第12卷 数列的综合应用（学生练习卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

中职公共课·真题同源卷 A职教》 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文 化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考，点。每份试卷聚焦一个专题， 精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写， 每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便 教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效 突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷解三角形 (学生练习卷) 1.课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（标号为1,2,3）的生长情况进行观察 记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4,5,6,7,8， 9)，接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（如图 所示)，记{an}为第n天的微生物的最后一个标号，如a,=9,a2=21.求： 21 20 19 7 18 第1天 第2天 (1)a、a4的值； (2)an (3)标号为1000的微生物出现在第几天. 69 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 A职教》 2,科克曲线，又称雪花曲线，是科克于1904年构造出来的，雪花曲线的形状如图所示：第 一个图形为一个边长为1的等边三角形：取第一个图形每边中间的号向外接上去一个形状 完全相似但边长为其的三角形，得到第二个图形；取第二个图形的每个边中间的3向外 接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第三个图形…按上述规则进行下去， 3 记a,为第n个图形的边长 ① 2 ③ (1)求an； (2)已知b,=log!4,求数列{a。b,}的前n项和T, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 A职教∑》 3,如图所示，用边长为1的正六边形搭“平面塔式图形”，一层塔需要1个正六边形，接下 来按每一层塔比它的上一层多一个六边形方式向下进行搭建，以此类推搭建层塔，记 一层塔周长为4，二层塔周长为42，三层塔周长为a,…,n层塔周长为a,得到数列{an}· 一层塔二层塔 三层塔 (1)求10层塔图形的周长以及4n； (2)若b,=2-1,求数列{bn}的前项和Sn· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 A职教》 4,一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次只将其中的一片撕成更小的4片，如此进 行下去，问 (1)撕5次，共可得到多少张纸片？ (2)能否将纸片撕成2008片？说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》泥 5.如图所示，将长为5，宽为3的长方形分别沿两条对称轴对折，对折1次得到×3和 5×2两种不同的长方形.它们的面积之和a,=15,周长之和么=24；对折2次共得到 ×3,×35×3三种不同的长方形.它们的面积之和4，= 5 45 422 ,周长之和b,=28.以此类推。 4 对折次拱得到n+1种不同的长方形，它们的面积之和为4，周长之和为b,· 3 2 n=1 n=2 (1)写出a,b (2)求数列{an},b}的通项公式： (3)求数列{an}的前n项和Sn 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 A职教》》 6,“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画▣出来的一个可以无限重复的树 形图形.如图所示，（图1）中正方形个数为a,=1,以正方形ABCD的一边为直角三角形的 斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两 个正方形，得到（图2），其中正方形个数为a2=3,如此继续，a=7,,an得到一个数列 {an}: 4 (图1) (图2) (图3) (1)求a4,a5 (2)求数列{an}的通项公式； (3)若AB=2,求第n个图形中所有正方形的边长之和S, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 A职教∑》 7.数学上，把1,3,6,10，…这样的数称为"三角形数”，把1,4,9,16，…这样的数称 为“正方形数”.如图所示，观察可发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 的“三角形数"之和，求： ●●●/● 沪： ●●● ●●●● ●●●● 4=1+39=3+616=6+10 (1)根据数列1,4,9,16，…的规律，求第5个“正方形数” (2)将第5个“正方形数”表示为两个相邻的"三角形数”之和； (3)求“三角形数"的通项公式a, 8.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括 号中分别填上第5项的图形和点数， 6 (2 ●a 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 8888 888888 ●●●● 888888 3 P 15 24 9.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总 数为an △ 图1 图2 图3 图4 (1)求a2,3,a4; (2)写出an1与an的关系， (3)求数列{a,}的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 10.