重难03 电磁感应与能量动量的综合应用（重难专练）（山东专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难03 电磁感应与能量动量的综合应用 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 电磁感应中的单棒模型【重难】 考向02 电磁感应中的含容单棒模型【重难】 考向03 电磁感应中的双棒模型【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 电磁感应与能量动量的综合应用是高考物理中的高频核心考点，常以压轴题或综合大题形式出现，难度大、综合性强。该题型贯穿电磁学与力学，是检验学生建模能力、能量观念与动量思想的重要载体。该题型是电磁感应与动力学、能量、动量知识的交汇点，体现了物理学科的系统性与综合性，是培养学生分析复杂物理过程、构建物理模型的关键环节。 命题形式与方法：常见命题包括单棒切割、含容单棒、双棒相互作用等模型。考查方法主要涉及：法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的综合；能量转化与守恒的分析；动量定理与动量守恒在电磁情境中的应用；图像分析与临界状态判断。 学生常见错误：(1)感应电动势方向与大小判断错误；(2)能量转化过程分析不全，忽略焦耳热、动能变化等；(3)动量守恒条件误判，尤其是外力与系统内力混淆；(4)对含容电路、双棒耦合等复杂模型过程分析不清。 考向01 电磁感应中的单棒模型 【例1-1】（2025·湖南·高考真题）（多选）如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m，单位长度的电阻为。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度，金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向 B．金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动 C．金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为 D．若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半 【例1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选）如图（a）所示，左侧接有阻值为的水平光滑固定导轨，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为，导轨间距为。一质量为的金属棒在水平恒定拉力作用下，从处由静止开始沿导轨向右运动，通过电阻的电荷量与时间的关系如图（b）所示，图像中时刻之前图线为曲线，时刻之后图线为直线。忽略金属棒与导轨的电阻，下列说法正确的是（　　） A．金属棒在时刻的速度为 B．0时间内，金属棒的位移为 C．0时间内，通过电阻的电荷量为 D．0时间内，电阻上产生的焦耳热为 模型 过程分析 规律 阻尼式 （导轨光滑，电阻为R，导体棒电阻为r） 设运动过程中某时刻的速度为v，加速度为a，，a、v反向，导体棒做减速运动，v↓⇒a↓，当a＝0时，v＝0，导体棒做加速度减小的减速运动，最终静止 1.力学关系：； 2.能量关系： 3.动量电量关系：； 电动式 （导轨光滑，电阻为R，导体棒电阻不计，电源电动势为E内阻为r） 开关S闭合瞬间，ab棒受到的安培力 ，此时，速度v↑ ⇒E反BLv↑⇒ ⇒FA＝BIL↓⇒加速度a↓， 当E反＝E时，v最大， 且 1.力学关系：； 2.动量关系： 3.能量关系： 4.两个极值： (1)最大加速度：当v=0时，E反=0， (2)最大速度：当E反＝E时， 发电式 (导轨光滑，电阻为R，导体棒电阻为r，F为恒力) 设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为， 随v的增加，a减小， 当a＝0时，v最大。 1.力学关系： 2.动量关系： 3.能量关系： 4.两个极值： （1）最大加速度：当v=0时，。 （2）最大速度：当a=0时， 【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选）如图所示，倾角、间距的足够长平行导轨固定在绝缘水平面上，导轨的顶端用导线与阻值的定值电阻相连，质量、长度也为L、阻值的导体棒垂直导轨放置，整个空间有垂直导轨向上、磁感应强度大小的匀强磁场。时刻，该导体棒以大小的初速度沿导轨向上运动，滑行时速度减为零，然后再沿导轨下滑。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，忽略导轨与导线的电阻，重力加速度g取，，，下列说法正确的是（　　） A．时，导体棒的加速度大小为 B．导体棒上滑的时间为 C．导体棒上滑过程中，定值电阻产生的焦耳热为3.6J D．导体棒沿导轨下滑时，稳定时的速度大小为2.5m/s 【变式1-2】（2024·江西上饶·模拟预测）（多选）如图，两根间距为L=1m的金属导轨固定在水平面内，其一端接有电动势E=6V，内阻r=1Ω的电源，在导轨上垂直放置一根质量m=1kg，电阻R=1Ω的金属棒并与导轨良好接触，整个装置放在磁感强度B=2T，方向垂直导轨向下的匀强磁场中。已知金属棒与导轨间的摩擦阻力恒为f=2N，从闭合开关到金属棒达到稳定运动的过程中通过棒的电量q=3C，不计导轨电阻。下面说法正确的是（　　） A．金属杆做匀加速直线运动 B．金属棒稳定运动的速度为2m/s C．从开关闭合到刚好开始稳定运动所用时间为2s D．从开关闭合到刚好开始稳定运动这个过程中金属棒产生的焦耳热为5J 考向02 电磁感应中的含容单棒模型 【例2-1】（2025·辽宁盘锦·三模）（多选）如图所示，水平放置的平行光滑导轨间接有电阻R、电容为C的电容器和一个单刀双掷开关。两导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小为B。一质量为m、接入电路中的电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置。现将开关拨至位置1，金属棒ab在水平恒力F的作用下由静止开始向右运动，当金属棒ab的速度达到最大时，开关拨至位置2，并撤去外力F，金属棒ab继续运动直至达到稳定状态。不计导轨电阻，下列说法正确的是（　　） A．金属棒的最大速度是 B．开关拨至位置2后，金属棒稳定后的速度 C．电容器中储存的电荷量 D．开关拨至位置2后，导体棒运动的距离 【例2-2】（2025·陕西·模拟预测）（多选）某电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距为l，倾角为，导轨上端串接一个阻值为的电阻，下端接有电容为C的电容器。在导轨间长为d的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m的金属棒CD水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH相连，金属棒向上运动时，闭合，断开，向下运动时，断开，闭合。CD棒的初始位置在磁场下方某位置处，一位健身者用大小为的恒力拉动GH杆，CD运动过程中始终保持与导轨垂直，进入磁场时恰好匀速上升，不计其它电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量，重力加速度为g，下列选项分析正确的是（　　） A．CD棒进入磁场时电流方向从C到D B．CD棒进入磁场时的速度大小为 C．若CD棒进入磁场处时，撤去拉力F，恰好能减速运动到磁场上边界，减速向上运动的时间为 D．若CD棒从磁场上边界由静止下滑，此时电容器电量为零，下滑过程中，拉力始终为零，则CD棒出磁场时的速度大小为 模型 过程分析 规律 放电式 (先接1后接2,导轨光滑) 电容器充电后，电键接2后放电，导体棒向右移动，切割磁感线，产生反电动势，当电容器电压等于Blvm时，导体棒以最大速度匀速运动。 1.电容器充电量： 2.放电结束时电量： 3.电容器放电电量： 4.动量关系：； 5.功能关系： 无外力充电式 （导轨光滑） 充电电流减小，安培力减小，a减小，当a＝0时，导体棒匀速直线运动 达到最终速度时： 1.电容器两端电压：（v为最终速度） 2.电容器电量： 3.动量关系：； 有外力充电式 （所有电阻不计， 导轨光滑） 电容器持续充， 得I恒定，a恒定，导体棒做匀加速直线运动 1.力学关系： 2.电流大小： 3.加速度大小： 【变式2-1】（2025·山西太原·二模）（多选）如图所示，间距为的两根光滑且足够长平行金属导轨竖直固定放置，导轨下端接有电容为的电容器。导轨内部区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为。质量为、长度为的金属棒在外力作用下以竖直向上做匀速直线运动，运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为，所有电阻均不计，电容C足够大。当与下端距离为，突然撤去外力并开始计时，下列说法正确的是（　　） A．从该位置开始，一直做匀变速直线运动 B．从该位置开始，中电流的方向始终为由a指向b C．向上运动的最长时间为 D．电容器上所带电荷量的最大值为 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）（多选）我国新一代航母阻拦系统将采用电磁阻拦技术，基本原理如图所示，飞机着舰时关闭动力系统，利用尾钩钩住绝缘阻拦索并拉动轨道上的一根金属棒ab，导轨间距为L，飞机和金属棒总质量为m，金属棒电阻为r，飞机着舰后与金属棒以共同速度进入磁场，轨道两端并接有阻值为R的电阻和电容为C的超级电容器，如图所示，开始时闭合，断开，不计其它电阻和阻拦索的质量。轨道内有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，当金属棒的加速度为零时，自动断开且闭合，金属棒最终与飞机一起停下，不计一切摩擦，则（    ） A．最终电容器所带电量为 B．通过电阻R的电量为 C．金属棒运动的总距离为 D．电阻R上产生的热量为 考向03 电磁感应中的双棒模型 【例3-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）如图所示，绝缘水平面内固定着两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为，空间内存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，长度均为的两导体棒、垂直导轨放置，导体棒的质量为、电阻为，导体棒的质量为、电阻为。现将导体棒锁定，对导体棒施加方向水平向右、大小恒为的拉力，使其由静止开始运动，经过时间，导体棒的加速度刚好减小到0，此时撤去拉力同时导体棒解除锁定。已知两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．撤去拉力前的瞬间，导体棒的速度大小为 B．导体棒在拉力的作用下，运动的距离为 C．解除导体棒锁定后的瞬间，其加速度大小为 D．从撤去拉力到导体棒速度达到稳定的过程中，经过导体棒的电荷量为 【例3-2】（2025·湖南长沙·三模）（多选）如图，足够长的光滑平行导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，图中OO′左侧是电阻不计的金属导轨，OO′右侧是绝缘轨道。金属导轨部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B；OO′右侧以O为原点，沿导轨方向建立x轴，OO′右侧存在分布规律为B=B0+kx（k>0）的竖直向下的磁场（图中未标出）。一质量为m、阻值为R、三边长度均为L的U形金属框，左端紧靠OO′平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）处于静止状态。长为2L、质量为2m、接入电路中的阻值为R的导体棒a处在间距为2L的金属导轨上，长为L、质量为m、接入电路中的阻值为R的导体棒b处在间距为L的金属导轨上。现同时给导体棒a、b大小相同的水平向右的初速度v0，当导体棒b运动至OO′时，导体棒a中已无电流。导体棒b与U形金属框碰撞后连接在一起构成回路，导体棒a、b、金属框与导轨始终接触良好，导体棒a被立柱挡住没有进入右侧轨道。下列说法正确的是（　　） A．导体棒a、b获得相同的水平向右的初速度v0后，导体棒a做匀减速运动 B．导体棒b运动至OO′时的速度大小为 C．导体棒b运动至OO′前，导体棒a和导体棒b构成的回路产生的热量为 D．导体棒b与U形金属框碰撞后至停止的过程中，通过导体棒b截面的电荷量为 1.等间距双棒模型 模型 过程分析 规律 无外力等距式 （导轨光滑） 棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，以相同的速度匀速运动.对系统动量守恒，对其中某棒适用动量定理。 1.电流大小： 2.稳定条件：两棒达到共同速度 3.动量关系： 4.能量关系：； 有外力等距式 （导轨光滑） a2减小，a1增大，当a2＝a1时二者一起匀加速运动，存在稳定的速度差 1.电流大小： 2.力学关系：；。（任意时刻两棒加速度） 3.稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 4.稳定时的物理关系： ；；； 2.不等间距双棒模型 模型 过程分析 规律 无外力不等距式 （导轨光滑） 棒1做变减速运动，棒2做变加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，两棒以不同的速度做匀速运动，所围的面积不变.v1L1＝v2L2 1.动量关系：； 2.稳定条件： 3.最终速度：； 4.能量关系： 5.电量关系： 【变式3-1】（2025·河南·三模）（多选）如图所示，水平面上有两条相距为l的足够长的固定光滑平行金属导轨，垂直于导轨的两虚线间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场内导轨上相隔一定距离垂直导轨放置长度均为l的导体棒a和b。现让导体棒a、b以相同的速率同时沿导轨相向运动，导体棒b出磁场前加速度已经为0，导体棒a出磁场时速度为，a、b棒的质量分别为2m、m，电阻均为R。导轨电阻不计且导体棒与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．导体棒b出磁场时的速度大小为 B．整个过程流过导体棒b的电荷量为 C．整个过程系统产生的焦耳热为 D．整个过程两棒的最近距离为 【变式3-2】（2025·广东广州·模拟预测）（多选）将一足够长光滑平行金属导轨固定于水平面内（如图），已知左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为，导轨足够长且电阻可忽略不计.左侧导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，右侧导轨间存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场.在时刻，长为L、电阻为r、质量为m的匀质金属棒静止在左侧导轨右端，长为、质量为的匀质金属棒从右侧导轨左端以大小为的初速度水平向右运动。一段时间后，流经棒的电流为0，此时。已知金属棒由相同材料制成，在运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计电流的磁效应，则（　　） A．时刻流经棒的电流为 B．时刻棒的速度大小为 C．时间内，回路磁通量的变化率逐渐增大 D．时间内，棒产生的焦耳热为 1．（25-26高三上·江西·期中）（多选）如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为。金属棒、垂直导轨放置，电阻均为，质量分别为和。虚线右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒、分别以初速度和同时沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从棒进入磁场区域开始，其电流随时间变化的图像如图乙所示，则（　　） A．、棒的初速度满足 B．棒即将进入磁场时，棒在磁场中移动的距离为 C．两棒最终的间隔距离为 D．两棒最终的间隔距离为 2．（2025·湖南·一模）（多选）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定的平行且足够长的光滑金属导轨，AB、CD相距2L且与水平面的夹角为，EI、GH相距L水平放置，导轨之间都有大小为B、垂直向下的匀强磁场。质量均为m，长度分别为2L、L的金属棒MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ的电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。现MN从静止释放，在稳定之前还没到底部，则（　　） A．若PQ固定，MN的最大速度为 B．若PQ固定，则最终PQ两端的电压为 C．若PQ不固定，则最终PQ的速度是MN的两倍 D．若PQ不固定，则最终PQ的加速度是MN的两倍 3．（2025·浙江·高考真题）如图所示，某兴趣小组设计了一新型两级水平电磁弹射系统。第一级由间距为l的水平金属导轨、可在导轨上滑行的导电动子、输出电压恒为U的电源和开关S组成，由此构成的回路总电阻为；第二级由固定在动子上间距也为l的导电“”形滑杆、锁定在滑杆上可导电的模型飞机组成，由此构成的回路总电阻为。另外在第二级回路内固定一超导线圈，它与第一、第二两级回路三者彼此绝缘。导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。接通开关S，动子从静止开始运动，所受阻力与其速度成正比，比例系数为k。当动子运动距离为时（可视为已匀速），立即断开S，在极短时间内实现下列操作：首先让超导线圈通上大电流，产生竖直方向的强磁场，在第二级回路中产生磁通量；再让超导线圈断开，磁场快速消失，同时解锁飞机，对飞机实施第二次加速，飞机起飞。已知动子及安装其上所有装备的总质量为M，其中飞机质量为m，在运动过程中，动子始终与导轨保持良好接触，忽略导轨电阻。 (1)求动子在接通S瞬间受力的大小； (2)求第一级弹射过程中动子能达到的最大速度； (3)求第一级弹射过程中电源输出的总能量W； (4)判断超导线圈中电流方向（俯视），并求飞机起飞时的速度大小。 4．（2025·安徽·高考真题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 5．（2025·四川·高考真题）如图所示，长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上，两者平行且相距l，M、P连线垂直于导轨，定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r，M、P间连接一阻值为的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。零时刻，金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度大小为g。 (1)金属杆在导轨上运动时，回路的感应电动势； (2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时，回路的热功率； (3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。 6．（2025·甘肃·高考真题）在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 (1)求初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向； (2)系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为和，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； (3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 7．（2025·陕西·二模）如图所示，两足够长平行导轨倾斜固定在水平面上，倾角为，两导轨之间的距离为，导轨顶端用导线连接一阻值为的定值电阻，长为、质量为、阻值为的导体棒垂直导轨放置，水平虚线下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。现将导体棒从虚线上侧处静止释放，导体棒越过虚线后经的时间刚好匀速。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度g取，。忽略导轨和导线的电阻。求： (1)导体棒刚越过虚线时的加速度大小； (2)导体棒在磁场中达到的最大速度； (3)导体棒从越过虚线到刚好匀速的过程中，定值电阻上产生的焦耳热。 8．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，足够长的粗糙平行金属导轨水平固定，导轨间距为，整个导轨处于竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。一质量为、电阻为、长度也为的细直金属棒置于导轨上，导轨左侧与一电动势为、内阻为的电源相连，导轨电阻不计。接通电源后，金属棒由静止开始运动，整个运动过程中，金属棒始终与导轨垂直并接触良好，且金属棒所受阻力大小恒为。 (1)求整个运动过程中，金属棒的最大加速度和最大速度。 (2)从刚开始运动开始计时，求经过时间，当金属棒的位移为时，金属棒的速度大小。 9．（2026·海南·一模）如图所示，在水平地面上固定有相互平行且足够长的金属导轨EG、FH与PG、QH，间距为d，在GH处用一小段绝缘材料相连，EF之间接电容为C的电容器，FH之间接有阻值为R的电阻，开关S接法如图所示，PQ之间接有阻值也为R的定值电阻，EFHG和MNQP区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场。质量均为m、电阻均为r、长度均为d的金属棒a、b静止在导轨上，和导轨接触良好，金属棒a离GH足够远，金属棒b在GH与MN之间，不计导轨的电阻和一切摩擦，闭合开关S，用平行于EG向左的恒力F作用在金属棒a上。 (1)求出金属棒a从GH处离开时的速度大小v； (2)若在金属棒a速度为0.5v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒a匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功W（用v表示）； (3)在金属棒a以速度v离开GH瞬间，撤掉外力，金属棒a和金属棒b发生碰撞并粘连在一起进入MNQP区域，求金属棒ab在MNQP区域向左运动的最大距离。 10．（2026·河南·一模）如图，一半径为r=0.5m的水平固定金属圆环内存在竖直向上的磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场，长为0.5m的金属棒ab可绕着圆环圆心转动。从圆环边缘和圆心所在竖直轴OO1用细导线连接足够长的水平固定平行金属导轨P、Q，两导轨间存在垂直导轨平面向上的磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场，在两导轨间接有电容为C=0.06F的电容器。质量m=0.1 kg的金属棒cd垂直放在导轨上处于静止状态，导轨的宽度和金属棒cd的长度均为l=1m，金属棒cd与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5，金属棒cd的电阻R1=1Ω，金属棒ab的电阻R2=1Ω，其余电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.开关S1、S2、S3均断开，金属棒ab始终以恒定的角速度ω=10rad/s逆时针（俯视）转动。现闭合开关S1、S2，断开开关S3，求： (1)电容器的最大电荷量； (2)当电容器电荷量达到最大值后，立即断开开关S2，闭合开关S1、S3，此后经t1=0.08 s金属棒cd达到最大速度，求金属棒cd的最大速度。 11．（2026·湖南·一模）如图所示，间距均为的两段足够长平行光滑金属导轨、均固定在水平面上，光滑绝缘件将两段导轨相连，导轨左右两端分别与电容为的电容器和阻值为的电阻相连接，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，开始时电容器上极板带正电，电荷量大小为。现将质量为、长为、电阻为的导体棒在内某位置垂直于导轨由静止释放，导体棒在到达绝缘件之前已经做匀速直线运动，导轨电阻忽略不计，导体棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。 (1)求导体棒在释放瞬间加速度的大小； (2)求导体棒穿过光滑绝缘件时的速度大小； (3)求导体棒最终静止时距连接处的距离。 12．（2025·河北·一模）匝数n=10的圆形线圈处在方向竖直向上、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场中，与水平金属导轨相连。水平导轨、部分光滑，、部分粗糙，连接导轨的、部分为光滑绝缘体。区域内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场，区域内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场，导轨间距均为L=0.5m。在导轨末端间接有电阻R。在与间静止放置一导体棒a，在与之间静止放置另一相同的导体棒b。已知，a、b棒质量均为m=0.5kg，长度均为0.5m，两棒电阻均为r=1Ω，电阻R的阻值为0.5Ω，取重力加速度大小导体棒与粗糙导轨之间的动摩擦因数μ=0.2，不计其他电阻，a、b棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知圆形线圈中产生的感应电动势为3V。 (1)求圆形线圈的面积S。 (2)闭合开关，导体棒a开始向右运动，在未离开磁场B₂ 时速度已达到最大，求导体棒a的最大速度和该过程通过导体棒a的电荷量q。 (3)导体棒a离开磁场后与导体棒b发生碰撞并粘在一起，两棒立即通过进入磁场，之后经过时间t=1.0s后停止，求导体棒在磁场中运动的位移x和此过程电阻R产生的焦耳热Q。 13．（2025·浙江·一模）如图所示，水平面内两根足够长的光滑金属导轨相距，左侧分别接入内阻不计、电动势的电源和电容的电容器（初始不带电）。质量、长度略长于、电阻的导体棒静置于导轨上，且导体棒始终与导轨垂直。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。不计导轨电阻以及回路自感，开关1、2断开。 (1)仅闭合1，求稳定后电容器所带电荷量； (2)先闭合1，稳定后断开1，再闭合2，求导体棒最终的速度； (3)若同时闭合1、2，求导体棒从开始运动到速度恒定的过程中电源输出的电能； (4)仅闭合2，给导体棒一个向右的初速度的同时，对导体棒施加向右的外力，恰好使回路中电流恒定且导体棒做匀加速运动，求加速度的大小。 14．（2025·山西·模拟预测）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角，两导轨间距，导轨电阻不计。导轨所在空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两金属杆、垂直置于导轨上并与导轨良好接触，质量分别为、，电阻均为。初始时刻两金属杆相距，金属杆沿导轨向上运动的初速度大小为，金属杆初速度为0且始终受到沿导轨向上的恒力作用。已知当时两杆相距最近，重力加速度为。 (1)求两金属杆相距最近时共同的速度大小； (2)求内通过杆的电荷量； (3)求内杆上产生的焦耳热。 15．（2025·河北·模拟预测）如图所示，导体棒P、Q的质量均为m＝1.8kg、电阻均为R＝1Ω，平行光滑的金属导轨由倾斜和水平两部分组成，两导轨由两小段光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连，倾斜部分由倾角为、间距L＝1m的导轨ab、fg构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gh段间距为L，de、ij段间距为2L，a、f之间接有阻值为R＝1Ω的定值电阻。水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T，倾斜导轨处于垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为3B（两处磁场方向在图中均未画出）。导体棒Q静止于de、ij段，导体棒P从倾斜导轨上某处由静止释放，到达bg前速度已达到最大。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，g取，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求： (1)导体棒P到达bg时的动能； (2)两导体棒在水平导轨上运动达到稳定后P、Q的速度大小； (3)整个运动过程中，若导体棒P上产生的焦耳热是导体棒Q的两倍，求导体棒P释放的位置到bg的距离。 16．（2025·浙江·一模）如图所示，某兴趣小组设计了一种水平电磁弹射系统。该系统由输出电流恒为的电源、间距为的水平金属导轨、可在导轨上滑行的“H”型导电动子（动子由两根电阻为的金属杆和一根绝缘横档组成，其上固定了模型飞机）及开关组成。导轨间区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。接通开关，动子杆在磁场中贴紧边从静止开始运动，所受阻力与其速度成正比，比例系数为。动子运动距离为（已知）时，动子开始匀速运动；当时，动子杆到达瞬间，安装在“H”上的飞机被弹射系统以相对于“H”2倍的速度弹出，同时断开，磁场的磁感应强度被控制为∶。当时，棒恰好停在。已知动子质量为，飞机质量为，在运动过程中，动子始终与导轨保持良好接触，忽略导轨电阻。求∶ (1)S接通瞬间，动子所受安培力； (2)飞机弹射出去前，动子的最大速度； (3)飞机弹射出去前瞬间恒流源提供的电压； (4)飞机弹射出去后，动子所受合外力的冲量及通过杆的电量。 17．（2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，AB、CD是固定在水平桌面上，相距的光滑平行金属导轨（足够长），导轨间存在着竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场。AC间串接一阻值的定值电阻，质量分别为，的两导体棒a、b垂直导轨放置，其长度比导轨间距略大，其中a棒阻值，b棒为超导材料。以a棒初始所在位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立x轴（x轴平行于两金属导轨），b棒初始所在位置坐标。在两导轨间x轴坐标处存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞会瞬间等速率回弹。现锁定b棒，闭合电键S，a棒在水平向右的恒力F作用下，以的速度向右匀速运动，当a棒即将与b棒碰撞前瞬间，b棒的锁定被解除，且同时撤去外力F。已知a、b两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻、接触电阻不计。求： (1)恒力F的大小； (2)若a、b两棒相碰后即粘合在一起，两棒最终静止时的x轴坐标？ (3)由于环境温度上升，导体棒b的超导属性消失，电阻变为，将恒力F变为，使a棒仍以的速度向右匀速运动。在碰撞前一瞬间，将开关S断开并给b棒一个向左的初速度2m/s，a棒与b棒发生弹性碰撞，则最终a、b两棒的速度大小各为多少？从a、b两棒发生弹性碰撞至最终稳定的过程中，导体棒b上产生的焦耳热？ 18．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，间距d=1m的平行光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上，水平导轨足够长，整个空间存在垂直导轨竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2T，长度均为d=1m的人工智能金属棒a、b。其电学属性可以自由切换，质量分别为、，初始时a、b均静止，电容为C=0.25F的电容器未充电。现对a棒施加垂直于棒的水平外力F=6N。不计导轨电阻。 (1)开关K处于断开状态时，若金属棒a、b电阻分别为、，求最终电流稳定时两棒的速度差为多大？ (2)开关K一直处于闭合状态时，若将b棒的电阻切换为很大（可认为它与导轨间始终处于绝缘状态而静止不动），a棒电阻仍为，a棒在F=6N作用下做匀加速运动，求其加速度大小？ (3)开关K一直处于断开状态时，若将a棒的电阻切换为零；b棒切换为直流电阻为零的纯电感状态，其自感系数L=2H，将b棒锁定不动。a棒在F=6N作用下开始运动，已知b棒产生的自感电动势大小为。求a棒的最大动能。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难03 电磁感应与能量动量的综合应用 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 电磁感应中的单棒模型【重难】 考向02 电磁感应中的含容单棒模型【重难】 考向03 电磁感应中的双棒模型【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 电磁感应与能量动量的综合应用是高考物理中的高频核心考点，常以压轴题或综合大题形式出现，难度大、综合性强。该题型贯穿电磁学与力学，是检验学生建模能力、能量观念与动量思想的重要载体。该题型是电磁感应与动力学、能量、动量知识的交汇点，体现了物理学科的系统性与综合性，是培养学生分析复杂物理过程、构建物理模型的关键环节。 命题形式与方法：常见命题包括单棒切割、含容单棒、双棒相互作用等模型。考查方法主要涉及：法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的综合；能量转化与守恒的分析；动量定理与动量守恒在电磁情境中的应用；图像分析与临界状态判断。 学生常见错误：(1)感应电动势方向与大小判断错误；(2)能量转化过程分析不全，忽略焦耳热、动能变化等；(3)动量守恒条件误判，尤其是外力与系统内力混淆；(4)对含容电路、双棒耦合等复杂模型过程分析不清。 考向01 电磁感应中的单棒模型 【例1-1】（2025·湖南·高考真题）（多选）如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m，单位长度的电阻为。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度，金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向 B．金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动 C．金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为 D．若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半 【答案】AC 【详解】A．根据右手定则可知金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向，故A正确； B．若金属杆可以在沿x轴正方向的恒力F作用下做匀速直线运动，可知， 可得 由于金属杆运动过程中接入导轨中的长度L在变化，故F在变化，故B错误； C．取一微小时间内，设此时金属杆接入导轨中的长度为，根据动量定理有 同时有联立得对从开始到金属杆停止运动时整个过程累积可得解得此时金属杆与导轨围成的面积为故C正确； D．若金属杆的初速度减半，根据前面分析可知当金属杆停止运动时金属杆与导轨围成的面积为，根据抛物线的图像规律可知此时金属杆停止运动时经过的距离大于原来的一半，故D错误。故选AC。 【例1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选）如图（a）所示，左侧接有阻值为的水平光滑固定导轨，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为，导轨间距为。一质量为的金属棒在水平恒定拉力作用下，从处由静止开始沿导轨向右运动，通过电阻的电荷量与时间的关系如图（b）所示，图像中时刻之前图线为曲线，时刻之后图线为直线。忽略金属棒与导轨的电阻，下列说法正确的是（　　） A．金属棒在时刻的速度为 B．0时间内，金属棒的位移为 C．0时间内，通过电阻的电荷量为 D．0时间内，电阻上产生的焦耳热为 【答案】AD 【详解】A．金属棒在t1时刻已经达到最大速度，金属棒做匀速运动，电动势为受到的安培力为根据平衡条件，有解得，故A正确； B．0到时间内，金属棒发生的位移为，由动量定理可得联立解得，故B错误； C．0到时间内，通过电阻的电量为，故C错误； D．根据功能关系，有可得焦耳热，故D正确。故选AD。 模型 过程分析 规律 阻尼式 （导轨光滑，电阻为R，导体棒电阻为r） 设运动过程中某时刻的速度为v，加速度为a，，a、v反向，导体棒做减速运动，v↓⇒a↓，当a＝0时，v＝0，导体棒做加速度减小的减速运动，最终静止 1.力学关系：； 2.能量关系： 3.动量电量关系：； 电动式 （导轨光滑，电阻为R，导体棒电阻不计，电源电动势为E内阻为r） 开关S闭合瞬间，ab棒受到的安培力 ，此时，速度v↑ ⇒E反BLv↑⇒ ⇒FA＝BIL↓⇒加速度a↓， 当E反＝E时，v最大， 且 1.力学关系：； 2.动量关系： 3.能量关系： 4.两个极值： (1)最大加速度：当v=0时，E反=0， (2)最大速度：当E反＝E时， 发电式 (导轨光滑，电阻为R，导体棒电阻为r，F为恒力) 设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为， 随v的增加，a减小， 当a＝0时，v最大。 1.力学关系： 2.动量关系： 3.能量关系： 4.两个极值： （1）最大加速度：当v=0时，。 （2）最大速度：当a=0时， 【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选）如图所示，倾角、间距的足够长平行导轨固定在绝缘水平面上，导轨的顶端用导线与阻值的定值电阻相连，质量、长度也为L、阻值的导体棒垂直导轨放置，整个空间有垂直导轨向上、磁感应强度大小的匀强磁场。时刻，该导体棒以大小的初速度沿导轨向上运动，滑行时速度减为零，然后再沿导轨下滑。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，忽略导轨与导线的电阻，重力加速度g取，，，下列说法正确的是（　　） A．时，导体棒的加速度大小为 B．导体棒上滑的时间为 C．导体棒上滑过程中，定值电阻产生的焦耳热为3.6J D．导体棒沿导轨下滑时，稳定时的速度大小为2.5m/s 【答案】CD 【详解】A．时，导体棒上产生的感应电动势 由闭合电路的欧姆定律，得此时电路中的电流为 由右手定则可知回路中的电流方向为逆时针，由左手定则，可知安培力方向沿导轨向下，对导体棒由牛顿第二定律有 解得，故A错误； B．上滑过程中，由法拉第电磁感应定律有 由闭合电路的欧姆定律有 其中 对导体棒上滑过程由动量定理有 解得，故B错误； C．导体棒上滑过程，由能量守恒定律有 解得 则定值电阻产生的焦耳热，故C正确； D．导体棒下滑达到稳定状态时，感应电动势 导体棒中的电流 对导体棒受力分析，由平衡条件 解得，故D正确。故选CD。 【变式1-2】（2024·江西上饶·模拟预测）（多选）如图，两根间距为L=1m的金属导轨固定在水平面内，其一端接有电动势E=6V，内阻r=1Ω的电源，在导轨上垂直放置一根质量m=1kg，电阻R=1Ω的金属棒并与导轨良好接触，整个装置放在磁感强度B=2T，方向垂直导轨向下的匀强磁场中。已知金属棒与导轨间的摩擦阻力恒为f=2N，从闭合开关到金属棒达到稳定运动的过程中通过棒的电量q=3C，不计导轨电阻。下面说法正确的是（　　） A．金属杆做匀加速直线运动 B．金属棒稳定运动的速度为2m/s C．从开关闭合到刚好开始稳定运动所用时间为2s D．从开关闭合到刚好开始稳定运动这个过程中金属棒产生的焦耳热为5J 【答案】BCD 【详解】AB．闭合开关，根据左手定则可知，金属棒受到的安培力向右，金属棒向右切割磁感线产生动生电动势，则回路的电流为金属棒受到的安培力大小为金属棒的加速度大小为可知随着金属棒速度的增大，金属棒受到的安培力逐渐减小，加速度逐渐减小，则金属杆做加速度逐渐减小的加速直线运动，当安培力等于阻力时，金属棒开始做匀速运动，则有解得金属棒稳定运动的速度为故A错误，B正确； C．从开关闭合到刚好开始稳定运动过程，根据动量定理可得其中解得故C正确； D．从开关闭合到刚好开始稳定运动这个过程中，根据 解得金属棒通过的位移为 根据能量守恒可得 解得回路产生的焦耳热为 则金属棒产生的焦耳热为故D正确。 故选BCD。 考向02 电磁感应中的含容单棒模型 【例2-1】（2025·辽宁盘锦·三模）（多选）如图所示，水平放置的平行光滑导轨间接有电阻R、电容为C的电容器和一个单刀双掷开关。两导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小为B。一质量为m、接入电路中的电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置。现将开关拨至位置1，金属棒ab在水平恒力F的作用下由静止开始向右运动，当金属棒ab的速度达到最大时，开关拨至位置2，并撤去外力F，金属棒ab继续运动直至达到稳定状态。不计导轨电阻，下列说法正确的是（　　） A．金属棒的最大速度是 B．开关拨至位置2后，金属棒稳定后的速度 C．电容器中储存的电荷量 D．开关拨至位置2后，导体棒运动的距离 【答案】AC 【详解】A．当开关拨至位置1时，金属棒ab在水平恒力F的作用下开始运动，此时金属棒受到水平恒力和安培力的作用，根据安培力公式，，所以当金属棒达到最大速度时，加速度为零，此时水平恒力F与安培力大小相等，即解得金属棒的最大速度，故A正确； B．当开关拨至位置2后，电路中接入了电容器，此时金属棒和电容器组成闭合回路，金属棒在磁场中运动产生感应电动势，对电容器充电，当电容器两端电压与感应电动势相等时，电路中电流为零，金属棒达到稳定状态，设金属棒稳定后的速度为v，此时感应电动势由于电容器两端电压等于金属棒两端电压，故有此过程由动量定理，可得，联立得，故B错误； C．电容器中储存的电荷量，故C正确； D．开关接入位置2后，电路中有电流，但不是真正意义上的回来，不可以用来求位移，所以位移没办法计算，故D错误。故选AC。 【例2-2】（2025·陕西·模拟预测）（多选）某电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距为l，倾角为，导轨上端串接一个阻值为的电阻，下端接有电容为C的电容器。在导轨间长为d的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m的金属棒CD水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH相连，金属棒向上运动时，闭合，断开，向下运动时，断开，闭合。CD棒的初始位置在磁场下方某位置处，一位健身者用大小为的恒力拉动GH杆，CD运动过程中始终保持与导轨垂直，进入磁场时恰好匀速上升，不计其它电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量，重力加速度为g，下列选项分析正确的是（　　） A．CD棒进入磁场时电流方向从C到D B．CD棒进入磁场时的速度大小为 C．若CD棒进入磁场处时，撤去拉力F，恰好能减速运动到磁场上边界，减速向上运动的时间为 D．若CD棒从磁场上边界由静止下滑，此时电容器电量为零，下滑过程中，拉力始终为零，则CD棒出磁场时的速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．棒进入磁场时电流方向从到，故A错误； B．CD棒进入磁场时有 又，，联立解得，故B正确； C．因，可得减速过程中，由动量定理得联立解得，故C正确； D．设棒滑出磁场时的速度大小为，经历的时间为，通过棒的电流为I，棒受到的磁场力方向沿导轨向上，大小为在时间间隔内流经CD棒的电荷量为（也是平行板电容器极板增加的电荷量），CD棒的速度变化量为，由，可得，棒在下滑期间任意时刻的加速度方向沿都斜面向下，根据牛顿第二定律有又因，联立可得可知CD棒做初速度为零的匀加速运动，则解得，故D正确。故选BCD。 模型 过程分析 规律 放电式 (先接1后接2,导轨光滑) 电容器充电后，电键接2后放电，导体棒向右移动，切割磁感线，产生反电动势，当电容器电压等于Blvm时，导体棒以最大速度匀速运动。 1.电容器充电量： 2.放电结束时电量： 3.电容器放电电量： 4.动量关系：； 5.功能关系： 无外力充电式 （导轨光滑） 充电电流减小，安培力减小，a减小，当a＝0时，导体棒匀速直线运动 达到最终速度时： 1.电容器两端电压：（v为最终速度） 2.电容器电量： 3.动量关系：； 有外力充电式 （所有电阻不计， 导轨光滑） 电容器持续充， 得I恒定，a恒定，导体棒做匀加速直线运动 1.力学关系： 2.电流大小： 3.加速度大小： 【变式2-1】（2025·山西太原·二模）（多选）如图所示，间距为的两根光滑且足够长平行金属导轨竖直固定放置，导轨下端接有电容为的电容器。导轨内部区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为。质量为、长度为的金属棒在外力作用下以竖直向上做匀速直线运动，运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为，所有电阻均不计，电容C足够大。当与下端距离为，突然撤去外力并开始计时，下列说法正确的是（　　） A．从该位置开始，一直做匀变速直线运动 B．从该位置开始，中电流的方向始终为由a指向b C．向上运动的最长时间为 D．电容器上所带电荷量的最大值为 【答案】ABC 【详解】A．从撤去外力F时，设经过时间t，对ab由动量定理得 又， 解得 故A正确； B．撤去外力后金属棒做减速运动，感应电动势减小，电容器放电，由右手定则可知，金属棒匀速运动时电容器左极板电势高，放电电流由a流向b，金属棒减速为零后反向向下做初速度为零的匀加速直线运动，由右手定则可知，电流由a流向b，故B正确； C．撤去外力后金属棒向上做匀减速直线运动，速度减为零的运动时间 故C正确； D．金属棒在外力作用下做匀速直线运动时金属棒切割磁感线产生的感应电动势 从撤去外力到金属棒运动到下端过程，由运动学公式得 解得 电容器上所带电荷量的最大值 故D错误。故选ABC。 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）（多选）我国新一代航母阻拦系统将采用电磁阻拦技术，基本原理如图所示，飞机着舰时关闭动力系统，利用尾钩钩住绝缘阻拦索并拉动轨道上的一根金属棒ab，导轨间距为L，飞机和金属棒总质量为m，金属棒电阻为r，飞机着舰后与金属棒以共同速度进入磁场，轨道两端并接有阻值为R的电阻和电容为C的超级电容器，如图所示，开始时闭合，断开，不计其它电阻和阻拦索的质量。轨道内有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，当金属棒的加速度为零时，自动断开且闭合，金属棒最终与飞机一起停下，不计一切摩擦，则（    ） A．最终电容器所带电量为 B．通过电阻R的电量为 C．金属棒运动的总距离为 D．电阻R上产生的热量为 【答案】ABD 【详解】A．当金属棒的加速度为零时，设此时的速度为，则有 对金属棒根据动量定理有其中根据电容的定义式有联立解得，故A正确； B．自动断开且闭合，金属棒最终与飞机一起停下，根据动量定理有 其中解得故B正确； C．从自动断开且闭合，金属棒最终与飞机一起停下过程中 解得因为从开始到金属棒的加速度为零时，导体棒已经发生一段位移所以金属杆运动的距离故C错误； D．自动断开且闭合，根据功关系可知电阻R上产生的热量为解得故D正确。故选ABD。 考向03 电磁感应中的双棒模型 【例3-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）如图所示，绝缘水平面内固定着两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为，空间内存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，长度均为的两导体棒、垂直导轨放置，导体棒的质量为、电阻为，导体棒的质量为、电阻为。现将导体棒锁定，对导体棒施加方向水平向右、大小恒为的拉力，使其由静止开始运动，经过时间，导体棒的加速度刚好减小到0，此时撤去拉力同时导体棒解除锁定。已知两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．撤去拉力前的瞬间，导体棒的速度大小为 B．导体棒在拉力的作用下，运动的距离为 C．解除导体棒锁定后的瞬间，其加速度大小为 D．从撤去拉力到导体棒速度达到稳定的过程中，经过导体棒的电荷量为 【答案】AC 【详解】A．当ab加速度为零时，受力平衡，则有根据闭合电路的欧姆定律可得联立解得，故A正确； B．对ab由动量定理可得其中整理可得结合上述结论解得，故B错误； C．解除cd棒锁定的瞬间，回路中的电流则cd棒受到的安培力根据牛顿第二定律可得，故C正确； D．从撤去拉力到导体棒速度达到稳定的过程中，系统动量守恒，则有 解得对cd棒，根据动量定理可得又因为整理可得解得，故D错误。故选AC。 【例3-2】（2025·湖南长沙·三模）（多选）如图，足够长的光滑平行导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，图中OO′左侧是电阻不计的金属导轨，OO′右侧是绝缘轨道。金属导轨部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B；OO′右侧以O为原点，沿导轨方向建立x轴，OO′右侧存在分布规律为B=B0+kx（k>0）的竖直向下的磁场（图中未标出）。一质量为m、阻值为R、三边长度均为L的U形金属框，左端紧靠OO′平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）处于静止状态。长为2L、质量为2m、接入电路中的阻值为R的导体棒a处在间距为2L的金属导轨上，长为L、质量为m、接入电路中的阻值为R的导体棒b处在间距为L的金属导轨上。现同时给导体棒a、b大小相同的水平向右的初速度v0，当导体棒b运动至OO′时，导体棒a中已无电流。导体棒b与U形金属框碰撞后连接在一起构成回路，导体棒a、b、金属框与导轨始终接触良好，导体棒a被立柱挡住没有进入右侧轨道。下列说法正确的是（　　） A．导体棒a、b获得相同的水平向右的初速度v0后，导体棒a做匀减速运动 B．导体棒b运动至OO′时的速度大小为 C．导体棒b运动至OO′前，导体棒a和导体棒b构成的回路产生的热量为 D．导体棒b与U形金属框碰撞后至停止的过程中，通过导体棒b截面的电荷量为 【答案】BD 【详解】A．给导体棒a、b大小相同的水平向右的初速度v0，由 因为，解得a棒所受安培力由牛顿第二运动定律得解得可知a棒运动的速度减小，加速度也减小，故A错误； B．设b棒到达OO′时的速度大小为vb，此时导体棒a的速度大小为va，因为此时已经无电流，即 设向右为正方向，对a、b棒分别根据动量定理可得， 联立解得，，故B正确； C．导体棒b运动至OO′前，导体棒a和导体棒b构成的回路产生的热量为，故C错误； D．设b棒与U形金属框碰撞后共同速度为v1，设向右为正方向， 根据动量守恒定律可得 解得由OO′右侧磁场分布规律为可知U形金属框右边始终比U形金属框左边的磁场大，即从导体棒b与U形金属框碰撞后到最终静止的过程，回路中的平均电流为，设向右为正方向，根据动量定理可知通过导体棒b截面的电荷量为 联立解得，故D正确。 故选BD。 1.等间距双棒模型 模型 过程分析 规律 无外力等距式 （导轨光滑） 棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，以相同的速度匀速运动.对系统动量守恒，对其中某棒适用动量定理。 1.电流大小： 2.稳定条件：两棒达到共同速度 3.动量关系： 4.能量关系：； 有外力等距式 （导轨光滑） a2减小，a1增大，当a2＝a1时二者一起匀加速运动，存在稳定的速度差 1.电流大小： 2.力学关系：；。（任意时刻两棒加速度） 3.稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 4.稳定时的物理关系： ；；； 2.不等间距双棒模型 模型 过程分析 规律 无外力不等距式 （导轨光滑） 棒1做变减速运动，棒2做变加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，两棒以不同的速度做匀速运动，所围的面积不变.v1L1＝v2L2 1.动量关系：； 2.稳定条件： 3.最终速度：； 4.能量关系： 5.电量关系： 【变式3-1】（2025·河南·三模）（多选）如图所示，水平面上有两条相距为l的足够长的固定光滑平行金属导轨，垂直于导轨的两虚线间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场内导轨上相隔一定距离垂直导轨放置长度均为l的导体棒a和b。现让导体棒a、b以相同的速率同时沿导轨相向运动，导体棒b出磁场前加速度已经为0，导体棒a出磁场时速度为，a、b棒的质量分别为2m、m，电阻均为R。导轨电阻不计且导体棒与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．导体棒b出磁场时的速度大小为 B．整个过程流过导体棒b的电荷量为 C．整个过程系统产生的焦耳热为 D．整个过程两棒的最近距离为 【答案】CD 【详解】A．b出磁场时无加速度，说明a、b棒已经在磁场中共速了，根据动量守恒定律有 解得b出磁场时的速度大小，故A错误； B．a出磁场时的速度大小为，根据能量守恒定律则，有 解得，故C正确； C．b出磁场前的动量改变量为 动量改变量等于安培力的冲量，则有 解得 b出磁场后至a出磁场的过程，其动量改变量为 根据左手定则可判断此过程中电流流过b的方向与前面电流通过b的方向相同，同理有 解得 所以流过b的电荷量为，故B错误； C．a、b棒已经在磁场中共速，距离最近，并保持到b出磁场，之后a切割磁感线，产生感应电动势，形成感应电流，安培力使a减速，又有 解得，故D正确。 故选CD。 【变式3-2】（2025·广东广州·模拟预测）（多选）将一足够长光滑平行金属导轨固定于水平面内（如图），已知左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为，导轨足够长且电阻可忽略不计.左侧导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，右侧导轨间存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场.在时刻，长为L、电阻为r、质量为m的匀质金属棒静止在左侧导轨右端，长为、质量为的匀质金属棒从右侧导轨左端以大小为的初速度水平向右运动。一段时间后，流经棒的电流为0，此时。已知金属棒由相同材料制成，在运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计电流的磁效应，则（　　） A．时刻流经棒的电流为 B．时刻棒的速度大小为 C．时间内，回路磁通量的变化率逐渐增大 D．时间内，棒产生的焦耳热为 【答案】ABD 【详解】A．棒由相同材料制成，即电阻率、密度均相同，根据， 可得 设的电阻为，则有 可得 根据右手定则可知，时刻产生的感应电动势方向是从H到G，回路中的感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律可知此时回路中的感应电流为，故A正确； B．设时刻，的速度大小分别为、，则有 可得 时间内，根据动量定理，对有 对有 联立解得，，故B正确； C．根据左手定则知受到的安培力水平向左，受到的安培力水平向左，的速度逐渐增大，的速度逐渐减小，回路中的感应电动势 逐渐减小，根据法拉第电磁感应定律知，回路磁通量的变化率逐渐减小，故C错误； D．在时间内，对两棒组成的系统，根据能量守恒定律有 解得回路中产生的总热量 根据焦耳定律有 解得，故D正确。 故选ABD。 1．（25-26高三上·江西·期中）（多选）如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为。金属棒、垂直导轨放置，电阻均为，质量分别为和。虚线右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒、分别以初速度和同时沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从棒进入磁场区域开始，其电流随时间变化的图像如图乙所示，则（　　） A．、棒的初速度满足 B．棒即将进入磁场时，棒在磁场中移动的距离为 C．两棒最终的间隔距离为 D．两棒最终的间隔距离为 【答案】BC 【详解】A．金属棒a刚进入磁场时产生的感应电动势E0=BLv0 感应电流 金属棒b刚要进入磁场时a棒的速度大小为v2，此时产生的感应电动势E2=BLv2 感应电流 解得 由图乙所示图像可知，b进入磁场时电流反向，则v1＞v2，回路产生的电动势E1=BL（v1-v2） 电流大小 解得v1=v0，故A错误； B．b棒即将进入磁场时，以向右为正方向，对a由动量定理得 其中 解得，故B正确； CD．b进入磁场后，当两金属棒速度相等后达到稳定状态，a、b组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv2+3mv1=（m+3m）v 解得 此过程，以向右为正方向，对a由动量定理得 其中 解得b进入磁场后a、b的相对位移 两棒最终的间隔距离为，C正确，D错误。 故选BC。 2．（2025·湖南·一模）（多选）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定的平行且足够长的光滑金属导轨，AB、CD相距2L且与水平面的夹角为，EI、GH相距L水平放置，导轨之间都有大小为B、垂直向下的匀强磁场。质量均为m，长度分别为2L、L的金属棒MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ的电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。现MN从静止释放，在稳定之前还没到底部，则（　　） A．若PQ固定，MN的最大速度为 B．若PQ固定，则最终PQ两端的电压为 C．若PQ不固定，则最终PQ的速度是MN的两倍 D．若PQ不固定，则最终PQ的加速度是MN的两倍 【答案】BD 【详解】A.对于MN，速度最大时，合力为零，则 解得，A错误； B.MN相当于电源，PQ两端的电压为，B正确； CD.若PQ不固定，则最终电路中的感应电流恒定，要想满足这一条件，最终PQ的加速度是MN的两倍，应该有，，，显然最终速度不是2倍关系，C错误，D正确。 故选BD。 3．（2025·浙江·高考真题）如图所示，某兴趣小组设计了一新型两级水平电磁弹射系统。第一级由间距为l的水平金属导轨、可在导轨上滑行的导电动子、输出电压恒为U的电源和开关S组成，由此构成的回路总电阻为；第二级由固定在动子上间距也为l的导电“”形滑杆、锁定在滑杆上可导电的模型飞机组成，由此构成的回路总电阻为。另外在第二级回路内固定一超导线圈，它与第一、第二两级回路三者彼此绝缘。导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。接通开关S，动子从静止开始运动，所受阻力与其速度成正比，比例系数为k。当动子运动距离为时（可视为已匀速），立即断开S，在极短时间内实现下列操作：首先让超导线圈通上大电流，产生竖直方向的强磁场，在第二级回路中产生磁通量；再让超导线圈断开，磁场快速消失，同时解锁飞机，对飞机实施第二次加速，飞机起飞。已知动子及安装其上所有装备的总质量为M，其中飞机质量为m，在运动过程中，动子始终与导轨保持良好接触，忽略导轨电阻。 (1)求动子在接通S瞬间受力的大小； (2)求第一级弹射过程中动子能达到的最大速度； (3)求第一级弹射过程中电源输出的总能量W； (4)判断超导线圈中电流方向（俯视），并求飞机起飞时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4)电流方向为顺时针（俯视）， 【详解】（1）接通S瞬间，动子速度，此时回路中没有感应电动势，电源电压为，回路总电阻为，根据欧姆定律可知回路电流为 动子所受的力为安培力，大小为 （2）当动子达到最大速度时动子切割磁感线产生的电动势为 此时回路中的电流为 依题意此时动子做匀速运动，所受合力为零，有 解得最大速度为 （3）在第一级弹射过程中,取一段极短的时间，以水平向右为正方向，对动子及安装在上面的所有装备，由动量定理有 等式两侧求和得 其中 依题意有， 解得流过电源的电荷量 解得第一级弹射过程电源输出总能量 代入上问结果得 （4）由于对飞机实施第二次加速，由左手定则可知超导线圈断开后，第二级回路中的感应电流方向为顺时针（俯视），由右手螺旋定则可知超导线圈断开后，第二级回路中感应电流的磁场方向为竖直向下，由楞次定律可知超导线圈中的大电流产生的磁场方向也为竖直向下，再由右手螺旋定则可判断超导线圈中电流方向为顺时针（俯视）。 设飞机起飞时的速度大小为，对飞机根据动量定理有 超导线圈磁场快速消失的过程中，在第二级回路中产生的感应电动势 感应电流为 解得 代入前面结果可得 4．（2025·安徽·高考真题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3)，n = 1，2，3，… 【详解】（1）第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E = BLv0 则此时回路的电流为 此时导体棒受到的安培力F安 = BIL 此时导体棒受安培力的功率 （2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有 其中 解得 （3）由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量QR = QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn 通过分式分解和观察数列的“望远镜求和”性质，得出，n = 1，2，3，… 5．（2025·四川·高考真题）如图所示，长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上，两者平行且相距l，M、P连线垂直于导轨，定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r，M、P间连接一阻值为的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。零时刻，金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度大小为g。 (1)金属杆在导轨上运动时，回路的感应电动势； (2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时，回路的热功率； (3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属杆在导轨上运动时，切割磁感线，产生感应电动势 （2）金属杆运动距离d时，电路中的总电阻为 故此时回路中的总的热功率为 （3）设金属杆保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程为，此时刚好将要脱离导轨，此时绳子拉力为T，与水平方向的夹角为 ，对金属杆根据受力平衡可知， 根据位置关系有 同时有， 联立解得 6．（2025·甘肃·高考真题）在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 (1)求初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向； (2)系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为和，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； (3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 【答案】(1)，沿机械臂1向上 (2)，， (3)，方向向右； 【详解】（1）由法拉第电磁感应定律可知，初始时刻机械臂1的感应电动势大小为 由右手定则可知感应电流方向沿机械臂1向上。 （2）在达到稳定前，两机械臂电流分别为和，两机械臂安培力的大小分别为， 设电容器所带电荷量为Q，则 （3）达到稳定时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有电流结合动量定理 联立解得， 结合（2）问分析，在任意时刻有 即 对该式两边取全过程时间的累计有 其中，, 即 两棒间初始距离的最小值为 7．（2025·陕西·二模）如图所示，两足够长平行导轨倾斜固定在水平面上，倾角为，两导轨之间的距离为，导轨顶端用导线连接一阻值为的定值电阻，长为、质量为、阻值为的导体棒垂直导轨放置，水平虚线下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。现将导体棒从虚线上侧处静止释放，导体棒越过虚线后经的时间刚好匀速。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度g取，。忽略导轨和导线的电阻。求： (1)导体棒刚越过虚线时的加速度大小； (2)导体棒在磁场中达到的最大速度； (3)导体棒从越过虚线到刚好匀速的过程中，定值电阻上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒从释放到刚运动到虚线处的过程，由动能定理得 解得 导体棒刚越过虚线瞬间，导体棒产生的感应电动势为 回路中的感应电流为 导体棒所受的安培力大小为 对导体棒由牛顿第二定律得 解得 （2）导体棒进入磁场后，导体棒的速度逐渐增大，安培力逐渐增大，导体棒受到的合力逐渐减小，导体棒的加速度逐渐减小，当导体棒的加速度为0时，导体棒的速度达到最大；设导体棒的最大速度为，导体棒上的感应电动势为 导体棒上的感应电流为 导体棒所受的安培力大小为 导体棒速度最大时，由力的平衡条件得 代入数据解得 （3）导体棒从进入磁场到速度最大的过程中，设导体棒的位移为x，由法拉第电磁感应定律得 由闭合电路欧姆定律得 又，， 由动量定理得 整理得 解得 该过程由动能定理得 解得 由功能关系可知整个电路上产生的焦耳热为 该过程定值电阻上产生的焦耳热为 解得 8．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，足够长的粗糙平行金属导轨水平固定，导轨间距为，整个导轨处于竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。一质量为、电阻为、长度也为的细直金属棒置于导轨上，导轨左侧与一电动势为、内阻为的电源相连，导轨电阻不计。接通电源后，金属棒由静止开始运动，整个运动过程中，金属棒始终与导轨垂直并接触良好，且金属棒所受阻力大小恒为。 (1)求整个运动过程中，金属棒的最大加速度和最大速度。 (2)从刚开始运动开始计时，求经过时间，当金属棒的位移为时，金属棒的速度大小。 【答案】(1)，方向水平向右；，方向水平向右。 (2) 【详解】（1）电源接通瞬间，金属棒MN的加速度最大，设为am，此时电路中的电流 由牛顿第二定律有 联立解得，方向水平向右。 当金属棒MN的速度大小为v时，电路中的电流 由牛顿第二定律有 当时，金属棒的速度最大，设为，则 联立解得，方向水平向右。 （2）设经过时间t，金属棒的速度大小为v，由动量定理有 又， 联立解得当金属棒的位移为时，金属棒的速度大小 9．（2026·海南·一模）如图所示，在水平地面上固定有相互平行且足够长的金属导轨EG、FH与PG、QH，间距为d，在GH处用一小段绝缘材料相连，EF之间接电容为C的电容器，FH之间接有阻值为R的电阻，开关S接法如图所示，PQ之间接有阻值也为R的定值电阻，EFHG和MNQP区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场。质量均为m、电阻均为r、长度均为d的金属棒a、b静止在导轨上，和导轨接触良好，金属棒a离GH足够远，金属棒b在GH与MN之间，不计导轨的电阻和一切摩擦，闭合开关S，用平行于EG向左的恒力F作用在金属棒a上。 (1)求出金属棒a从GH处离开时的速度大小v； (2)若在金属棒a速度为0.5v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒a匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功W（用v表示）； (3)在金属棒a以速度v离开GH瞬间，撤掉外力，金属棒a和金属棒b发生碰撞并粘连在一起进入MNQP区域，求金属棒ab在MNQP区域向左运动的最大距离。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）对金属棒a进行受力分析，列牛顿第二定律方程有 由分析可知金属棒a做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度时，其速度达到最大值v，此后匀速运动，则金属棒a匀速运动时满足 解得金属棒a匀速运动时电路中的电流为 又因为 解得金属棒a匀速运动时的速度大小为 即金属棒a从GH处离开时的速度大小为 （2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，设电源的电动势为，则根据法拉第电磁感应定律有 设电路中的电流为，电容器的电荷量为， 则根据闭合电路欧姆定律有 当金属棒a匀速运动时，电容器不断充电，电荷量Q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒a所受安培力不断减小。但由于金属棒a匀速运动，则根据平衡关系可知外力始终满足 所以拉力的瞬时功率表达式为 又因为定值电阻的功率为 所以当时，可得此时电路中的电流为 又因为 可得此时电容器两端的电压为 从开关断开到此刻外力所做的功为 其中 联立可得 （3）金属棒a、b碰撞后两金属棒粘在一起运动，则根据动量守恒定律有 金属棒ab进入磁场直到静止，根据动量定理可得 金属棒ab在磁场中运动的过程有 又因为 联立解得金属棒ab在MNQP区域向左运动的最大距离为 10．（2026·河南·一模）如图，一半径为r=0.5m的水平固定金属圆环内存在竖直向上的磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场，长为0.5m的金属棒ab可绕着圆环圆心转动。从圆环边缘和圆心所在竖直轴OO1用细导线连接足够长的水平固定平行金属导轨P、Q，两导轨间存在垂直导轨平面向上的磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场，在两导轨间接有电容为C=0.06F的电容器。质量m=0.1 kg的金属棒cd垂直放在导轨上处于静止状态，导轨的宽度和金属棒cd的长度均为l=1m，金属棒cd与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5，金属棒cd的电阻R1=1Ω，金属棒ab的电阻R2=1Ω，其余电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.开关S1、S2、S3均断开，金属棒ab始终以恒定的角速度ω=10rad/s逆时针（俯视）转动。现闭合开关S1、S2，断开开关S3，求： (1)电容器的最大电荷量； (2)当电容器电荷量达到最大值后，立即断开开关S2，闭合开关S1、S3，此后经t1=0.08 s金属棒cd达到最大速度，求金属棒cd的最大速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）金属棒ab中的电动势为 当电容器电荷量最大时，电容器电压 则电容器的最大电荷量为 （2）金属棒cd达到最大速度时，有 解得 此时金属棒cd的电动势为 对电容器和金属棒cd构成的回路 从开始放电到金属棒cd达到最大速度，电容器放出的电荷量为 对金属棒cd，由动量定理 又 联立得 解得 代入数据得 11．（2026·湖南·一模）如图所示，间距均为的两段足够长平行光滑金属导轨、均固定在水平面上，光滑绝缘件将两段导轨相连，导轨左右两端分别与电容为的电容器和阻值为的电阻相连接，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，开始时电容器上极板带正电，电荷量大小为。现将质量为、长为、电阻为的导体棒在内某位置垂直于导轨由静止释放，导体棒在到达绝缘件之前已经做匀速直线运动，导轨电阻忽略不计，导体棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。 (1)求导体棒在释放瞬间加速度的大小； (2)求导体棒穿过光滑绝缘件时的速度大小； (3)求导体棒最终静止时距连接处的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）释放瞬间导体棒两端电压即为电容器两端电压，知 对导体棒，根据牛顿第二定律，有 而 联立可得 （2）导体棒匀速时说明导体棒切割磁感线产生的电动势和电容器两极板间电压相等，设导体棒匀速时的速度为v，可知 对导体棒，根据动量定理，有 且 联立可得 （3）对导体棒穿过绝缘件后减速运动过程中，根据动量定理，有 又有 位移为 联立可得 12．（2025·河北·一模）匝数n=10的圆形线圈处在方向竖直向上、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场中，与水平金属导轨相连。水平导轨、部分光滑，、部分粗糙，连接导轨的、部分为光滑绝缘体。区域内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场，区域内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场，导轨间距均为L=0.5m。在导轨末端间接有电阻R。在与间静止放置一导体棒a，在与之间静止放置另一相同的导体棒b。已知，a、b棒质量均为m=0.5kg，长度均为0.5m，两棒电阻均为r=1Ω，电阻R的阻值为0.5Ω，取重力加速度大小导体棒与粗糙导轨之间的动摩擦因数μ=0.2，不计其他电阻，a、b棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知圆形线圈中产生的感应电动势为3V。 (1)求圆形线圈的面积S。 (2)闭合开关，导体棒a开始向右运动，在未离开磁场B₂ 时速度已达到最大，求导体棒a的最大速度和该过程通过导体棒a的电荷量q。 (3)导体棒a离开磁场后与导体棒b发生碰撞并粘在一起，两棒立即通过进入磁场，之后经过时间t=1.0s后停止，求导体棒在磁场中运动的位移x和此过程电阻R产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得 由 可得 代入数据，解得 （2）a棒达到最大速度时，加速度为零，回路中的电流为零，导体棒a产生的感应电动势与圆形线圈中产生的感应电动势相等，有 解得 a棒加速过程中，设某时刻a棒中电流大小为，其所受安培力 安培力的冲量大小为 对a棒根据动量定理可得 解得 （3）a棒与b棒碰撞，设碰后速度为，根据动量守恒定律有 解得 两棒并联电阻为 两棒在磁场中做减速运动，设某时刻速度大小为，则产生的感应电动势 回路中的电流 两棒所受安培力大小 两棒在磁场中运动的过程，安培力的冲量大小为 因为 所以 两棒在磁场中运动的过程，根据动量定理 解得 导体棒和导轨间由于摩擦产生的热量 根据能量守恒可得 解得 在此过程中，电阻R产生的焦耳热为 13．（2025·浙江·一模）如图所示，水平面内两根足够长的光滑金属导轨相距，左侧分别接入内阻不计、电动势的电源和电容的电容器（初始不带电）。质量、长度略长于、电阻的导体棒静置于导轨上，且导体棒始终与导轨垂直。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。不计导轨电阻以及回路自感，开关1、2断开。 (1)仅闭合1，求稳定后电容器所带电荷量； (2)先闭合1，稳定后断开1，再闭合2，求导体棒最终的速度； (3)若同时闭合1、2，求导体棒从开始运动到速度恒定的过程中电源输出的电能； (4)仅闭合2，给导体棒一个向右的初速度的同时，对导体棒施加向右的外力，恰好使回路中电流恒定且导体棒做匀加速运动，求加速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）根据电容定义式可知，电容器所带电荷量 （2）设最终电容器两端电压为，则经过导体棒的电荷量为 对棒列动量定理 且终态满足 故 （3）假设全过程经过电容器和导体棒的电荷量分别为和，则，，， 得 （4）电流 初始时刻电流 因为恰好使回路中电流恒定且导体棒做匀加速运动，所以联立得 14．（2025·山西·模拟预测）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角，两导轨间距，导轨电阻不计。导轨所在空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两金属杆、垂直置于导轨上并与导轨良好接触，质量分别为、，电阻均为。初始时刻两金属杆相距，金属杆沿导轨向上运动的初速度大小为，金属杆初速度为0且始终受到沿导轨向上的恒力作用。已知当时两杆相距最近，重力加速度为。 (1)求两金属杆相距最近时共同的速度大小； (2)求内通过杆的电荷量； (3)求内杆上产生的焦耳热。 【答案】(1)5m/s (2)5C (3)35J 【详解】（1）沿斜面方向，由于恒力 故两金属杆构成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律可得 解得 （2）0~1s内对杆，令沿斜面向上为正方向，由动量定理得 解得 （3）0~1s内，令杆沿斜面向上运动的位移为，杆沿斜面向上运动的位移为，由于 可得 对、杆组成的系统，由能量守恒与转化得 解得 由于、杆通过的电流相等且两杆电阻相同，则0~1s内杆上产生的焦耳热为 15．（2025·河北·模拟预测）如图所示，导体棒P、Q的质量均为m＝1.8kg、电阻均为R＝1Ω，平行光滑的金属导轨由倾斜和水平两部分组成，两导轨由两小段光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连，倾斜部分由倾角为、间距L＝1m的导轨ab、fg构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gh段间距为L，de、ij段间距为2L，a、f之间接有阻值为R＝1Ω的定值电阻。水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T，倾斜导轨处于垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为3B（两处磁场方向在图中均未画出）。导体棒Q静止于de、ij段，导体棒P从倾斜导轨上某处由静止释放，到达bg前速度已达到最大。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，g取，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求： (1)导体棒P到达bg时的动能； (2)两导体棒在水平导轨上运动达到稳定后P、Q的速度大小； (3)整个运动过程中，若导体棒P上产生的焦耳热是导体棒Q的两倍，求导体棒P释放的位置到bg的距离。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由题意知导体棒P到达前速度已达到最大，由平衡条件有 由法拉第电磁感应定律可得 结合欧姆定律可得 其中 解得导体棒P到达时的速度大小 导体棒P到达时的动能 （2）设导体棒P、Q达到稳定后的速度大小和，稳定时，两导体棒两端的感应电动势相等，则有 可得 对两导体棒由动量定理分别有， 解得导体棒P达到稳定后的速度大小 导体棒Q达到稳定后的速度大小 （3）设导体棒P释放的位置到的距离为x，导体棒P在倾斜导轨上运动时，导体棒Q中无电流通过，不产生焦耳热，设导体棒P在倾斜导轨上产生的焦耳热为，导体棒P在倾斜导轨上的运动过程由能量守恒定律有 解得 当导体棒P在水平导轨上运动时，导体棒P、Q产生的焦耳热相同，设均为，根据能量守恒定律有 解得 由题意有 解得导体棒P释放的位置到的距离 16．（2025·浙江·一模）如图所示，某兴趣小组设计了一种水平电磁弹射系统。该系统由输出电流恒为的电源、间距为的水平金属导轨、可在导轨上滑行的“H”型导电动子（动子由两根电阻为的金属杆和一根绝缘横档组成，其上固定了模型飞机）及开关组成。导轨间区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。接通开关，动子杆在磁场中贴紧边从静止开始运动，所受阻力与其速度成正比，比例系数为。动子运动距离为（已知）时，动子开始匀速运动；当时，动子杆到达瞬间，安装在“H”上的飞机被弹射系统以相对于“H”2倍的速度弹出，同时断开，磁场的磁感应强度被控制为∶。当时，棒恰好停在。已知动子质量为，飞机质量为，在运动过程中，动子始终与导轨保持良好接触，忽略导轨电阻。求∶ (1)S接通瞬间，动子所受安培力； (2)飞机弹射出去前，动子的最大速度； (3)飞机弹射出去前瞬间恒流源提供的电压； (4)飞机弹射出去后，动子所受合外力的冲量及通过杆的电量。 【答案】(1)，方向向右 (2) (3) (4)， 【详解】（1）动子所受安培力为，方向向右 （2）由牛顿第二定律，动子载着飞机加速时 其中， 当时，动子速度最大，得 （3）飞机弹射出去前，由能量守恒有 得 （4）飞机弹射前后，水平方向动量守恒 解得 动子最后停下，可得动子所受合外力的冲量为 动子在进入减速过程中，通过a杆的电量为 17．（2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，AB、CD是固定在水平桌面上，相距的光滑平行金属导轨（足够长），导轨间存在着竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场。AC间串接一阻值的定值电阻，质量分别为，的两导体棒a、b垂直导轨放置，其长度比导轨间距略大，其中a棒阻值，b棒为超导材料。以a棒初始所在位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立x轴（x轴平行于两金属导轨），b棒初始所在位置坐标。在两导轨间x轴坐标处存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞会瞬间等速率回弹。现锁定b棒，闭合电键S，a棒在水平向右的恒力F作用下，以的速度向右匀速运动，当a棒即将与b棒碰撞前瞬间，b棒的锁定被解除，且同时撤去外力F。已知a、b两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻、接触电阻不计。求： (1)恒力F的大小； (2)若a、b两棒相碰后即粘合在一起，两棒最终静止时的x轴坐标？ (3)由于环境温度上升，导体棒b的超导属性消失，电阻变为，将恒力F变为，使a棒仍以的速度向右匀速运动。在碰撞前一瞬间，将开关S断开并给b棒一个向左的初速度2m/s，a棒与b棒发生弹性碰撞，则最终a、b两棒的速度大小各为多少？从a、b两棒发生弹性碰撞至最终稳定的过程中，导体棒b上产生的焦耳热？ 【答案】(1)1N (2)0.6m (3)2m/s，方向向左，2m/s，方向向左， 【详解】（1）a棒受力平衡，所以 根据电磁感应定律，a棒切割磁场产生的电流大小为 超导材料将R短路，则 联立解得 （2）根据动量守恒，碰撞瞬间有 碰撞后，两者粘合在一起运动直至停止（包括等速率反弹后），根据动量定理有 其中，又因为 解得 说明后续两棒反弹了 故最终停在处。 （3）以向右为正方向，发生弹性碰撞则有， 其中， 解得， 又由于两棒系统仅受等大反向的安培力作用，故系统总动量始终为0，b棒在运动至弹性装置前，两棒的速度大小始终为，通过的位移大小也始终为，即b棒撞上弹性装置前，a棒滑行了0.4m，此过程中，仍取水平向右为正方向，根据电磁感应定律，安培力大小为 根据动量定理，对a棒有 对b棒有 其中， 解得， 反弹后，导体棒b速度反向，大小不变，向左运动过程中，系统动量守恒有 解得 即两棒稳定后，最终的速度均为向左的2m/s，该过程中，根据能量守恒有 而 18．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，间距d=1m的平行光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上，水平导轨足够长，整个空间存在垂直导轨竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2T，长度均为d=1m的人工智能金属棒a、b。其电学属性可以自由切换，质量分别为、，初始时a、b均静止，电容为C=0.25F的电容器未充电。现对a棒施加垂直于棒的水平外力F=6N。不计导轨电阻。 (1)开关K处于断开状态时，若金属棒a、b电阻分别为、，求最终电流稳定时两棒的速度差为多大？ (2)开关K一直处于闭合状态时，若将b棒的电阻切换为很大（可认为它与导轨间始终处于绝缘状态而静止不动），a棒电阻仍为，a棒在F=6N作用下做匀加速运动，求其加速度大小？ (3)开关K一直处于断开状态时，若将a棒的电阻切换为零；b棒切换为直流电阻为零的纯电感状态，其自感系数L=2H，将b棒锁定不动。a棒在F=6N作用下开始运动，已知b棒产生的自感电动势大小为。求a棒的最大动能。 【答案】(1)3m/s (2) (3)9J 【详解】（1）回路电流稳定时，此时a、b加速度相同，根据牛顿第二定律，对a有 对b有 因为 速度差 代入题中数据，联立解得 （2）设电路中电流为，根据电路特点有 根据电流定义有 联立解得 回路电流稳定时 对a，根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）设导体棒a的位移为x时，速度为v，产生的动生电动势为e，加速度为a，电流为i，有 整理得 两边求和得 据牛顿第二定律有 联立解得 由图像，通过求图线与坐标轴围成的面积可求出最大速度为 所以最大动能 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $