专题09 圆锥曲线（B卷·能力提升）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第9个专题，内容为圆锥曲线。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题9 圆锥曲线 （B卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 解答题 1．焦点在轴上，焦距为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，求椭圆的标准方程. 【答案】. 【分析】根据焦点在轴上设出椭圆的标准方程，利用椭圆的性质即可得解. 【详解】因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 焦距为，所以，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 2．根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过点和点. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点确定的值，再由椭圆的定义求出的值，最后由的关系求出即可得出椭圆方程. （2）首先设椭圆方程为，再将点和代入求出即可. （3）首先设椭圆方程，再将点和点代入求出即可. 【详解】（1）由两个焦点的坐标分别为和， 可得焦点在轴上，且， 设椭圆方程为， 由椭圆经过点， 得， 所以，则， 所以椭圆方程为. （2）因为焦点在y轴上，设椭圆方程为， 由椭圆经过两个点和得， ，解得， 所以椭圆方程为. （3）设椭圆方程， 由经过点和点， 得，即， 解得， 所以椭圆方程为. 3．设点、为椭圆的两个焦点，过椭圆的左焦点的一条直线与椭圆相交于两点，求的周长． 【答案】 【分析】分析的周长，将其转化为点到两个焦点距离和，与点到两个焦点距离和，即可得解. 【详解】已知点、为椭圆的两个焦点， 且过椭圆的左焦点的一条直线与椭圆相交于两点， 所以， 由可得，，， 所以， . 4．已知椭圆C与抛物线有一个公共焦点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C的另一个焦点为，过且倾斜角为的直线l交椭圆C于P，Q两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程和椭圆的性质即可解得. （2）设出直线方程与椭圆进行联立，由韦达定理和三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由题，抛物线焦点为， 故，又知长轴长为，即， 则， 故椭圆方程为 （2）由（1）可知，设， 又知过的直线斜率为， 则设直线，即， 联立， 可得， 由韦达定理， ， 故三角形面积为. 5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于，两点，求弦的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设椭圆方程为，椭圆的半焦距为，根据椭圆的离心率公式和a，b，c的关系结合已知条件即可求解. （2）设点、，求出椭圆的右焦点，再求出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 可设椭圆方程为，椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，即，所以，① 因为椭圆过点，所以，② 由①②解得，，所以椭圆的方程为． （2）设、的坐标分别为、， 由椭圆的方程知，，则，所以右焦点， 因为直线的斜率为1且过点，所以直线的方程为， 联立方程为，得，所以，， 所以． 6．（1）方程表示椭圆，求k的取值范围 （2）方程表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的标准方程的特征分析求解即可； （2）根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特征分析求解即可. 【详解】（1）方程， 因为该方程表示椭圆， 所以，解得：且， 所以k的取值范围为. （2）因为程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以a的取值范围是. 7．已知椭圆C1：，求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率； 【答案】答案见解析 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质来求解半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率即可. 【详解】已知椭圆的方程为，因， 所以该椭圆的焦点在轴上，且，可得， 即椭圆的半长轴长为10，半短轴长为8， 根据，因为，所以， 所以焦点坐标为，可得焦点坐标为， 椭圆的离心率. 综上，椭圆的半长轴长为 10 ，半短轴长为 8 ，焦点坐标为，离心率为. 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率； (3)离心率，经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由焦点位置及设出双曲线方程，代点即可求得参数和方程. （2）由焦点位置设方程，由焦距求出，再由离心率求出，根据关系求，即可求得双曲线方程. （3）根据焦点位置情况分类讨论，由离心率及关系得到只含有一个参数的方程，代点求参数即可求出双曲线方程. 【详解】（1）由焦点在x轴上，且可设双曲线方程为：， 代点可得：，则， 故双曲线方程为：. （2）由焦点在y轴上，可设双曲线方程为：， 由焦距是16可得：，则， 且离心率，则，， 故双曲线方程为：. （3）若焦点在y轴上，可设双曲线方程为：， 且，则，， 则双曲线方程为：，代点可得：，解得不成立； 故双曲线焦点在x轴上，且方程为：， 代点可得：，解得， 故双曲线方程为：. 9．求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 【答案】答案见解析 【分析】将双曲线化为标准方程后，求出，再根据双曲线的性质可求解. 【详解】把方程化为标准方程为， 由此可知，半实轴长，半虚轴长； ，焦点坐标是，； 离心率；渐近线方程为. 10．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且，求的面积． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合双曲线的性质即可求解. 【详解】解：因为双曲线的方程为， 则， 所以可得，， 因为，所以， 因为， 所以， 所以的面积为. 11．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的方程为．若该双曲线经过点，求它的标准方程． 【答案】 【分析】设双曲线的标准方程为，根据双曲线的渐近线方程及双曲线经过的点列方程组可求解. 【详解】由于双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， 故设双曲线的标准方程为. 由题意可得 ，解得. 所以该双曲线的标准方程为. 12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点坐标，，右顶点，点为双曲线上一点，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1或5 【分析】（）根据焦点坐标和右顶点坐标得到，再的关系求得，即可得解. （）根据题意结合双曲线的定义即可得解. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标，，则， 右顶点，则， 由，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）由双曲线的定义可知， 即，解得或5（满足）， 综上所述，的值为1或5． 13．求离心率为且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，分焦点在轴和在轴上两种情况讨论即可求解. 【详解】若双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为， 因为点在双曲线上，所以， 又因为，所以，即， 所以，解得，则， 此时双曲线的标准方程为：； 若双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为， 则有，又， 所以，解得，故不存在； 综上所述，双曲线的标准方程为：. 14．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. （3）求焦点在直线上的抛物线的标准方程． 【答案】（1）或；（2）；（3）或 【分析】（1）分类讨论焦点的位置，再根据长轴长和焦距可求a与c的值，即可求解椭圆的标准方程. （2）根据两个双曲线有相同的渐近线可设双曲线方程，再将点代入双曲线方程即可求解. （3）先求出直线与坐标轴的交点，再根据抛物线方程即可求解. 【详解】（1）若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：， 由长轴长知：，； 由焦距知：， ，解得：； 椭圆标准方程为：； 若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：， 同焦点在轴上，可得，， 所以椭圆方程为； 综上，所求椭圆方程为或. （2）所求双曲线与双曲线有共同的渐近线， 可设双曲线标准方程为， 又过点，所以，解得， 所以双曲线方程为，即为. （3）直线中， 令，可得；令，可得； 所以直线与坐标轴的交点为与， 所以当抛物线焦点为时，即焦点位于y轴的正半轴， 即，解得，即； 当抛物线焦点为时，即焦点位于x轴的负半轴， 即，解得，即； 所以抛物线的标准方程为或. 15．已知双曲线经过点，且一条渐近线的方程为，求双曲线的标准方程． 【答案】． 【分析】知道双曲线的一条渐近线，可以写出另一条渐近线．通过已知点与渐近线位置关系的判断，可以知道双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，进而求解. 【详解】由于双曲线的一条渐近线方程为，故另一条渐近线方程为．将分别代入这两个方程，得 ． 由于，故点在两条渐近线的右侧（图）．所以，双曲线的焦点在x轴上．    设双曲线的方程为，依题意有 解得． 故双曲线的标准方程为 ． 16．求虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程. 【答案】或 【分析】根据虚轴长确定的值，再由离心率结合求出的值，写出双曲线的标准方程即可. 【详解】设双曲线的标准方程为， 或， 由虚轴长为，可得， 由离心率为，可知， 设，则由， 可得，解得， 所以，所以双曲线的标准方程为或. 17．已知双曲线C：的右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左焦点，且倾斜角为的直线交该双曲线于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标可得c，由离心率求得，进而得及双曲线的标准方程； （2）求出直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及弦长公式求出结果. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c， ∵双曲线的右焦点为，∴焦点在轴上，且， ∵双曲线的离心率，∴， 则， ∴双曲线C的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线C的左焦点为， 直线的斜率，则直线的方程为， 设点A、B的坐标分别为，， 联立直线与双曲线方程，消去y得，， ∴，，， 则. 18．以抛物线（）的焦点弦为直径的圆与准线切于点， (1)求这个圆的方程； (2)求的面积． 【答案】(1). (2)10. 【分析】（）根据题意求出抛物线的焦点坐标，设所在的直线的斜率为，联立方程组结合韦达定理求出圆心与半径即可得解. （）根据三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）    如图所示，由抛物线的方程知其准线为， 设焦点弦的中点为， 由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点， 可知，解得，所以焦点为， 设所在的直线的斜率为，，，则：， 与抛物线方程联立： ， 由韦达定理，， ，． 将代入可得，解得， 得圆的圆心为，圆的半径为， 故所求圆的方程为． （2）    如图所示， ． 19．在直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. (1)求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程； (2)求抛物线上到焦点的距离等于的点的坐标. 