第11卷 等差数列、等比数列（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、等差数列 1.等差数列的定义：或者 2.等差数列的通项公式 3.等差中项： 若成等差数列，则称是的等差中项，且有 4.等差数列前项和公式 5等差数列的简单性质：在等差数列中 二、等比数列 1.等比数列的定义：或者 2.等比数列的通项公式 3.等比中项 若成等比数列，则称是的等比中项，且有 4.等比数列的前项和公式 5.等比数列的简单性质：在等比数列中 三、求数列的通项公式 1.观察法（多用于选择题或者填空题，自己领悟！） 2.公式法 四、求数列前项和 1.常规的等差数列、等比数列求和，运用等差数列、等比数列前项和公式直接求解. 2.分组求和法—适用于类似的形式. 3.裂项求和法—适用于的形式. 4.错位相减法—适用于的形式. 【真题精讲】 考点01等差数列 1. （2025年浙江）已知等差数列中，，，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项性质即可求解. 【详解】由题意得，等差数列中，，， 则. 故答案为：. 2. （2024年浙江）已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，则. 故选：D. 3. （2022年浙江）等差数列，1，5，…的第6项为__________． 【答案】17 【解析】 【分析】先求公差，再求数列的通项公式，最后再求. 【详解】由题意等差数列，1，5，… 得，， 所以等差数列的通项公式为， 所以. 故答案为:. 4. （2021年浙江）若等差数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用可得，从而得解. 【详解】因为， 所以当时，， 所以. 故答案为： 考点02等比数列 1. （2025年浙江）如图，在平面网格中，是边长为1的正方形，是以为中心的九宫格，中与相邻且全等的正方形按逆时针方向依次记为，，，，，，，；是以为中心的九宫格，中与相邻且全等的正方形按逆时针方向依次记为，，，，，，，，，以此类推，得到一数列，记正方形的面积为. （1）求，，的值； （2）记，求的前n项和； （3）记，求的前50项和. 【答案】（1）1；9；81 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图直观看到正方形的面积，进而求解，，的值. （2）将数列从第1项起，每8项为一组，分析每一组对应正方形的边长，进而根据得到的通项，再结合等比数列的求和公式，即可求解. （3）枚举法将按4项分组，根据对应的面积得到的前项，结合等比数列的求和公式分组求解. 【小问1详解】 因为正方形的面积为，是边长为1的正方形， 周围8个正方形（到）与全等，面积， 周围8个正方形（到）与全等，的面积是， 周围8个正方形（到）与全等，的面积是， 【小问2详解】 因为数列从第1项起，每8项为一组， 每一组对应的正方形的边长依次为1，3，9，27，，， 又，即， 所以， 可知数列是首项为1，公比为9的等比数列， 所以. 【小问3详解】 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 第2行 第3行 第12行 第13行 第4列单独为一组相加，其余所有项相加，得 . 2.（2023年浙江）等比数列中，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】等比数列中，， 则， 故选：B. 【举一反三】 1. （2021年浙江）已知实数，若为与的等差中项，为与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别用、关系表示P和G，再利用均值不等式判断即可. 【详解】已知，P为、的等差中项，即， G为、的等比中项，即， 又由基本不等式知， 所以. 故选：B. 2．（2025年湖南）在等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以，即，解得. 故选：D. 3．（2025年吉林）若数列为等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知数列为等差数列，， 则， 故选：D. 4．（2019年内蒙古）等比数列的第四项等于（    ） A．0 B．12 C．24 D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的关系式求出的值，进而确定公比q，利用通项公式即可求解第四项. 【详解】根据等比中项的性质有：，整理得 解得或. 由于，，整个数列不满足等比数列要求，故舍去. ∴等比数列公比，∴. 故选：D. 5．（2024年陕西）设是等差数列，公差，为前项和，若，且，，成等比数列. (1)求的值； (2)求及. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据等差数列的求和公式及性质求出，利用等差数列的定义及等比中项求出公差即可得解. （）根据等差数列的通项公式及求和公式即可得解. 【详解】（1）是等差数列，公差， ，解得， 则，， 因为，，成等比数列， 所以， 则， 解得（舍），或， 所以，， 综上所述，. （2）因为， 则，. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知a，b，c，d是公比为2 的等比数列，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可 【详解】因为是公比为2的等比数列.即后一项是前一项的2倍. 所以. 所以. 故选：B. 2．在等差数列中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】在等差数列中，因为，所以，进而. 则通项公式为，则. 故选：C. 3．在数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用倒数法证得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 易知，所以，则， 又，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 4．已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求，并求为何值时的值最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组计算可得和公差，代入可得的通项公式； （2）求出前项和为的表达式，进而根据二次函数的图象和性质得到的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为． 因为，所以解得 所以． （2）由（1）知，， 所以． 因为，所以当或时， 的值最大，最大值为． 5．设为等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项公差为，其前n项和为， 由，可得，解得， 由等差数列前项和公式， 由，可得， 化简得，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则. 则. 6．已知等差数列中，为其前项和，，.求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用首相及前项和公式求出公差然后可求； （2）将前项和公式化为配方式利用二次函数性质可求最值. 【详解】（1），， 则，则，则， 则； （2），， ， 因为，则当或时有最小值， 此时， 则的最小值为. 7．我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 【答案】（里） 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和和通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，此人每天走得路程构成等比数列， 且公比为，前项和， 所以， 解得：， 所以（里）， 因此此人第5天走的路程为（里）. 8．已知数列是各项为正的等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设出公比，根据题给信息列出方程计算即可求解. （2）根据（1）中的得到，计算即可求解. 【详解】（1）因为数列是各项为正的等比数列， 设公比为q， 所以且. 因为，， 所以， 解得或（舍）， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，. 因为， 所以. . 9．已知等差数列满足，. (1)求等差数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . （2）设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 10．已知数列满足：，. (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和的表达式. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由递推公式变形，结合等比数列定义求解即可. （2）由（1）得到数列的通项公式，再代等比数列前项和公式求. 【详解】（1）证明：由可得， 所以，且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，，则， 故前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、等差数列 1.等差数列的定义：或者 2.等差数列的通项公式 3.等差中项： 若成等差数列，则称是的等差中项，且有 4.等差数列前项和公式 5等差数列的简单性质：在等差数列中 二、等比数列 1.等比数列的定义：或者 2.等比数列的通项公式 3.等比中项 若成等比数列，则称是的等比中项，且有 4.等比数列的前项和公式 5.等比数列的简单性质：在等比数列中 三、求数列的通项公式 1.观察法（多用于选择题或者填空题，自己领悟！） 2.公式法 四、求数列前项和 1.常规的等差数列、等比数列求和，运用等差数列、等比数列前项和公式直接求解. 2.分组求和法—适用于类似的形式. 3.裂项求和法—适用于的形式. 4.错位相减法—适用于的形式. 【真题精讲】 考点01等差数列 1. （2025年浙江）已知等差数列中，，，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项性质即可求解. 【详解】由题意得，等差数列中，，， 则. 故答案为：. 2. （2024年浙江）已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，则. 故选：D. 3. （2022年浙江）等差数列，1，5，…的第6项为__________． 【答案】17 【解析】 【分析】先求公差，再求数列的通项公式，最后再求. 【详解】由题意等差数列，1，5，… 得，， 所以等差数列的通项公式为， 所以. 故答案为:. 4. （2021年浙江）若等差数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用可得，从而得解. 【详解】因为， 所以当时，， 所以. 故答案为： 考点02等比数列 1. （2025年浙江）如图，在平面网格中，是边长为1的正方形，是以为中心的九宫格，中与相邻且全等的正方形按逆时针方向依次记为，，，，，，，；是以为中心的九宫格，中与相邻且全等的正方形按逆时针方向依次记为，，，，，，，，，以此类推，得到一数列，记正方形的面积为. （1）求，，的值； （2）记，求的前n项和； （3）记，求的前50项和. 【答案】（1）1；9；81 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图直观看到正方形的面积，进而求解，，的值. （2）将数列从第1项起，每8项为一组，分析每一组对应正方形的边长，进而根据得到的通项，再结合等比数列的求和公式，即可求解. （3）枚举法将按4项分组，根据对应的面积得到的前项，结合等比数列的求和公式分组求解. 【小问1详解】 因为正方形的面积为，是边长为1的正方形， 周围8个正方形（到）与全等，面积， 周围8个正方形（到）与全等，的面积是， 周围8个正方形（到）与全等，的面积是， 【小问2详解】 因为数列从第1项起，每8项为一组， 每一组对应的正方形的边长依次为1，3，9，27，，， 又，即， 所以， 可知数列是首项为1，公比为9的等比数列， 所以. 【小问3详解】 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 第2行 第3行 第12行 第13行 第4列单独为一组相加，其余所有项相加，得 . 2.（2023年浙江）等比数列中，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】等比数列中，， 则， 故选：B. 【举一反三】 1. （2021年浙江）已知实数，若为与的等差中项，为与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别用、关系表示P和G，再利用均值不等式判断即可. 【详解】已知，P为、的等差中项，即， G为、的等比中项，即， 又由基本不等式知， 所以. 故选：B. 2．（2025年湖南）在等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以，即，解得. 故选：D. 3．（2025年吉林）若数列为等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知数列为等差数列，， 则， 故选：D. 4．（2019年内蒙古）等比数列的第四项等于（    ） A．0 B．12 C．24 D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的关系式求出的值，进而确定公比q，利用通项公式即可求解第四项. 【详解】根据等比中项的性质有：，整理得 解得或. 由于，，整个数列不满足等比数列要求，故舍去. ∴等比数列公比，∴. 故选：D. 5．（2024年陕西）设是等差数列，公差，为前项和，若，且，，成等比数列. (1)求的值； (2)求及. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据等差数列的求和公式及性质求出，利用等差数列的定义及等比中项求出公差即可得解. （）根据等差数列的通项公式及求和公式即可得解. 【详解】（1）是等差数列，公差， ，解得， 则，， 因为，，成等比数列， 所以， 则， 解得（舍），或， 所以，， 综上所述，. （2）因为， 则，. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知a，b，c，d是公比为2 的等比数列，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可 【详解】因为是公比为2的等比数列.即后一项是前一项的2倍. 所以. 所以. 故选：B. 2．在等差数列中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】在等差数列中，因为，所以，进而. 则通项公式为，则. 故选：C. 3．在数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用倒数法证得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 易知，所以，则， 又，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 4．已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求，并求为何值时的值最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组计算可得和公差，代入可得的通项公式； （2）求出前项和为的表达式，进而根据二次函数的图象和性质得到的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为． 因为，所以解得 所以． （2）由（1）知，， 所以． 因为，所以当或时， 的值最大，最大值为． 5．设为等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项公差为，其前n项和为， 由，可得，解得， 由等差数列前项和公式， 由，可得， 化简得，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则. 则. 6．已知等差数列中，为其前项和，，.求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用首相及前项和公式求出公差然后可求； （2）将前项和公式化为配方式利用二次函数性质可求最值. 【详解】（1），， 则，则，则， 则； （2），， ， 因为，则当或时有最小值， 此时， 则的最小值为. 7．我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 【答案】（里） 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和和通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，此人每天走得路程构成等比数列， 且公比为，前项和， 所以， 解得：， 所以（里）， 因此此人第5天走的路程为（里）. 8．已知数列是各项为正的等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设出公比，根据题给信息列出方程计算即可求解. （2）根据（1）中的得到，计算即可求解. 【详解】（1）因为数列是各项为正的等比数列， 设公比为q， 所以且. 因为，， 所以， 解得或（舍）， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，. 因为， 所以. . 9．已知等差数列满足，. (1)求等差数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . （2）设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 10．已知数列满足：，. (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和的表达式. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由递推公式变形，结合等比数列定义求解即可. （2）由（1）得到数列的通项公式，再代等比数列前项和公式求. 【详解】（1）证明：由可得， 所以，且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，，则， 故前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $