专题09 圆锥曲线（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第9个专题，内容为圆锥曲线。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题09 圆锥曲线 一、课标解读 1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程； 2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率； 3.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程； 4.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；了解等轴双曲线的概念和特点； 5.理解抛物线的定义和标准方程，能够根据条件写出抛物线的标准方程； 6.了解抛物线的性质：范围、对称性、顶点、离心率． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 19 圆锥曲线 10 （1）题型：一个解答题. （2）分值：10分. （3）内容：圆锥曲线 2024 解答题 20 圆锥曲线 10 2023 解答题 20 圆锥曲线 10 2022 解答题 20 圆锥曲线 10 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查圆锥曲线，题型为解答题。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 圆锥曲线 四、知识梳理 （1） 椭圆的标准方程和几何性质 1.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1 a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 2.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ__>__0 相切 一解 Δ__＝__0 相离 无解 Δ__<__0 （2） 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1(－a,0， A2(a,0 顶点坐标： A1(0，－a， A2(0，a 渐近线 y＝__±x__ y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为x2－y2＝±a2 （3） 抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝__1__ 准线 方程 __x＝－__ __x＝__ __y＝－__ __y＝__ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝__x0＋__ |PF|＝_－x0＋__ |PF|＝__y0＋__ |PF|＝_－y0＋__ 五、10分钟小测验 1．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 2．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 3．抛物线的焦点坐标及准线方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 5．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知点M到抛物线的焦点F的距离为5，则点M到该抛物线准线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．椭圆上的一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长是（   ） A．10 B．13 C．16 D．19 8．斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 9．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 10．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 2．B 【分析】根据椭圆的定义求解即可； 【详解】因为椭圆可知，， 所以由椭圆的定义可知，椭圆上一点到两焦点的距离的和为， 因为点P到一个焦点的距离为3， 则点P到另一个焦点的距离为． 故选：B 3．A 【分析】根据抛物线方程求出的值，即可求解焦点坐标和准线方程. 【详解】因为抛物线方程为， 所以，，焦点在轴的正半轴上， 则焦点为，准线方程为． 故选：A. 4．C 【分析】将双曲线方程化为标准方程后，求出，据此可得解. 【详解】双曲线方程可变形为， 所以，，从而实轴长. 故选：C 5．B 【分析】由双曲线的标准方程和渐近线方程即可得解. 【详解】对于双曲线（）， 其渐近线方程的公式为， 双曲线 1中，， 因为，所以， 将代入渐近线方程公式， 可得渐近线方程为. 故选：B. 6．D 【分析】利用抛物线的定义可求. 【详解】点M到抛物线的焦点F的距离为5， 由抛物线定义可知，点M到该抛物线准线的距离也为5. 故选： D. 7．C 【分析】先判断点在椭圆上，再将三角形的周长转化成易得答案. 【详解】因为， 所以点在椭圆上， 因为椭圆， 所以， 所以， 所以与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为. 故选：C. 8．C 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 9．D 【分析】由椭圆方程可知长半轴长a和短半轴长b，从而可求出焦距. 【详解】由椭圆方程可知， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故选：D. 10．B 【分析】先将抛物线化简为标准方程得到焦点在轴上和，再利用准线的求法得到准线方程. 【详解】抛物线，化为，可得， 抛物线的准线方程为. 故选：B. 六、经典例题解析 圆锥曲线 【例1】（2020·湖南对口升学高考）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、韦达定理在抛物线中的应用、向量垂直的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【详解】（1）∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. （2）设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. （2）设. 所以. 联立方程得. 所以. 所以 所以. 【例3】（2022·湖南对口升学高考）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 【例4】（2023·湖南对口升学高考）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. （2）当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 .    【例5】（2024·湖南对口升学高考）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2）直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 【例6】（2025·湖南对口升学高考）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.55 【知识点】已知两点求斜率、线段中点的坐标、根据离心率求椭圆的标准方程、韦达定理在椭圆中的应用 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1. “定义优先”原则 看到“椭圆”，立即想到  看到“双曲线”，立即想到 看到“抛物线”，立即想到|PF| =P到定直线l的距离 2. “弦长问题”通法 已知直线与圆锥曲线交于： 弦长公式： 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义限制 已知动点P到 F1(-4,0), F2(4,0)的距离之差为 6，求轨迹。误得 未准确理解双曲线定义 轨迹应是双曲线的一支 焦点位置不清 将椭圆的焦点写成 和 没看清方程结构，默认 项分母大 标准方程谁的分母大，焦点就在谁的轴上 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 定义导向：引导学生遇到问题先回归定义，从几何角度思考。 计算能力：训练“联立-韦达-弦长/面积”这一套标准流程的熟练度和准确度。 分类讨论：特别是含参数直线与双曲线、抛物线的位置关系讨论。 2. 真题演练方向： 题型1：利用定义求标准方程。 题型2：求离心率。 题型3：求双曲线渐近线。 题型4：已知曲线的性质求参数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $