第五单元平行四边形和梯形 寒假复习（讲义）-2025-2026学年四年级上册数学人教版

平行四边形和梯形：从关系到性质的认知升级 （人教版四年级上册·寒假复习） 一、直线关系：平行与垂直 同一平面内两条直线的基本关系 关系 定义 符号 记法 平行 在同一平面内永不相交的两条直线 ∥ a∥b 垂直 相交成直角的两条直线 ⊥ a⊥b 垂直的相关术语 · 垂线：互相垂直的两条直线中，任一条可称作另一条的垂线。 · 垂足：两条垂线的交点。 · 垂直是相交的一种特殊情况（交角为90°）。 平行的关键特性 · 平行线间的距离处处相等（可用于检验是否平行）。 · 传递性：若a∥c且b∥c，则a∥b。 · 唯一性：过直线外一点，只能画一条该直线的平行线。 垂直的关键特性 · 过直线上一点，有且仅有一条垂线。 · 过直线外一点，有且仅有一条垂线。 · 垂直线段是从点到直线的最短路径。 二、点到直线的距离 定义 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度。 性质 · 垂直线段是“点到直线”的最短路径。 · 两条平行线之间的所有垂直线段长度相等，即为“平行线间的距离”。 应用提示 · 路径最短：从一点到一条直线，走垂线路径最短。 · 测量标准：跳远、标距等场景常用垂线距离。 三、画垂线与平行线：规范步骤 画垂线（使用三角尺） 1. 靠：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 1. 移：沿直线平移三角尺，使另一条直角边通过目标点。 1. 画：沿另一条直角边画直线。 1. 标：在交点标出直角符号。 画平行线（使用直尺与三角尺） 1. 靠：三角尺的一条直角边与已知直线重合。 1. 固：用直尺紧贴三角尺的另一条直角边并固定。 1. 移：按住直尺，将三角尺沿直尺平移到目标位置。 1. 画：沿三角尺的另一条直角边画直线。 四、平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形。 特征要点 · 对边：两组对边分别平行且相等。 · 对角：对角相等。 · 不稳定性：框架易变形，形状可变但周长不变；高改变时面积随之改变。 底与高 · 底：任选一条边作底。 · 高：从底边或其延长线上一点，向对边或其延长线所作垂线段。 · 性质：同底上的高长相等；从一顶点向对边只能作一条高；高可在形内或形外。 不稳定性的生活应用 · 伸缩门、升降台、活动架、可调节支架等。 五、梯形 定义 只有一组对边平行的四边形。 结构名称 · 上底：平行边中较短者。 · 下底：平行边中较长者。 · 腰：不平行的两条边。 · 高：从上底或其延长线上一点向下底或其延长线所作垂线段。 高的特点 · 高在上、下底之间作垂线；所有高长相等；从一个顶点到对边只能作一条高。 特殊梯形 · 等腰梯形：两腰相等、底角相等、有1条对称轴。 · 直角梯形：有一个直角，相邻两角为直角。 要点提示 · 等腰梯形与直角梯形互不重叠。 六、四边形的分类与关系 包含关系（从特殊到一般） 正方形 → 长方形 → 平行四边形 → 四边形 说明： - 正方形是特殊的长方形（四边相等、四角皆直）。 - 长方形是特殊的平行四边形（四角皆直）。 - 平行四边形是特殊的四边形（对边平行）。 并列关系 · 平行四边形与梯形同为四边形的两大分支，互不包含。 特征对比 图形 对边平行组数 边的特征 角的特征 对称轴数 长方形 2组 对边相等 四角皆直 2条 正方形 2组 四边相等 四角皆直 4条 平行四边形 2组 对边相等 对角相等 0条 等腰梯形 1组 两腰相等 底角相等 1条 一般梯形 1组 腰一般不等 无固定关系 0条 七、画图形的高：规范与标注 一般步骤 1. 选底：明确以哪条边为底。 1. 找点：在对边或其延长线上取一点（常为顶点）。 1. 作垂：从该点向底边或其延长线作垂线段。 1. 标注：使用虚线画高，并在直角处标记直角符号。 注意事项 · 高须为虚线，并标注“高”。 · 必须标出直角符号。 · 高与底严格垂直。 · 平行四边形的高可在形内或形外作图。 · 梯形的高通常作于形内。 八、画指定图形：按规格完成 画长方形（例：长5cm、宽3cm） 1. 画长5cm的线段作为长。 1. 在其两端分别画长3cm的垂线段。 1. 连接两垂线的另一端，形成长方形。 1. 标注长与宽的尺寸。 画平行四边形（例：底6cm、高3cm） 1. 画长6cm的线段作为底。 1. 从一端点作高3cm的垂线段。 1. 从高顶点作与底平行且等长的线段。 1. 连接另一端点，形成平行四边形。 画梯形 1. 按指定长度画上底或下底。 1. 从两端点作等长的垂线段作为高。 1. 过高的另一端点画平行底（上底或下底）并连接对应端点形成腰。 九、图形拼组与分割 拼组 原图形 拼法 新图形 两相同三角形 边对边拼接 平行四边形 两相同梯形 适当拼接 平行四边形 两相同直角梯形 适当拼接 长方形 两相同长方形 沿长或宽拼接 大长方形 两相同正方形 边对边拼接 长方形 分割 原图形 分割方式 分成图形 平行四边形 沿对角线剪开 两三角形 梯形 沿对角线剪开 两三角形 平行四边形 沿边切开 一梯形一三角形 十、本单元重难点 重点 1. 识别平行与垂直，能判断两条直线的关系。 1. 掌握垂线与平行线的画法。 1. 理解平行四边形与梯形的特征及区别。 1. 能规范地画出高。 1. 理解四边形之间的包含与并列关系。 难点 1. 理解“同一平面内”“永不相交”等表述的含义。 1. 准确作出满足条件的垂线与高（避免虚线、符号不规范）。 1. 把握平行四边形与梯形的本质差异（平行边组数）。 1. 规范作图习惯（虚线、直角符号、标注）。 十一、实战演练：重编练习 一、填空（每空2分，共30分） 1. 在同一平面内，永不相交的两条直线叫做（ ）线。 2. 两条直线相交成直角，就说它们互相（ ），其中一条是另一条的（ ）。 3. 从直线外一点到直线的（ ）线段最短，其长度称为（ ）。 4. 平行四边形有（ ）组对边平行，（ ）组对边相等。 5. 梯形只有（ ）组对边平行。 6. 平行四边形有（ ）条高，梯形有（ ）条高。 7. 等腰梯形的两条（ ）相等，直角梯形有（ ）个直角。 8. 长方形与正方形都是特殊的（ ）。 9. 过直线外一点可以画（ ）条该直线的平行线。 10. 在两条平行线间作一条与它们都垂直的线段，其长度称为（ ）。 二、选择（每题3分，共18分） 1. 下面图形中，是平行四边形的是（ ）。 A. 长方形 B. 等腰梯形 C. 三角形 D. 梯形 2. 下列说法正确的是（ ）。 A. 平行四边形只有两组对边平行。 B. 梯形也有两组对边平行。 C. 平行四边形的高只有一条。 D. 梯形的腰可以作底。 3. 下图中有2条对称轴的是（ ）。 A. 长方形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 4. 从直线外一点到这条直线，可以画（ ）条垂线。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数 5. 把长方形框架拉成平行四边形，周长（ ），面积（ ）。 A. 变大、变小 B. 变小、变大 C. 不变、变小 D. 不变、不变 6. 具有不稳定性的图形是（ ）。 A. 三角形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 正方形 三、判断（对的√，错的×，每题2分，共10分） 1. 不相交的两条直线一定是平行线。（ ） 2. 平行四边形有无数条高，同一底上的高长相等。（ ） 3. 梯形的两条腰一定相等。（ ） 4. 长方形是特殊的平行四边形。（ ） 5. 过直线外一点只能画一条该直线的平行线。（ ） 四、操作（22分） 1. 过点A作已知直线的垂线与平行线（6分）。 ( A ) 2. 给下面的平行四边形与梯形画出指定底边上的高（8分）。 ( 底 ) ( 底 ) 3. 画一个长4cm、宽2cm的长方形（4分）。 1. 画一个等腰梯形（4分）。 五、解决问题（1、3题各8分，2题4分，共20分） 1. 两个完全相同的梯形可以拼成什么图形？ 2. 从A点走到河边取水，怎样走最近？请画图说明。 3. 一个长方形长8cm、宽5cm，把它拉成平行四边形，面积有什么变化？说明理由。 十二、参考答案与要点 一、1. 平行 2. 垂直；垂线 3. 垂直；距离 4. 两；两 5. 一 6. 无数；无数 7. 腰；两 8. 平行四边形 9. 一 10. 平行线间的距离 二、1. A 2. A 3. A 4. A 5. C 6. C 三、1. ×（需强调“同一平面内”） 2. √ 3. ×（仅等腰梯形两腰相等） 4. √ 5. √ 四、1. 按垂线与平行线的作图步骤完成；2. 高须为虚线并标直角符号； 3. 按规格画长方形并标注尺寸；4. 按等腰梯形定义画图。 五、1. 平行四边形。 2. 从A点向河边画垂线路径最短；理由：垂直线段最短。 3. 面积变小；原因：平行四边形不稳定性导致高变小，底不变则面积减小。 十三、复习策略小贴士 1. 平行与垂直的核心是“关系”而非“形状”；关键在于是否相交、交角是否为直角，以及是否在同一平面内。 1. 画垂线四步：靠、移、画、标；画平行线四步：靠、固、移、画。 1. 区分平行四边形与梯形的本质：平行边的组数（2组 vs 1组）。 1. 四边形关系：正方形⊂长方形⊂平行四边形；平行四边形与梯形并列于四边形。 1. 画高的规范要点：虚线、直角符号、严格垂直；平行四边形高可在形内外，梯形高在形内。 1. 不稳定性：平行四边形易变形，周长不变、面积改变；应用场景如伸缩门、升降台。 1. 常见误区： · “不相交即平行”（缺“同一平面内”）； · “平行四边形是特殊的长方形”（方向相反）； · 画高不标直角符号； · “梯形也有两组对边平行”。 学科网（北京）股份有限公司 $