已知数列{an}为等差数列，a2=3,a4=3a,数列b,}的前n项和为Sn,且满足 2Sm=3bn-1. (1)求{a,}和{bn的通项公式： (2)若cn=anbn,数列Kcn}的前n项和为T,且Tn-n3”<(-1)”·m对n∈N恒成立，求实数 m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 11,在数列{an}中，a1=0,a2=4,且a+2=2a+1-an+2. (1)求{an}的通项公式： 1 2记6，=4a,-4n+7, 求数列{b,}的前n项和T. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第10卷 解三角形 （学生练习卷） 1．课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（如图所示），记为第n天的微生物的最后一个标号，如，．求： (1)、的值； (2)； (3)标号为1000的微生物出现在第几天． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】（1）观察图中所示，根据题意得出、的值即可； （2）根据题意，利用累加法即可得到； （3）由（2）中的通项公式，令即可得解. 【详解】（1）， ． （2），， ，…，， 累加得：， 故，即． （3）由（2）知， 令， 因为，， 所以， 则标号为1000的微生物出现在第8天． 2．科克曲线，又称雪花曲线，是科克于1904年构造出来的，雪花曲线的形状如图所示：第一个图形为一个边长为1的等边三角形；取第一个图形每边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第二个图形；取第二个图形的每个边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第三个图形……按上述规则进行下去，记为第n个图形的边长． (1)求； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据第一个，第二个，第三个图形得到边长，再根据规律即可得出通项公式. （2）先表示出数列的通项公式，再由错位相减的求和方法求解即可. 【详解】（1）第一个图形为一个边长为1的等边三角形，则， 又因为取第一个图形每边中间的，向外接边长为其的三角形， 得到第二个图形，则， 同理可得， 所以可以发现所构成图形的边长是首项为1，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 故， 所以 又， 则， 即， 所以 整理. 3．如图所示，用边长为1的正六边形搭“平面塔式图形”，一层塔需要1个正六边形，接下来按每一层塔比它的上一层多一个六边形方式向下进行搭建……，以此类推搭建层塔，记一层塔周长为，二层塔周长为，三层塔周长为层塔周长为，得到数列．    (1)求10层塔图形的周长以及； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据图形，得出一层塔由一个正六边形时，其周长为6；找出规律，得层塔由个正六边形时，其周长以及10层塔图形的周长. （2）由（1）知，表示出的通项公式，并利用求和公式表示出. 【详解】（1）依题意，一层塔由1个正六边形时，其周长为； 当二层塔由3个正六边形拼成时，其周长为; 当三层塔由6个正六边形拼成时，其周长为; 依次类推，当10层塔由55个正六边形拼成时，其周长为. 当层塔由个正六边形拼成时，其周长为. （2）由（1）知 ，. 故， ， 故数列是为首项，为公比的等比数列， 所以. 4．一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次只将其中的一片撕成更小的4片，如此进行下去，问： (1)撕5次，共可得到多少张纸片？ (2)能否将纸片撕成片？说明理由. 【答案】(1)撕5次得到片纸片. (2)可以，理由见解析 【分析】（1）根据题中规律写出通项即可解得. （2）根据已知通项公式将已知值代入，若求出的值为整数则可以. 【详解】（1）由题，第一次撕纸片的片数为片， 第二次撕纸片的片数为片， 第三次撕纸片的片数为片， 根据规律可得，第次撕纸片的片数为片， 则第五次撕纸片的片数为片. （2）由（1）可知第次撕纸片的片数为片， 则，解得， 故能将纸片撕成片. 5．如图所示，将长为5，宽为3的长方形分别沿两条对称轴对折，对折1次得到和两种不同的长方形，它们的面积之和，周长之和；对折2次共得到三种不同的长方形，它们的面积之和，周长之和.以此类推，对折次拱得到种不同的长方形，它们的面积之和为，周长之和为.    (1)写出； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据规律求出第三次对折的面积之和和周长之和即可. （2）根据规律求解数列的通项公式即可. （3）应用错位相减求解前n项和即可. 【详解】（1）， . （2）通项公式： 时：， 时：， 时：， …… ∴. 通项公式： 时：， 时：， 时：， …… . （3） ， ， ①， ②， ①-②， ， . 6．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，（图1）中正方形个数为，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，得到（图2），其中正方形个数为，如此继续，得到一个数列.    (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)若，求第个图形中所有正方形的边长之和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用观察法写出，即可； （2）根据题意，写出数列的通项公式即可； （3）由等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）因为， ，， 所以由观察法可知， . （2）根据（1）中的规律可知，. （3）设第n个图形中所有正方形的边长之和为， . 7．数学上，把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图所示，观察可发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，求：    (1)根据数列1，4，9，16，…的规律，求第5个“正方形数”； (2)将第5个“正方形数”表示为两个相邻的“三角形数”之和； (3)求“三角形数”的通项公式． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形数的规律可求出第5个正方形数. （2）先找出三角形数的数列规律，再求解即可.. （3）根据三角形数的数列的规律来推导通项公式. 【详解】（1）观察数列1，4，9，16，……，可以发现其规律是第个数为，故第5个“正方形数”为25． （2）先找三角形数的规律，数列1，3，6，10，……， ， 故，所以． （3）观察可知， 由题意得 根据累加法得， ． 8．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数． (1)   (2)   (3)   【答案】(1)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 (2)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 (3)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 【分析】（1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式； （2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式； （3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式. 【详解】（1）解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：    （2）解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：    （3）解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：    9．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为. (1)求； (2)写出与的关系； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中图形数出黑点数即可解得. （2）根据第一问的结论找出规律即可解得. （3）根据第二问的结论进行分组求和结合等差数列求和公式即可解得. 【详解】（1）由题意得. （2）由已知得， . （3）， （其中）， 又. 10．已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的项、等比数列的与的关系求得通项公式即可； （2）利用错位相减法得到前n项和，再借助恒成立求解即可； 【详解】（1）等差数列{}中，设公差为d， 则 ， 数列{}中的前n项和为，且①， 当时，， 当时，②， ②－①得：， 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）数列{}中，. 则， 所以， 故， 所以； ∵对恒成立． 当n为奇数时，， 当n为偶数时，. 综上：实数m的取值范围为． 11．在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过已知构造出为等差数列，再由累加法求的通项公式即可. （2）由裂项相消方法求和即可. 【详解】（1）， ，又， 是首项为4，公差为2的等差数列， 且， 则，， 以上个式子累加得： ， ， 当时，满足上式， 的通项公式为：； （2）， ， ， 所以数列的前n项和. 12．已知数列的前n项和为，，..求： (1)，，； (2)及. 【答案】(1)；；； (2)；. 【分析】（1）根据题干中的公式依次求得数列中的项即可得解； （2）利用构造法求得数列的通项公式，再利用分组求和法求得其前项和，从而得解. 【详解】（1）根据，， 可知，，； ，； ，； 故；；； （2）由，代入可得； ，即，即； 又， 所以是一个首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 所以. 13．已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式及其前n项和； (2)设求数列前 n项和. 【答案】(1) ，. (2). 【分析】（1）由递推关系判断数列为等差数列，结合等差数列的通项公式和前项和公式即可得解. （2）先对进行化简,结合裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以是首项，公差的等差数列， 所以，. （2）， 因为，， 所以， . 14．已知数列是公差不为0的等差数列，，． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)设，求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，先求出公差，继而求得数列的通项公式和前n项和； （2）根据题意，结合，利用裂项相消法，即可求得数列的通项公式. 【详解】（1）因为数列是公差不为0的等差数列，，， 所以，即， 整理得，所以， 所以数列的通项公式； 前n项和； （2）由（1）知， 所以， 所以. 即数列的通项公式. 15．已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差中项的定义，结合等差数列的通项公式代入计算即可解得； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算即可解得. 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，又，， 又，则， . （2）原式 . 16．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，先求出的表达式，进而求出； （2）先根据求出的表达式，然后将进行裂项，最后利用裂项相消法求出． 【详解】（1）依题意，①， 当时，②， ①②得， 所以， 因时，，也适合上式， 所以的通项公式为 （2）由（1）知， ∴， ∴． 17．如图所示，正方形的边长为1，现将边长三等分，从中截去一个边长为原正方形边长的小正方形，设剩下的“L”形图形的面积为，以同样的方法，将边长三等分，在正方形中截去一个小正方形，设此次剩下的“L”形图形的面积为，以此类推．求：    (1)、的值； (2)第个“L”形图形的面积． (3)前个“L”形图形的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积以及题意求解即可. （2）根据规律进行求解即可. （3）根据相消法求解即可. 【详解】（1）由题意得，，． （2）根据题意得，，， ∴归纳可知，． （3）根据题意得， ． 18．在数列中，已知，且，. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用所给式子进行变换即可得到，再根据算出，即可得到是首项为1，公比为2的等比数列，从而得到数列的通项公式. （2）根据（1）中数列的通项公式得到数列的通项公式，再利用分组求和和错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以. 因为，所以， 所以，即. 因为， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 . （2）由（1）知，， 所以 . 设①， 则②， ①-②得， 所以 所以. 19．已知数列中，，． (1)求，； (2)证明：为等差数列，并求出的通项公式； (3)求的前n项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）根据递推公式列举即可. （2）等式两边同乘构造，根据等差数列的定义即可求解. （3）利用错位相减可求. 【详解】（1）因为，， 所以，解得； ， 解得． （2）因为，等式两边同乘，有 ， 即， 令，有，即， 所以是以首项，公差为2的等差数列， 通项公式，所以数列为等差数列. 又，则. （3）因为，则      ①，    ②， ①②化简可得： ， ， ， ， ， 所以． 20．已知各项均为正数的数列满足：． (1)写出的值； (2)求数列的通项公式； (3)设求． 【答案】(1)9；16；25；36 (2) (3) 【分析】（）根据递推公式即可求出的值. （）利用累加法结合递推公式求出的表达式，在根据数列各项均为正数即可得解. （）根据的定义，将所求式子按着的奇偶性进行分组，结合等差数列与等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为，则， ， ． （2）当时， ， ， … ， ， ， ． ，． 当时，，符合题意， ． （3）由（）知， 设①． 则②， ①－②得，， ，即. 21．已知为数列的前项和，且为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，试求数列的前项和． 【答案】(1)an=3n—1 (2)= 【分析】（1）利用等差数列的性质化简求解； （2）利用累积法求通项公式，再用裂项法求和. 【详解】（1）由题意可知，成等差数列，得 , ; 同理成等差数列， ， 即，, 因此，数列是以首项为2，公差为的等差数列，有， 当时，, 当是符合题意， 数列的通项公式. （2）因为,所以 , 所以, , , 数列的前项和. 22．在数列中，若，点在直线上． (1)写出，，的值； (2)设，证明数列是等比数列，并写出它的通项； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3)． 【分析】（1）代点入直线方程即可得到数列递推公式，逐项推导即可. （2）待定系数法从递推公式中找到成等比数列的整体即的递推公式进行证明即可. （3）套用等比数列前项和求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 则，，， 即，，． （2）证明：设， 因为，所以． 所以， 而， 则有，， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列， 所以． （3）因为，所以 ． 23．已知等差数列中，， (1)求的通项公式： (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质表示出数列的项联立解得首项和公差，再用等差数列通项公式即可解得； （2）根据第一问得出的通项公式判断等差数列项的正负，由等差数列前项和公式分类讨论即可解得. 【详解】（1）由题，数列为等差数列，且， 则，解得， 故数列通项公式为. （2）由（1）可知， 当时，，当时，， 设数列前项和为， 则， 当时，， 当时， ， 故. 24．定义，已知数列为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列前n项和为，求． 【答案】(1)或 (2)95或5 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用通项公式及已知定义，列方程组可求，据此可求解； （2）根据等差数列的求和公式可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以，即①， 又因为，所以， 整理得②， 由①得，代入②式，整理得， 解得或． 当时，， 故数列的通项公式为； 当时，， 故数列的通项公式为． （2）①当，时，； ②当，时，． 所以的值是95或5． 25．已知数列满足， (1)求这个数列的通项公式及这个数列的第8项的值； (2)问当为何值时，取得最大值，并求最大值. 【答案】(1); (2)或时,最大值为 【分析】（1）根据等差数列的定义易得答案. （2）先求出等差数列前项和易得答案. 【详解】（1）因为, 所以是等差数列, 所以 所以. （2）因为, 所以, 当,因为是正整数,故时, 有最大值,最大值为. 26．设为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1). (2)①.②. 【分析】（）由，得，两式相减结合等差数列的定义即可得解. （）①根据题意求出，求出，，两式相减即可得解. ②根据题意表示出，结合裂项相消即可得解. 【详解】（1）由，得，两式相减得， 即， ,， 又且（舍）或， 则是以3为首项，2为公差的等差数列， 的通项公式为． （2）①由已知可得，则， ，将等式两边同时乘以3得 当时，， ． ②，所以， 所以． 27．已知数列的前项和为，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）先求出，然后当时，化简可得，两边加1可得，从而可证得数列是等比数列； （2）由（1）得，则可得，然后利用裂项相消求和法可求得 【详解】（1）证明：由， 可得，解得， 时，， 可得， 则， 所以数列是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得， 则， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $