重难02 带电粒子在复合场中的运动（重难专练）（山东专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难02 带电粒子在复合场中的运动 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 带电粒子在组合场中的运动【重难】 考向02 带电粒子（带电体）在叠加场中的运动【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 带电粒子在复合场中的运动是高考物理的重点与难点，属于高频考点，尤其在新高考中常以压轴题或综合题形式出现。该题型贯穿电磁学与力学的综合应用，是检验学生建模能力、分析能力和数学工具运用能力的关键载体。 从命题看，主要分为组合场（粒子依次通过不同场）和叠加场（多场同时存在）两类。高考常以计算题形式考查，涉及轨迹分析、临界条件、周期性运动等，需综合运用牛顿第二定律、动能定理、运动的合成与分解、几何关系等方法。 学生常见错误包括：(1)受力分析不全或混淆电场力与洛伦兹力方向；(2)在组合场中忽略运动过程的阶段性衔接；(3)在叠加场中未能正确判断粒子运动性质（如匀速圆周、直线或复杂曲线）；(4)几何关系构建错误，尤其在磁场偏转问题中；(5)临界状态和极值条件分析不到位。 该题型强调物理情境与数学工具的结合，需通过典型模型训练提升综合分析与空间想象能力。 考向01 带电粒子在组合场中的运动 【例1-1】（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【例1-2】（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 1、 带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 二、常见的两类组合场问题 1.先电场后磁场 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： ①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 【变式1-1】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，虚线段与轴正方向的夹角为，且。点有一可视为质点的粒子源，能在平面内向右侧与成角的方向以各种速率发射质量为、电荷量为的带正电粒子。右侧区域存在垂直平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅰ，左侧和边界之间（含边界）存在沿轴负方向、场强大小的匀强电场。第二象限存在另一垂直平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅱ，磁场边界是半径为的圆，且刚好与轴和轴相切，边界无磁场。是一固定在轴负半轴上、长的竖直接收屏（不含点），粒子打在屏上立即被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求从进入电场的粒子的速度大小范围，及其在磁场Ⅰ中运动的时间。 (2)若所有粒子离开电场时的速度大小都相等，求电场左边界的轨迹方程。 (3)若第三象限存在沿轴正方向的匀强电场（未画出），且所有经过磁场Ⅱ的粒子最终都能打到接收屏上，求该匀强电场的电场强度最小值。 【变式1-2】（2026·四川·一模）如图所示，在平面直角坐标系y<0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，在y>0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。t=0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从A点（0，-L）以初速度v0沿x轴正方向射出，之后粒子第一次通过x轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为30°，第二次通过x轴时刚好经过原点O，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)若该粒子第一次通过x轴时在第一象限施加一电场强度大小为、方向沿y轴负方向的匀强电场，该粒子运动过程中距x轴的最大距离和速度最小的时刻； (3)若将匀强磁场改为非匀强磁场，磁感应强度满足，要使粒子不从磁场上边界飞出，则磁场宽度D满足的条件。 考向02 带电粒子（带电体）在叠加场中的运动 【例2-1】（2025·贵州·高考真题）如图所示，轴水平向右，轴竖直向上，轴垂直纸面向里（图中未画出），在平面里有竖直向上的匀强电场，在的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场（未知）。有一带正电的粒子，质量为，从坐标原点出发，沿轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中，，点坐标。已知重力加速度为，粒子电荷量为。求： (1)电场强度的大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，求的大小； (3)若将电场改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点沿x轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。 【例2-2】（2025·河南·模拟预测）如图1所示，坐标平面内，以点为圆心，为半径的圆形区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，两平行金属板、长为，轴为两金属板的中轴线，间加如图2所示的交变电压，图中未知，已知，周期为。大量带正电的粒子以速度沿轴持续射入电场，恰好所有粒子均能离开电场且平行于轴射入磁场，已知从点入射的粒子恰能从点出射。粒子比荷均为，不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略极板的边缘效应，。 (1)求圆形区域磁场的磁感应强度大小； (2)求及金属板、间的距离； (3)若在的右侧空间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场和沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，求从圆周上的点沿轴正方向射入圆形磁场区域的粒子，进入复合场后，运动的最大速度和离轴的最远距离。 1.洛伦兹力与重力共存 2.静电力与洛伦兹力共存 3.静电力、重力与洛伦兹力共存 4.带电粒子在叠加场中运动的解题思路 【变式2-1】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，整个空间存在磁感应强度大小B=1T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第二象限存在方向竖直向上、电场强度大小E=10N/C的匀强电场。足够长绝缘水平传送带左传动轮正上方恰好位于坐标原点O，传送带处于停转状态。一电荷量q=+2C的物块从P（，12m）获得一初速度后，在第二象限做匀速圆周运动（轨迹为一段圆弧）恰好从原点O水平滑上传送带，沿传送带平稳滑行一段距离后停在传送带上。物块可视为质点，运动过程电量保持不变，物块与传送带之间的动摩擦因数，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2 (1)求物块的质量以及物块从P点获得的初速度； (2)求物块从滑上传送带到摩擦力功率最大的过程中摩擦力做的功； (3)若传送带逆时针匀速转动，物块从原点O滑上传送带经历t=5.3s后返回O点且恰好与传送带共速，求传送带逆时针转动的速度大小。 【变式2-2】（2025·江西·模拟预测）如图，光滑水平地面上静止放置一辆小车，小车上方固定有竖直光滑绝缘细管，管足够长，小车与管整体的总质量为，一质量、电荷量的带正电的绝缘小球放置在管的底部，小球的直径略小于细管的管径。以小球初始位置为坐标原点建立xOy坐标系，在整个空间中存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 ，的边界（虚线）右侧空间还存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为 。