【答案】(1)， (2)和 【分析】（1）设出抛物线方程，由焦点坐标解得，进而确定准线方程； （2）由抛物线的定义列出式子，得到点的横坐标，即可求解点坐标. 【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为， 由焦点知，解得， 则抛物线的标准方程为，准线方程为. （2）设抛物线上到焦点F的距离等于5的点的坐标为， 由抛物线的定义可知点P到焦点F的距离等于P到准线的距离，即， 解得， 将代入抛物线方程得，解得， 即抛物线上到焦点F的距离等于5的点的坐标为和. 20．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，且弦长，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由离心率可得，再根据过点，可得点为短轴顶点，结合即可求解； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）∵焦点在轴上的椭圆的离心率为， ∴，则有，即， ∵椭圆过点，则点为椭圆短轴的一个顶点， 则，即， ∵在椭圆中，则， 解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）由题意设，， 当直线斜率不存在时，可得弦长为椭圆的短轴长，即，不满足题意； ∴过点的直线的斜率显然存在，并设为， 则直线的方程为，即． 联立方程组，代入消元得， 又由韦达定理得，， ，即得． 根据弦长公式得， 即得，解得（舍去）或（符合题意）， 所以，且满足， 因此直线的方程为或．    21．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，且满足，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可. （2）设出直线方程以及点，坐标，联立两方程根据韦达定理以及，表示出点，坐标，再求出直线的斜率即可. 【详解】（1）因为曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2， 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 且，，即，， 故曲线的轨迹方程为. （2）设直线的斜率为，，两点的坐标为，， 则直线的方程为， 联立方程整理得. 因为直线与双曲线有两个交点，所以， 解得. 由根与系数的关系得，. 又，即，可得. 由，得， ，得，即， 解得，故直线的斜率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第9个专题，内容为圆锥曲线。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题9 圆锥曲线 （B卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 解答题 1． 焦点在轴上，焦距为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，求椭圆的标准方程. 2．根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过点和点. 2． 设点、为椭圆的两个焦点，过椭圆的左焦点的一条直线与椭圆相交于两点，求的周长． 4．已知椭圆C与抛物线有一个公共焦点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C的另一个焦点为，过且倾斜角为的直线l交椭圆C于P，Q两点，求的面积． 5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于，两点，求弦的长． 6．（1）方程表示椭圆，求k的取值范围 （2）方程表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围 7． 已知椭圆C1：，求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率； 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率； (3)离心率，经过点． 8． 求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 9． 已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且，求的面积． 10． 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的方程为．若该双曲线经过点，求它的标准方程． 12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点坐标，，右顶点，点为双曲线上一点，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的值． 13． 求离心率为且经过点的双曲线的标准方程. 14．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. （3）求焦点在直线上的抛物线的标准方程． 15.已知双曲线经过点，且一条渐近线的方程为，求双曲线的标准方程． 16． 求虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程. 17．已知双曲线C：的右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左焦点，且倾斜角为的直线交该双曲线于A，B两点，求. 18．以抛物线（）的焦点弦为直径的圆与准线切于点， (1)求这个圆的方程； (2)求的面积． 19．在直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. (1)求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程； (2)求抛物线上到焦点的距离等于的点的坐标. 20．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，且弦长，求直线的方程． 21．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，且满足，求直线的斜率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $