求解的值即可. （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理求解边长即可. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得， 又因为， 故. 【小问2详解】 因为为等腰三角形，又因为， 所以，， ， 则，， 由余弦定理：， 所以. 3.（2025年四川） 的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将条件等式中的角化成边，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设三角形外接圆半径为，则由正弦定理可得： 即， 整理得：， 则， 且，所以. 故选：C. 4．（2025年河南） 在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题目条件以及余弦定理求解. （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）已知，根据余弦定理， 将代入可得， 因为，所以. （2）由正弦定理，已知，，， 则， 因为，所以，， 那么， 所以的面积. 5．（2017年广东） 设的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，已知，求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得结果； （2）利用（1）中结论及三角恒等变换化简即可得解. 【详解】（1）由余弦定理得，， 所以， 所以； （2）由题意知， 【拓展提升】 1．已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大. 所以. 故选：B. 2．已知的内角的对边分别为，且. (1)求A的大小； (2)若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解. （2）根据余弦定理，两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. 则. 即，所以或. 解得或. 因为是内角，所以. （2）由题意得，. 则，即. 又由余弦定理，则.即. 所以，解得. 因为是内角，所以，由得，所以. 所以为直角三角形. 三、解答题 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)设函数，若，求a． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由余弦定理将边化角，再由面积相等即可求解，即可求解角B的大小. （2）先应用辅助角公式将函数化为正弦型，再求解角A的值，再由正弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得：， ， 又， ， . （2） ， ， ， ， ，， ，， . 4．在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求值即可. （2）根据正弦定理求出，再由同角三角函数的平方关系求出，再由诱导公式求出，最后三角形由面积公式求值即可. 【详解】（1）已知，， 由余弦定理知, 即， 化简得，因为， 解得． （2）由正弦定理知， 即，解得， 因为为锐角，所以， 因为，则， ． 5．如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且，． (1)求长度； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可设，则，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由题意，设，则， 又是等边三角形，所以， 所以，即， 所以，解得或（舍）， 即； （2）由（1）知，则， 由正弦定理得，即， 所以. 6．如图所示，在中，点在斜边上，. (1)若，求角的值； (2)若，且，求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理和三角形内角和即可得解； （2）由余弦定理即可得解. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得， 即，所以， 因为在中，， 则， 所以，所以， 所以. （2）在中，， 所以，则， 在中，， 则有 ， 所以. 7．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和与差的正弦公式，诱导公式，三角形的性质即可求解. （2）根据正余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，又， 所以，所以，所以. （2）由（1）得，则由正弦定理得，又， 所以，所以. 8．在中，内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式化简得，解出，即可确定的大小. （2）根据余弦定理求值即可. 【详解】（1）在中，由，得，则， 即 ， ，解得或（舍去）. 又，. （2）在中，， 由余弦定理得， . 9．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的值． (2)若的面积为，且，,求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数诱导公式对进行化简，然后利用三角函数半角公式对进行化简，进而求得角A 的值. （2）利用三角形面积公式即可求解、的值，然后利用余弦定理求解a的值. 【详解】（1）由，得， 即，，， 又，∴， 故． （2）由面积公式得：，得， 又且,，， 由余弦定理得：， ∴． 10．如图，已知为内一点，满足，，，. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，则，利用二倍角公式以及求出，再根据正弦定理结合，可求出的长； （2）先由（1）得到，，然后利用两角和正、余弦公式求出，，再利用三角形内角和定理得到，即可利用两角差的正弦公式求出. 【详解】（1）设，则，所以， 则，由题易知，所以， 由正弦定理可得，，则. （2）由（1）可知，，，所以，， 所以， . 由，，得，则， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职公共课真题同源卷 AI职教∑》》 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文 化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考，点。每份试卷聚焦一个专题， 精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写， 每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便 教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效 突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷解三角形 (教师讲解卷) 坐【概念回倾】 1基本概念：有三角形六个元素（三条边和三个角）中的三个已知元素（至少有一个元素是 边)，求其余三个未知元素的过程叫做解三角形，这也是我们常说的知三求三”， 2.正弦定理 (1)正弦定理： a b sin A sin B sin C (2)变式①：a:b:c=sinA:sinB:sinC 变式2：设a b sin A sin B sin C c=k(k>0),a=ksinA,b=ksin B. c=ksinC;或者是sinA=a, ksin B=b sinc= .(变式②可实现三角形中的边角互 k 化) (3)正弦定理的用处：①已知两角一边解三角形；②)已知两边一角解三角形， 3.余弦定理 (1)余弦定理：a2=b2+c2-2bcc0sA b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcosC (2)变式：c0sA= b2+c2-a2 cosB=a2+c2- -:cosC=a2+b2-c2 (角化边) 2bc 2ac 2ab 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 (3)余弦定理的用处：①已知两边夹角解三角形；（②已知三边解三角形， 4.三角形的面积公式 5.三角形中常见的结论 ①∠A+∠B+∠C=π； ②三角形中大边对大角，小边对小角： ③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ④大角的正弦值较大，正弦值较大的角也较大 即在△ABC中，∠A>∠B台a>b-sinA>sinB ⑤三角形内的诱导公式： sin(4+B)=sin C;cos(4+B)=-cosC.cos4+B= sin- 2 2 六【真题精讲】 1.(2025年浙江)如图，在ABC中，AC=7,∠ABC=45°，D是AB上一点，且 AD=5,CD=8 D (1)∠ADC的大小： (2)△BCD的面积 【答案】(1)∠ADC=60° (2)24-8V3 【解析] 【分析】(1)根据题意，利用三角函数的余弦定理和特殊角的三角函数值求解即可 (2)由(1)可知∠BDC=120°，再结合三角函数的正弦定理、两角差的正弦公式和三角 形面积公式，分析求解即可， 【小问1详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 因为AC=7,AD=5,CD=8 所以cos∠ADC=AD2+CD2-AC2_25+64-491 2AD.CD 2×5×82 又0°<∠ADC<180°， 所以∠ADC=60°. 【小问2详解】 因为∠ADC=60°， 所以∠BDC=120°； 因为 BC CD sin∠BDC sin∠ABC 所以BC=_CD 5sin120=8××5.46 F·sin∠BDC=_8 X sinZAB √52 因为∠BCD=180°-45°-120°=15°， 所以sin∠BCD=sinl5°=sin(45°-30)=sin45°cos30°-sin30°c0s45 23126-2 2222 4 所以5nc0-scm∠8cD-8x46x6:524-8w5 4 2(2024年浙江)在ABC中，已知AB=AC=5,c0sA= 25 (1)求BC的长； 2)若D为4C延长线上-点，且△BCD的面积为9求CD的长 36 【答案】(1)6 (2)3 【解析) 【分析1(1)由题意根据余弦定理求出BC的长即可 (2)根据三角恒等变换求出sinLBCD,再由三角形面积公式求解 【小问1详解】 在ABC中，已知AB=AC=5,C0sA= 25 7 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACC0SA=52+52-2×5×5× =36 25 ∴.BC=6 【小问2详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 B AB=AC=5, ∴.∠ABC=∠ACB,且∠ABC,LACB为锐角， 2∠ACB+∠A=元，又cos∠A=7 25 cos2∠ACB=cos(元-∠A)=-cos∠A=-7 25 由 倍 角 公 式 c0s2∠ACB=2cos2∠ACB-1 得 7 1+cos2∠ACB CoS∠ACB= 3 25 2 2 -5 3 所以cos∠BCD=cOsπ-∠ACB)=-coS∠ACB=- 5 因为∠BCD∈0，π)，所以sin∠BCD>0 3)2 4 4 BCCD·sin/BCD6x×CD 5 36 .SARCD 2 2 5 ∴.CD=3. 3.(2023年浙江)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ABC=60°，AC=7, AD=6,△MDC的面积为155.求： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 B (1)c0s∠BAC的值： (2)AB的长. 塔割a片 (2）8 【解析) 【分析】(1)根据三角形面积公式，即可求角. (2)运用余弦定理即可求边： 【小问1详解】 S.ADC= 6AC4Dsim∠DAC=x7x6xsin∠DAC=I5VA 所以sin ZDAC= 5W5 14 即sin∠BAC= 5V5 14 :sin∠BAC<sinB,由正弦定理得BC<AC LBAC<∠B,即∠BAC为锐角 cos∠BAC=1 14 【小问2详解】 BC 由正弦定理。 AC sin∠BAC sin B BC 7 得55V3 142 BC=5 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 A职教》 由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCc0sC 即AB2-5AB-24=0 ·AB=8或AB=-3(舍去) 所以AB=8 奥【举一反三】 1.(2022年浙江)如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，己知AB=3,AC=6, ∠BAC=120°，∠BAD=90°. 求： (1)BC的长； (2)△ADC的面积. 2.(2021年浙江)在ABC中，已知a2+c2-b2=-aC (1)求∠B; (2)设ABC为等腰三角形，且S。Bc=4V3,求b 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》泥 3.(2025年四川) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b(sin B+sin C)+csin C=asin A,=() A.G 8.骨 c.2 D. 3 6 4.(2025年河南)在ABC中，三个内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,三条边满足 a2+c2-b2=ac. (1)求∠B (2)若a=1,b=√5，求ABC的面积. 5,(2017年广东)设ABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,已知 a=2,b=3,c=V5,求： (1)sinC的值； (2)cosA+B)+sin2C的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》泥 冥【拓展提升】 1,已知三角形的边长分别为2,3,4，则它的最大内角的余弦值是(） 方 84 c D.1 2.已知4BC约内角4,8.C的对边分别为aAc,且m径+ sin24=1. 2 (1)求A的大小 (2)若c=bcosA+√3 asin B,证明：ABC为直角三角形 3.在ABC中，角4，B。C的对边分别为a,b,c,且ABC的面积S=a+C-B 4 (1)求角B的大小 版函数因-5co2-引-2 i,声/(}-96-6，求a. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 4.在平面四边形ABCD中，∠ABC=135°，AB⊥AD,AB=√5，AC=5 (1)求BC; (2)若AD=2√5，求△ACD的面积 5.如图，ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD,AD=√万 (1)求AB长度 (2)求sin/BAD的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 6.如图所示，在Rt△ABC中，点D在斜边BC上，AC=V5DC. B D (1若∠DAC= 6, 求角B的值； (2)若BD=2DC,且AD=2√5，求DC的长. 7.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2a· 1)求sinC的值； sinA (2)若b=a+1,c=b+2,求c0sC的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！