某时刻在小车上施加一水平向右的外力，让小车在外力作用下做加速度为 的运动，当小球进入电场的同时，撤去水平外力，此后的运动过程中小球一直没有离开细管，重力加速度大小为，小球看作质点，求： (1)从施加外力开始，经多长时间小球开始沿细管上升? (2)小球刚进入电场空间前瞬间，作用在车上的水平外力 F的大小； (3)小球在电场中运动过程离电场左侧边界的最远距离及之后小球从电场左侧边界离开后上升的最大高度。 1．（2026·河北·一模）如图所示，空间存在彼此平行的四个足够大的竖直平面M、N、P、Q，相邻平面的间距均为d，四个平面的中心位置位于同一垂直于四个平面的水平直线上。平面M、N间有水平向右的匀强电场，M、N间的电势差为U，平面N、P之间有方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，平面P、Q间有方向水平向外、磁感应强度大小为B2（未知）的匀强磁场。将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从由静止释放，粒子重力不计。 (1)求粒子由静止释放至首次到达平面P的时间。 (2)若将平面N、P之间的磁场撤去，在平面N、P之间加一竖直向下的匀强电场，电场强度大小等于M、N间的电场的2倍，粒子能够到达平面Q，求B2的最大值。 (3)在（2）问情景中，当粒子经过平面P时，将B2方向变为水平向右，大小变为，求粒子到达平面Q的位置与中心点O4之间的距离。 2．（2026·河北·一模）某异型回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的带电极板，两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示，板间电势差恒定为U（下极板电势高于上极板电势，且极板间只有电场）。两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其他部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在贴近下极板缝隙的离子源S中产生的质量为m、电荷量为q（q>0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为6D。已知磁感应强度大小可以在零到某一最大值之间调节，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔 P射出。假设离子打到器壁或离子源外壁则立即被吸收。忽略相对论效应，不计离子重力。 (1)求磁场磁感应强度的最小值； (2)调节磁感应强度大小为 离子能从出射孔 P射出时，求离子在磁场中运动的时间； (3)若将磁感应强度在 范围内调节，则离子能从 P 点射出时该范围内磁感应强度B 所有的可能值。 3．（2025·江苏·模拟预测）直角坐标系，在以为圆心，半径为的圆柱形区域Ⅰ中有一垂直纸面向里的匀强磁场。在且的区域Ⅱ中充满沿轴正方向的匀强电场，在且的区域Ⅲ中充满沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小均为，其他区域视为真空。坐标原点处有一粒子源可以在纸面内沿各个方向发射速率为的带负电粒子，粒子电荷量为，质量为。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，并忽略场的边界效应。已知某粒子可以从磁场边界上的点沿轴正方向离开磁场，电场强度大小。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)求从点离开磁场的粒子经电场偏转后，离开电场右边界时位置的坐标； (3)将粒子源粒子的发射速率改为，在从点发时的大量粒子中，求能进入电场的粒子在磁场中经过的区域面积，并在答题卡对应图中标出该区域（画出边界，内部画上斜线）。 4．（2025·湖北·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、四象限存在沿着y轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q的粒子（忽略重力）从A点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间到达O点时的速度与x轴正方向的夹角为37°，然后进入磁场，。 (1)求粒子在O点电场力的功率以及A、O两点间的距离； (2)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达y轴上的B点，求A、B两点的距离为多少； (3)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达C点（未画出），求粒子从A点到C点对时间而言所受的平均作用力为多少。 5．（2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在着沿轴负方向的匀强电场，在第三、四象限内有一边长为的正三角形磁场区域（边界处有磁场），该区域内存在着方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场（磁感应强度大小可调节），其中边与轴重合且坐标原点为其中点，现有一质量为、电荷量为的带正电粒子从电场中的点以速度沿轴负方向射出，恰好从坐标原点射入磁场，不计粒子重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)为使粒子从边射出磁场，求磁感应强度的取值范围； (3)调节磁感应强度的大小，当粒子能从边射出磁场时，求粒子在磁场中运动的最长时间。 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标； (3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。 8．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，平行边界、间为区域II，宽度为，上方的区域I内有与纸面平行、垂直于向下的匀强电场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场， 下方的区域III内还有与纸面平行、垂直向下的匀强电场，两电场的电场强度均为。一个质量为、电荷量为的带正电的粒子在区域I中的A点由静止释放，粒子经电场加速、区域II中的磁场偏转，在区域II中的轨迹刚好与相切，A点离的距离为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从静止释放到第次经过所用的时间； (3)将粒子在区域I中的点由静止释放，点到的距离为，则粒子在区域III中的最大速度为多少。 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图所示，直角三角形的， 边长为，是直角边的中点，斜边固定一挡板，边界线垂直于挡板，在三角形内部有磁感应强度为方向垂直纸面向里的匀强磁场，在边界和的左侧有垂直边的匀强电场，以和为边界的右侧足够大范围内有另一个磁感应强度为（的大小未知，方向垂直纸面向外）的匀强磁场。如果在电场中与点相距的点由静止释放一个带正电的粒子（不计重力），结果粒子以速度垂直边进入三角形内磁场中，经磁场偏转后不再返回电场，直接垂直地打在斜边挡板上（并被挡板吸收）。 (1)求粒子的比荷以及匀强电场的电场强度大小； (2)在边上放一个可移动的粒子源，粒子源不间断地垂直边向磁场中射入前一问求得比荷的正粒子，调节粒子源在不同位置射入粒子的速度大小，结果从边上点左侧（包括点）射入的粒子经过一次磁偏转后全部能到达点，而从点右侧射入的粒子，无论怎么调节速度大小，都不能经过磁场的一次偏转到达点。 ①对于点左侧入射到磁场的粒子，设粒子入射位置离点距离为，粒子经一次磁偏转直接到达点对应的入射速度为，求随分布的函数关系式； ②对于从点入射到磁场的粒子，途过点，最终又恰好打在点，求挡板上方的匀强磁场的磁感应强度。 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场Ⅰ的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，在与轴正方向成到与轴负方向成范围内，粒子源在坐标平面内均匀地向磁场内的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知从P点沿与轴负方向成射出的粒子恰好能沿轴正方向射出磁场Ⅰ，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场Ⅱ。磁场Ⅱ的磁感应强度大小是磁场Ⅰ的磁感应强度大小的k倍，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子从P点射出的速度大小v0； (2)取，当粒子从电场区域飞出时，求其速度方向与x轴正方向夹角的正切值的取值范围； (3)设接收屏到x轴的距离为d，是否存在这样的d值，使得从P飞进的所有粒子最终都能垂直打到接收屏上？如果能，求出d值；如果不能，请说明理由。 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，长为L＝0.8m的轻杆竖直放置，上端与小球A相连，下端用光滑转轴固定于水平桌面上。小球A恰好与立方体B接触，B的右侧紧贴放置一小物体C；距离物体C足够远处，静止放置带负电的小物体D；D的右侧空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。D到桌面右端距离d＝0.5m，桌面距地面高度H＝0.75m。A受微小扰动后，杆与A向右转动，B、C一起向右运动。A与B刚分离时，A受到杆的弹力为零；B离开A后，用外力制动，C继续向右运动与D碰撞（仅发生一次碰撞且碰撞时间极短）；碰撞后，D减速运动并离开桌面，第一次落地时与桌面右端的水平距离m。A、B、C和D满足的质量关系为；kg，D所带电荷量q＝0.1C且始终保持不变；D与桌面间动摩擦因数，其余各处摩擦不计；电场的场强E＝1N/C，磁感应强度T，重力加速度g取10。求： (1)物体D离开桌面时速度大小； (2)物体C与物体D碰撞后，物体D速度大小； (3)物体C与物体D碰撞过程中损失的动能。 12．（2025·浙江温州·一模）如图甲所示，2025年8月26日，国际上首个运行的超大规模和超高精度“幽灵粒子”探测器在我国建成并投入使用。为研究高能粒子控制与探测，研究小组设计了如图乙所示的粒子控制与探测一体化模型。在xOy平面存在沿x轴正方向的匀强电场E，以O点为圆心的圆形区域内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场B。在坐标原点固定一小块含的物质，衰变成，继续衰变成，设衰变后产生的、粒子向xOy平面各个方向均匀发射。磁场圆边界处有可移动的粒子探测器，可探测到从不同区域离开边界的粒子。已知粒子的比荷为k，电子的比荷为3672k，、粒子沿各个方向的最大速度分别为v与10v，圆形磁场的半径为R，不计空气阻力、粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑相对论效应。 (1)请写出的衰变方程； (2)将E调到0，为使所有粒子均不离开磁场，求磁感应强度B的最小值； (3)将B调到0，若探测器在x≥0的圆边界处均能探测到粒子，求电场强度E的范围； (4)将B调到B0，若存在一些初速度为0的粒子，探测器探测到这些粒子离开圆弧边界时的速度与y轴平行，求电场强度E的最大值。 13．（25-26高三上·广东·开学考试）如图所示，平行于轴放置的一对平行金属板，下极板与轴重合，板间距离为，两板间加有恒定电压，两板间有垂直于坐标平面向里、磁感强度大小为的匀强磁场。平行板左侧有两个与轴相切的半圆形磁场区域Ⅰ、Ⅱ，其圆心和均在轴上，磁场区域Ⅰ、Ⅱ的半径分别为和，磁场区域Ⅰ的磁感应强度大小为，方向垂直于坐标平面向里。现有宽度为的质子束从平行金属板的右侧以一定速度射入后在板间做直线运动，发现距离轴不大于的范围内的质子都能从磁场区域Ⅰ经过原点进入磁场区域Ⅱ，最后垂直打到与轴平行放置的感光底片上。已知质子的电荷量为，不计质子重力及质子间的相互作用力，入射质子沿轴方向分布均匀，求： (1)质子射入磁场区域Ⅰ时的速率； (2)质子的比荷和磁场区域Ⅱ的磁感应强度； (3)若单位时间有个质子从平行金属板左侧穿出，所有打到感光底片上的质子均被吸收，求感光底片上有质子到达区域单位长度所受质子平均冲击力大小？ 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，整个平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为，电场强度大小为，一些质量为，电荷量为的带正电粒子从原点点出发沿轴正方向以某初速度射入场区，不计粒子重力，求： (1)粒子初速度多大时，粒子沿轴做直线运动？ (2)粒子初速度多大时，粒子运动到最高点时速度刚好为0？ (3)若粒子一个周期内的运动轨迹与直线只有一个交点，求粒子初速度和运动过程中经过轴时的坐标。 15．（2025·海南海口·模拟预测）如图1所示，离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束正离子，其初速度可忽略不计。离子经电场U加速后竖直向上进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场区域Ⅰ。水平射出后匀速通过叠加场区域Ⅱ，区域Ⅱ中磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，电场方向为竖直方向（未画出），离子最后打在与区域Ⅱ右端荧光屏上的O点。以O为原点，建立如图坐标系。不计离子重力和离子间作用力及阻力，求： (1)加速电场电压U的大小； (2)叠加场中电场强度的大小与方向： (3)如图2所示，区域Ⅱ宽度为，撤去区域Ⅱ中电场，粒子从区域Ⅱ右侧射出后打在y轴上M点。在y轴正向铺设足够长的光滑绝缘板（厚度不计），离子打到板上后垂直板方向的碰后速度总是碰前该方向上速度的0.5倍，平行板方向上分速度不变，在板左边有边界垂直于y轴的有界磁场区域Ⅲ。磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，磁场水平方向足够长，下边界在M点，磁场宽度，d＝0.9R，求离子在磁场Ⅲ中与板碰撞的次数（M点除外）。 16．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图甲所示，真空中建立一个平面直角坐标系。紧靠轴左侧有一对水平放置的平行金属板，板间距离为，中轴线沿轴，板间所加交变电压随时间的变化图像如图乙所示，时刻上极板电势高。轴右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，在轴右侧一定距离处有一个荧光屏。现有大量质量为、电荷量为的粒子以初速度沿轴正方向持续不断地射入两板间，所有粒子均可以从板间射出并进入轴右侧范围足够大的复合场，两板间的粒子穿过两板的时间等于交变电压的周期。当，电场强度与磁感应强度的大小关系为，为已知量，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求： (1)时刻进入两板间的粒子从板间射出时沿轴方向速度的大小； (2)若能让粒子垂直打到荧光屏上，荧光屏距离轴的最小距离； (3)若荧光屏处在第（2）问的位置，粒子打到荧光屏上轴的坐标范围。 17．（2025·河南·模拟预测）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x=L的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角θ最大值为60°，且速度大小与θ角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为v0（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为（L，L）的P点；②当离子的入射速度大小为v1（未知），方向与y轴夹角60°入射时，离子垂直通过x=L界面。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求①情况下v0的大小； (2)求②情况下离子到达x=L界面时与x轴之间的距离； (3)若离子入射速度大小随θ变化的关系，在界面x=L右侧加一宽度也为L且平行于+x轴的匀强电场，如图所示。为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面x=L，求所加电场的电场强度至少为多大？ 18．（2025·湖南常德·三模）三维直角坐标系的oxy平面与水平面平行，空间存在与z轴平行的周期性变化的匀强磁场和匀强电场（图中没有画出），磁场和电场随时间变化规律分别如图甲和乙所示，规定沿z轴正方向为匀强磁场和匀强电场的正方向，不考虑磁场和电场变化而产生的感生电磁场的影响。在t＝0时刻，一个质量m，带电量+q的小球，以速度v0从坐标原点O点沿y轴正方向开始运动，小球恰好沿圆周运动，已知重力加速度为g，图中t0已知，，而E0未知。求： (1)求E0的大小 、画出0~2t0时间内小球的运动轨迹； (2)3t0时刻小球的位置坐标； (3)20t0时刻小球在z轴的位置坐标。 19．（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，在空间直角坐标系、区域内存在沿z轴负方向的匀强电场，在区域内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在区域内还可以施加沿x轴方向的交变电场和沿z轴方向的交变电场。一质量为m、电荷量为（）的粒子从yOz平面内的点沿着与z轴正方向成某一角度的方向射出，经电场偏转后恰好从原点O沿y轴正方向以速度v进入磁场和交变电场区域，当粒子经过原点O时开始计时，交变电场、随时间变化的规律分别如图乙、丙所示，图乙中电场的正方向沿x轴正方向，图丙中电场的正方向沿z轴正方向，图乙、丙中，不计粒子重力。 (1)求粒子从P点射出时的速度； (2)若仅在区域内施加如图乙所示的沿x轴方向的电场，求时刻粒子的速度大小； (3)若在区域内同时施加如图乙、丙所示的交变电场、，求粒子相邻两次经过原点O的时间间隔及粒子在运动过程中与xOz平面间的最大距离。 20．（2025·江西·模拟预测）如图，间距为d的平行板M、N间有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，两板间加有恒定电压，在过两板右端的竖直线PQ右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等，足够大荧光屏垂直于纸面固定在PQ上。一粒子源以速度大小，不断地沿两板间的中线向磁场Ⅰ内射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子在两板间做直线运动，从O点进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转，粒子打在荧光屏上的A点（未标出），A、O两点的距离为d，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)两板间所加电压U的大小； (2)若撤去磁场Ⅰ，结果粒子打在荧光屏上的位置离A点的距离为，则极板的长度L为多少？ (3)若两极板足够长，调整两极板间的电压，使粒子能进入磁场Ⅱ，则两板间的电压最小值为多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难02 带电粒子在复合场中的运动 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 带电粒子在组合场中的运动【重难】 考向02 带电粒子（带电体）在叠加场中的运动【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 带电粒子在复合场中的运动是高考物理的重点与难点，属于高频考点，尤其在新高考中常以压轴题或综合题形式出现。该题型贯穿电磁学与力学的综合应用，是检验学生建模能力、分析能力和数学工具运用能力的关键载体。 从命题看，主要分为组合场（粒子依次通过不同场）和叠加场（多场同时存在）两类。高考常以计算题形式考查，涉及轨迹分析、临界条件、周期性运动等，需综合运用牛顿第二定律、动能定理、运动的合成与分解、几何关系等方法。 学生常见错误包括：(1)受力分析不全或混淆电场力与洛伦兹力方向；(2)在组合场中忽略运动过程的阶段性衔接；(3)在叠加场中未能正确判断粒子运动性质（如匀速圆周、直线或复杂曲线）；(4)几何关系构建错误，尤其在磁场偏转问题中；(5)临界状态和极值条件分析不到位。 该题型强调物理情境与数学工具的结合，需通过典型模型训练提升综合分析与空间想象能力。 考向01 带电粒子在组合场中的运动 【例1-1】（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动，由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 （2）根据题意，设粒子进入磁场与竖直方向的夹角为，则有， 粒子在磁场中做匀速圆周运动有由几何关系易得联立可得 （3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为此时合速度与竖直方向的夹角为合速度为粒子做圆周运动的半径最远距离为 【例1-2】（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有解得由牛顿第二定律有解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有由运动学公式有联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为，间的距离为由几何关系可得则粒子在磁场中的运动时间为则有综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 1、 带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 二、常见的两类组合场问题 1.先电场后磁场 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： ①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 【变式1-1】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，虚线段与轴正方向的夹角为，且。点有一可视为质点的粒子源，能在平面内向右侧与成角的方向以各种速率发射质量为、电荷量为的带正电粒子。右侧区域存在垂直平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅰ，左侧和边界之间（含边界）存在沿轴负方向、场强大小的匀强电场。第二象限存在另一垂直平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅱ，磁场边界是半径为的圆，且刚好与轴和轴相切，边界无磁场。是一固定在轴负半轴上、长的竖直接收屏（不含点），粒子打在屏上立即被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求从进入电场的粒子的速度大小范围，及其在磁场Ⅰ中运动的时间。 (2)若所有粒子离开电场时的速度大小都相等，求电场左边界的轨迹方程。 (3)若第三象限存在沿轴正方向的匀强电场（未画出），且所有经过磁场Ⅱ的粒子最终都能打到接收屏上，求该匀强电场的电场强度最小值。 【答案】(1)0＜v≤， (2)（y≥0） (3) 【详解】（1）如图所示 从O点进入电场的粒子速度最大，此时粒子的运动轨迹与x轴相切，由几何关系知 由洛伦兹力提供向心力有解得即从OM进入电场的粒子速度大小范围为0＜v≤由分析知，所有粒子从OM离开磁场Ⅰ时的速度方向都沿x轴负方向，偏转角度在磁场Ⅰ中运动的时间且解得 （2）取OP边界上一点，则到达该点的粒子从OM离开磁场Ⅰ时的点坐标为，如图所示 设该粒子速度大小为v2，在磁场Ⅰ中运动的半径为R2，则 且由于所有粒子离开电场的速度都为根据动能定理有 联立解得，OP的轨迹方程为（y≥0） （3）由题知，粒子进入磁场Ⅱ后，做匀速圆周运动的半径 等于圆形磁场的半径，如图 由分析知，所有粒子都会汇聚于圆形磁场与x轴的切点F，且速度大小都为设F点的速度方向与y轴负方向的夹角为α，则设第三象限中匀强电场的场强大小为。要使粒子离开F点后打在接收屏OQ上，应满足且≥ 联立解得≥令函数 要使所有进入磁场Ⅱ的粒子最终都能打在接收屏OQ上，则应满足≥ 当，即时，因此，电场强度的最小值为 【变式1-2】（2026·四川·一模）如图所示，在平面直角坐标系y<0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，在y>0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。t=0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从A点（0，-L）以初速度v0沿x轴正方向射出，之后粒子第一次通过x轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为30°，第二次通过x轴时刚好经过原点O，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)若该粒子第一次通过x轴时在第一象限施加一电场强度大小为、方向沿y轴负方向的匀强电场，该粒子运动过程中距x轴的最大距离和速度最小的时刻； (3)若将匀强磁场改为非匀强磁场，磁感应强度满足，要使粒子不从磁场上边界飞出，则磁场宽度D满足的条件。 【答案】(1)，(2)，（n=0，1，2…） (3) 【详解】（1）粒子在电磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系有其中，解得， 粒子进磁场时有 由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹的半径 带电粒子在磁场中运动有 解得 （2）根据配速法，将粒子沿x轴方向的速度分解为向左的v1，向右的v2， 解得，则v1= 0 粒子竖直方向的速度大小为 粒子一边以速度v2沿x轴正方形做匀速直线运动，一边以速度vy做匀速圆周运动 解得 由几何关系可知粒子离x轴的最大距离 粒子在磁场中做圆周运动的时间 粒子经过最高点位置时，速度最小为 速度最小时有（n=0，1，2…） （3）由x方向动量定理得 则 所以 其中 由题意有，当时，带电粒子竖直位移最大，此时 磁场宽度D应满足的条件。 考向02 带电粒子（带电体）在叠加场中的运动 【例2-1】（2025·贵州·高考真题）如图所示，轴水平向右，轴竖直向上，轴垂直纸面向里（图中未画出），在平面里有竖直向上的匀强电场，在的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场（未知）。有一带正电的粒子，质量为，从坐标原点出发，沿轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中，，点坐标。已知重力加速度为，粒子电荷量为。求： (1)电场强度的大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，求的大小； (3)若将电场改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点沿x轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则解得粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力得解得粒子运动的轨道半径根据圆周运动轨迹，由几何关系得代入数据解得。 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，由几何关系可得可解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足当取最小值时，运动时间最短。所以当时，运动时间最短，代入的值解得根据联立可得当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，的大小为。 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，根据解得粒子受到的洛伦兹力大小为正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有由牛顿第二定律有粒子在轴正方向做匀速直线运动，有联立解得轨迹方程 【例2-2】（2025·河南·模拟预测）如图1所示，坐标平面内，以点为圆心，为半径的圆形区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，两平行金属板、长为，轴为两金属板的中轴线，间加如图2所示的交变电压，图中未知，已知，周期为。大量带正电的粒子以速度沿轴持续射入电场，恰好所有粒子均能离开电场且平行于轴射入磁场，已知从点入射的粒子恰能从点出射。粒子比荷均为，不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略极板的边缘效应，。 (1)求圆形区域磁场的磁感应强度大小； (2)求及金属板、间的距离； (3)若在的右侧空间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场和沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，求从圆周上的点沿轴正方向射入圆形磁场区域的粒子，进入复合场后，运动的最大速度和离轴的最远距离。 【答案】(1)(2)，(3)， 【详解】（1）由题意，从点入射的粒子射入磁场时的速度为，在磁场中运动的半径为，则解得 （2）粒子通过两板时间从时刻开始，粒子在两板间运动时每个电压变化周期的前三分之二时间内的加速度大小方向垂直极板向左在每个电压变化周期的后三分之一时间内加速度大小方向垂直极板向右。所有粒子均以速度沿平行于极板的方向射出电场，即所有粒子在出电场时垂直极板方向的速度不同时刻进入电场的粒子在电场方向的速度随时间变化的关系如图1所示 解得由解得 （3）由题意，所有粒子都会经过点，画出所研究的粒子在圆形区域磁场中运动的轨迹如图2所示，设粒子从点出射时与轴正方向夹角为，则 粒子在右侧复合场中做摆线运动，将速度分解为和，如图3所示 解得，其中则粒子运动的最大速度根据动能定理有解得 1.洛伦兹力与重力共存 2.静电力与洛伦兹力共存 3.静电力、重力与洛伦兹力共存 4.带电粒子在叠加场中运动的解题思路 【变式2-1】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，整个空间存在磁感应强度大小B=1T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第二象限存在方向竖直向上、电场强度大小E=10N/C的匀强电场。足够长绝缘水平传送带左传动轮正上方恰好位于坐标原点O，传送带处于停转状态。一电荷量q=+2C的物块从P（，12m）获得一初速度后，在第二象限做匀速圆周运动（轨迹为一段圆弧）恰好从原点O水平滑上传送带，沿传送带平稳滑行一段距离后停在传送带上。物块可视为质点，运动过程电量保持不变，物块与传送带之间的动摩擦因数，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2 (1)求物块的质量以及物块从P点获得的初速度； (2)求物块从滑上传送带到摩擦力功率最大的过程中摩擦力做的功； (3)若传送带逆时针匀速转动，物块从原点O滑上传送带经历t=5.3s后返回O点且恰好与传送带共速，求传送带逆时针转动的速度大小。 【答案】(1)8m/s，方向与y轴负方向成30°角(2)-39J(3)18.5m/s 【详解】（1）由于物块在第二象限P点获得速度且做匀速圆周运动，所以可得连接PO，作PO的中垂线交y轴于O′，即O′为圆周运动的圆心，如图所示根据几何关系有可知小滑块做圆周运动的半径为根据洛伦兹力提供向心力可得小滑块从P点获得的初速度为设初速度方向与y轴负方向成α角解得 （2） 滑块滑上传送带后，受力分析有滑块在传送带上运动所受摩擦力滑块在传送带上运动所受摩擦力的功率联立解得整理得 当时，即滑块在传送带上运动所受摩擦力的功率最大；根据动能定理解得滑块从滑上传送带到摩擦力功率最大时摩擦力做的功为 （3）滑块从O点进入后向右做减速运动，取时间微元Δt，根据动量定理求和得代入数据得滑块向左做加速运动，取时间微元Δt，设传送带逆时针转动速度为v带，根据动量定理求和得代入数据得又联立解得 【变式2-2】（2025·江西·模拟预测）如图，光滑水平地面上静止放置一辆小车，小车上方固定有竖直光滑绝缘细管，管足够长，小车与管整体的总质量为，一质量、电荷量的带正电的绝缘小球放置在管的底部，小球的直径略小于细管的管径。以小球初始位置为坐标原点建立xOy坐标系，在整个空间中存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 ，的边界（虚线）右侧空间还存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为 。某时刻在小车上施加一水平向右的外力，让小车在外力作用下做加速度为 的运动，当小球进入电场的同时，撤去水平外力，此后的运动过程中小球一直没有离开细管，重力加速度大小为，小球看作质点，求： (1)从施加外力开始，经多长时间小球开始沿细管上升? (2)小球刚进入电场空间前瞬间，作用在车上的水平外力 F的大小； (3)小球在电场中运动过程离电场左侧边界的最远距离及之后小球从电场左侧边界离开后上升的最大高度。 【答案】(1)(2)45.3N(3)， 【详解】（1）设小球刚与圆管底部分离时的水平速度为，经过的时间为，则有， 解得 （2）小球从开始至运动到电场处所用时间为，则 解得 小球脱离底部后的加速过程中有， 两式联立可得 即 可知在小球脱离细管管底部后，小球在竖直方向加速度随时间线性变化，刚要进电场时的竖直速度为，则有 根据牛顿第二定律可得 解得 （3）小球在刚进入电场时，整体水平方向速度为，则有 当小球在电场中运动至最远距离时，整体的水平速度为0，小球的竖直速度为；对整体，由于重力等于电场力，由能量守恒得 对小球分析，由竖直方向动量定理可得 即联立解得 设小球刚出电场速度大小为，由竖直方向动量定理得 此过程小球水平位移为，则 对整体分析，由能量守恒得 解得 小球出电场后在磁场中上升得最大高度为，此时竖直速度为零，整体水平速度为，对整体分析，水平方向动量定理得 即对整体分析，能量守恒得 联立解得 1．（2026·河北·一模）如图所示，空间存在彼此平行的四个足够大的竖直平面M、N、P、Q，相邻平面的间距均为d，四个平面的中心位置位于同一垂直于四个平面的水平直线上。平面M、N间有水平向右的匀强电场，M、N间的电势差为U，平面N、P之间有方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，平面P、Q间有方向水平向外、磁感应强度大小为B2（未知）的匀强磁场。将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从由静止释放，粒子重力不计。 (1)求粒子由静止释放至首次到达平面P的时间。 (2)若将平面N、P之间的磁场撤去，在平面N、P之间加一竖直向下的匀强电场，电场强度大小等于M、N间的电场的2倍，粒子能够到达平面Q，求B2的最大值。 (3)在（2）问情景中，当粒子经过平面P时，将B2方向变为水平向右，大小变为，求粒子到达平面Q的位置与中心点O4之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在平面M、N之间被加速，根据动能定理，有 解得 粒子在平面N、P间的磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有， 解得， 在粒子的加速过程中，有 根据几何关系可知，粒子在平面N、P间磁场中的运动轨迹对应的圆心角为30°，则有 粒子由静止释放至首次到达平面P的时间 （2）粒子在平面N、P间的电场中做类平抛运动，则有 设粒子到达平面P的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有 解得tanθ=1 当粒子在平面P、Q间的磁场中做匀速圆周运动的轨迹与平面Q相切时，B2达到最大值，根据几何关系，有 根据粒子在平面P、Q间做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）粒子在平面N、P间做类平抛运动的侧移量 当粒子经过平面P时，将粒子的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在水平方向上做速度为v0的匀速直线运动，在竖直方向上做的匀速圆周运动，则在竖直平面内，有， 解得， 由于 表明粒子做圆周运动经过最低点时恰好到达平面Q，则粒子到达平面Q的位置与中心点O4之间的距离 解得 2．（2026·河北·一模）某异型回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的带电极板，两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示，板间电势差恒定为U（下极板电势高于上极板电势，且极板间只有电场）。两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其他部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在贴近下极板缝隙的离子源S中产生的质量为m、电荷量为q（q>0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为6D。已知磁感应强度大小可以在零到某一最大值之间调节，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔 P射出。假设离子打到器壁或离子源外壁则立即被吸收。忽略相对论效应，不计离子重力。 (1)求磁场磁感应强度的最小值； (2)调节磁感应强度大小为 离子能从出射孔 P射出时，求离子在磁场中运动的时间； (3)若将磁感应强度在 范围内调节，则离子能从 P 点射出时该范围内磁感应强度B 所有的可能值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设离子从离子源上方的O点射入磁场区域的速度大小为，则 离子偏转后直接从出射孔P射出时，离子在磁场中运动的轨道半径最大（），磁场的磁感应强度最小（），则 由题意知 解得 （2）调节磁感应强度大小为，则离子第一次在磁场中偏转时有 可得 离子从出射孔P射出,离子的运动轨迹如图所示,离子偏转中第一次经过虚线间的无场区域,设其偏转轨道半径为，则 离子偏转中第n次经过虚线间的无场区域后从出射孔P射出,设其偏转轨道半径为，从出射孔P射出时的速度大小为，则有 ， 于是有 根据几何关系有 综合可得 可见离子能从出射孔P射出,且离子在磁场中运动的时间为 （3）令，对应离子运动的轨道半径分别为、，则， 结合前一问的分析可得， 可得 同理可得 联立各式解得，即k=35，36，……，42 又 解得( k=35，36，……，42) 3．（2025·江苏·模拟预测）直角坐标系，在以为圆心，半径为的圆柱形区域Ⅰ中有一垂直纸面向里的匀强磁场。在且的区域Ⅱ中充满沿轴正方向的匀强电场，在且的区域Ⅲ中充满沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小均为，其他区域视为真空。坐标原点处有一粒子源可以在纸面内沿各个方向发射速率为的带负电粒子，粒子电荷量为，质量为。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，并忽略场的边界效应。已知某粒子可以从磁场边界上的点沿轴正方向离开磁场，电场强度大小。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)求从点离开磁场的粒子经电场偏转后，离开电场右边界时位置的坐标； (3)将粒子源粒子的发射速率改为，在从点发时的大量粒子中，求能进入电场的粒子在磁场中经过的区域面积，并在答题卡对应图中标出该区域（画出边界，内部画上斜线）。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）某粒子从点发射从磁场边界上的点沿轴正方向离开磁场 设其在磁场中做圆周运动的半径为r 由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）粒子先在点和电场左边界之间做匀速直线运动，进入电场后做类平抛运动 竖直方向有 解得 若粒子在通过轴射出区域 又 解得 假设成立，再经过时间粒子从电场中射出： 竖直方向 故粒子离开电场右边界时位置的坐标为 （3）由洛伦兹力提供向心力可得 又 可得 则有 能够进入电场的粒子经过的区域如图所示 4．（2025·湖北·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、四象限存在沿着y轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q的粒子（忽略重力）从A点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间到达O点时的速度与x轴正方向的夹角为37°，然后进入磁场，。 (1)求粒子在O点电场力的功率以及A、O两点间的距离； (2)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达y轴上的B点，求A、B两点的距离为多少； (3)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达C点（未画出），求粒子从A点到C点对时间而言所受的平均作用力为多少。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设粒子在A、O两点的速度大小均为v，把v分别沿着x轴和y轴分解，则有， 粒子从A到O做类斜抛运动，由类斜抛运动的规律可得粒子从A到O的运动时间 结合 综合可得、、 粒子在O点电场力的功率为 A、O两点间的距离 （2）根据受力分析和运动分解可知把粒子在磁场中的运动看成沿y轴负方向速度为的匀速直线运动与线速度为的水平方向匀速圆周运动的合运动，匀速圆周运动的周期 时间 粒子运动到y轴上的B点，O、B两点间的距离 由几何关系可得A、B两点间的距离为 综合可得 （3）时间内，粒子从O点到达C点，水平方向匀速圆周分运动速度的方向改变180°，则A、C两点的速度等大反向，粒子从A到C，速度变化量的大小为 粒子从A到C，由动量定理可得 综合可得 5．（2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 【答案】(1)4个 (2)3、4、5或6个 (3)， 【详解】（1）带电粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，即带电粒子所受静电力与洛伦兹力平衡。设带电粒子离开装置1速度为，则有 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 解得 即装置1中应设置4个圆筒。 （2）设带电粒子离开装置1速度为。 （方法一）若带电粒子恰能打到下极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 若带电粒子恰能打到上极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 综上 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 装置1中应设置3、4、5或6个圆筒。 （方法二）带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。 匀速圆周运动的半径为 带电粒子不打到极板，即 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 故装置1中应设置3、4、5或6个圆筒 （3）装置1中设置16个圆筒，由动能定理得 解得 将带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力 解得匀速圆周运动的半径为 如下图所示 当匀速圆周分运动至1处时，带电粒子打到上极板，随后沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变，方向反向，即匀速圆周分运动变至2处。随后匀速圆周分运动再从2处运动至1处，故相邻两次打到板上的时间间隔为 相邻两落点间距离为 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在着沿轴负方向的匀强电场，在第三、四象限内有一边长为的正三角形磁场区域（边界处有磁场），该区域内存在着方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场（磁感应强度大小可调节），其中边与轴重合且坐标原点为其中点，现有一质量为、电荷量为的带正电粒子从电场中的点以速度沿轴负方向射出，恰好从坐标原点射入磁场，不计粒子重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)为使粒子从边射出磁场，求磁感应强度的取值范围； (3)调节磁感应强度的大小，当粒子能从边射出磁场时，求粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，由，， 可得 （2）设粒子进入磁场时速度与x轴负方向的夹角为 则有， 联立可得 故 进入磁场时的速度大小为 如图，当粒子圆周半径较大，轨迹恰好与ac边相切时 由几何关系可得，解得 又 联立可得 如图，当粒子圆周半径较小，轨迹恰好与bc边相切时 由几何关系可得，解得 又 联立可得 故磁感应强度的取值范围 （3）当粒子恰好与bc边相切时，从ab边飞出的粒子运动时间最长 此时， 解得 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标； (3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。 【答案】(1)， (2)（，L， ），（0，L, ） (3)，， 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得   由题可知 联立解得 故粒子圆周运动的周期 （2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律   由题可知 联立解得   粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动如图所示 初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长   对应z坐标有最大值 由几何知识可得该点x坐标为,其对应的坐标为（，L， ）   初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短 由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值   其对应的坐标为（0，L, ） （3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有， 其中 解得   所以d点坐标为   粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有， 解得 8．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，平行边界、间为区域II，宽度为，上方的区域I内有与纸面平行、垂直于向下的匀强电场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场， 下方的区域III内还有与纸面平行、垂直向下的匀强电场，两电场的电场强度均为。一个质量为、电荷量为的带正电的粒子在区域I中的A点由静止释放，粒子经电场加速、区域II中的磁场偏转，在区域II中的轨迹刚好与相切，A点离的距离为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从静止释放到第次经过所用的时间； (3)将粒子在区域I中的点由静止释放，点到的距离为，则粒子在区域III中的最大速度为多少。 【答案】(1) (2)n为奇数时，n为偶数时， (3) 【详解】（1）设粒子刚进区域II时的速度大小为，根据动能定理有： 解得 根据题意可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律 解得 （2）设粒子第一次在电场中运动的时间为，则 解得 粒子每次在磁场中运动的时间 粒子从静止释放到第n次经过PQ所用的时间 当n为奇数时： 当n为偶数时： （3）由题求得粒子进入区域III的水平分速度大小为，在区域III中运动的速度最大时，速度方向与MN平行，设最大速度为v，根据动量定理：， 即 根据动能定理 解得 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图所示，直角三角形的， 边长为，是直角边的中点，斜边固定一挡板，边界线垂直于挡板，在三角形内部有磁感应强度为方向垂直纸面向里的匀强磁场，在边界和的左侧有垂直边的匀强电场，以和为边界的右侧足够大范围内有另一个磁感应强度为（的大小未知，方向垂直纸面向外）的匀强磁场。如果在电场中与点相距的点由静止释放一个带正电的粒子（不计重力），结果粒子以速度垂直边进入三角形内磁场中，经磁场偏转后不再返回电场，直接垂直地打在斜边挡板上（并被挡板吸收）。 (1)求粒子的比荷以及匀强电场的电场强度大小； (2)在边上放一个可移动的粒子源，粒子源不间断地垂直边向磁场中射入前一问求得比荷的正粒子，调节粒子源在不同位置射入粒子的速度大小，结果从边上点左侧（包括点）射入的粒子经过一次磁偏转后全部能到达点，而从点右侧射入的粒子，无论怎么调节速度大小，都不能经过磁场的一次偏转到达点。 ①对于点左侧入射到磁场的粒子，设粒子入射位置离点距离为，粒子经一次磁偏转直接到达点对应的入射速度为，求随分布的函数关系式； ②对于从点入射到磁场的粒子，途过点，最终又恰好打在点，求挡板上方的匀强磁场的磁感应强度。 【答案】(1)， (2)①（）； ② 【详解】（1）依题意，从点释放的正离子，在磁场中运动轨迹的圆心在点，运动半径为，如图所示 由 有 解得粒子的比荷 粒子在电场中释放后，由动能定理 有 解得； （2）①对于与相距射出的粒子，如图所示，运动轨迹的圆心在 有 由 解得（其中） ②依题意，从点右侧射入的粒子，无论怎么调节速度大小，都不能经过磁场的一次偏转到达点，故对于从点射出的粒子，经过点时刚好与AC相切，设其射入速度为，运动的圆心在，运动轨迹半径为，如图所示 有 由 得 设粒子进入电场中加速度为 有 得 在电场中，把加速度分解到点速度的平行方向（即方向）和垂直方向，当粒子从点运动到边界上的点时，做类斜抛运动，经历时间 方向有 其中 得 的距离 其中 得 垂直方向有 得 合速度为 设速度偏角为 有 粒子从点出电场，进入挡板外的磁场，如前面图所示，其运动轨迹的圆心在，轨道半径为，令 有 得 由 解得。 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场Ⅰ的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，在与轴正方向成到与轴负方向成范围内，粒子源在坐标平面内均匀地向磁场内的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知从P点沿与轴负方向成射出的粒子恰好能沿轴正方向射出磁场Ⅰ，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场Ⅱ。磁场Ⅱ的磁感应强度大小是磁场Ⅰ的磁感应强度大小的k倍，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子从P点射出的速度大小v0； (2)取，当粒子从电场区域飞出时，求其速度方向与x轴正方向夹角的正切值的取值范围； (3)设接收屏到x轴的距离为d，是否存在这样的d值，使得从P飞进的所有粒子最终都能垂直打到接收屏上？如果能，求出d值；如果不能，请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)能， 【详解】（1）从P点沿y轴正向射入的粒子恰好通过Q点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，沿轴方向有 方向上有 其速度方向与轴正方向夹角的正切值为 联立解得 从点沿与轴负方向成射出的粒子，经过y轴的位置坐标 根据几何关系可知 又 联立解得 则有 取，粒子经过轴时其坐标的取值范围为 联立解得 （3）粒子从电场飞出进入磁场II时，其速度 粒子在磁场区域做匀速圆周运动满足 要使粒子最终都能垂直打到接收屏上，必须满足粒子在磁场II区域内做匀速圆周运动的圆心必须落在接收屏上，如下图所示 接收屏到轴的距离 磁场、区域的磁感应强度的大小关系有 联立解得 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，长为L＝0.8m的轻杆竖直放置，上端与小球A相连，下端用光滑转轴固定于水平桌面上。小球A恰好与立方体B接触，B的右侧紧贴放置一小物体C；距离物体C足够远处，静止放置带负电的小物体D；D的右侧空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。D到桌面右端距离d＝0.5m，桌面距地面高度H＝0.75m。A受微小扰动后，杆与A向右转动，B、C一起向右运动。A与B刚分离时，A受到杆的弹力为零；B离开A后，用外力制动，C继续向右运动与D碰撞（仅发生一次碰撞且碰撞时间极短）；碰撞后，D减速运动并离开桌面，第一次落地时与桌面右端的水平距离m。A、B、C和D满足的质量关系为；kg，D所带电荷量q＝0.1C且始终保持不变；D与桌面间动摩擦因数，其余各处摩擦不计；电场的场强E＝1N/C，磁感应强度T，重力加速度g取10。求： (1)物体D离开桌面时速度大小； (2)物体C与物体D碰撞后，物体D速度大小； (3)物体C与物体D碰撞过程中损失的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，物体D带负电，离开桌面后，由于，所以物体D在洛伦兹力作用下沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示，设半径与竖直方向夹角为 根据几何关系有 解得R＝0.5m 根据牛顿第二定律有 解得 （2）设物体D在桌面上向右运动，任意时刻的速度为，受力分析如图所示 根据牛顿第二定律，竖直方向有，水平方向有 由于 解得 从碰撞结束到物体D离开桌面过程中，取一个很短的时间间隔，根据动量定理有 两边求和 有 解得 （3）设A与B刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰好为θ，依题意，此时小球A受到杆的弹力为零，对小球A，根据牛顿第二定律有 此时A与B水平方向速度相同，有 对小球A和物体B、C，从开始释放到A与B刚脱离接触的瞬间，根据机械能守恒定律 有 解得θ＝30°，m/s 之后物体C继续向右运动，与物体D碰撞，对物体C和D，以水平向右为正，根据动量守恒定律有 解得 根据能量守恒定律有 解得 12．（2025·浙江温州·一模）如图甲所示，2025年8月26日，国际上首个运行的超大规模和超高精度“幽灵粒子”探测器在我国建成并投入使用。为研究高能粒子控制与探测，研究小组设计了如图乙所示的粒子控制与探测一体化模型。在xOy平面存在沿x轴正方向的匀强电场E，以O点为圆心的圆形区域内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场B。在坐标原点固定一小块含的物质，衰变成，继续衰变成，设衰变后产生的、粒子向xOy平面各个方向均匀发射。磁场圆边界处有可移动的粒子探测器，可探测到从不同区域离开边界的粒子。已知粒子的比荷为k，电子的比荷为3672k，、粒子沿各个方向的最大速度分别为v与10v，圆形磁场的半径为R，不计空气阻力、粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑相对论效应。 (1)请写出的衰变方程； (2)将E调到0，为使所有粒子均不离开磁场，求磁感应强度B的最小值； (3)将B调到0，若探测器在x≥0的圆边界处均能探测到粒子，求电场强度E的范围； (4)将B调到B0，若存在一些初速度为0的粒子，探测器探测到这些粒子离开圆弧边界时的速度与y轴平行，求电场强度E的最大值。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）发生衰变，根据质量数守恒和电荷数守恒，可得 （2）粒子在磁场中做圆周运动（或）     由于（或 r=0.5R 或） 对粒子 对粒子 因此取 （3）设第二象限内与y轴正向夹角为的粒子，刚好从y轴离开圆边界，x轴方向 y轴方向     解得 当时， 因此（或） （4）把粒子分解成沿y轴正方向以v0做匀速直线运动，以及以v0逆时针匀速圆周运动，满足 即 即 x 轴方向x=2r y 轴方向y=v0t     由几何关系     结合，其中 求得 当n=0时， 13．（25-26高三上·广东·开学考试）如图所示，平行于轴放置的一对平行金属板，下极板与轴重合，板间距离为，两板间加有恒定电压，两板间有垂直于坐标平面向里、磁感强度大小为的匀强磁场。平行板左侧有两个与轴相切的半圆形磁场区域Ⅰ、Ⅱ，其圆心和均在轴上，磁场区域Ⅰ、Ⅱ的半径分别为和，磁场区域Ⅰ的磁感应强度大小为，方向垂直于坐标平面向里。现有宽度为的质子束从平行金属板的右侧以一定速度射入后在板间做直线运动，发现距离轴不大于的范围内的质子都能从磁场区域Ⅰ经过原点进入磁场区域Ⅱ，最后垂直打到与轴平行放置的感光底片上。已知质子的电荷量为，不计质子重力及质子间的相互作用力，入射质子沿轴方向分布均匀，求： (1)质子射入磁场区域Ⅰ时的速率； (2)质子的比荷和磁场区域Ⅱ的磁感应强度； (3)若单位时间有个质子从平行金属板左侧穿出，所有打到感光底片上的质子均被吸收，求感光底片上有质子到达区域单位长度所受质子平均冲击力大小？ 【答案】(1) (2)，，垂直于坐标平面向外 (3) 【详解】（1）质子沿直线通过平行金属板，其受到的电场力与洛伦兹力平衡，即 解得 （2）质子进入磁场区域Ⅰ后，需汇聚到点才能进入磁场区域Ⅱ，由几何关系得，质子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的半径 对质子在磁场区域Ⅰ，由洛伦兹力提供向心力得 解得 质子进入磁场区域Ⅱ后，最终垂直打在感光底片上，由几何关系可知质子在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的半径 对质子在磁场区域Ⅱ，由洛伦兹力提供向心力得 解得 由左手定则可知磁感应强度方向垂直坐标平面向外。 （3）由题意可知，只有距离轴范围内的质子才能击中感光底片，设感光底片受到的平均冲击力为，时间内击中的质子个数为 由动量定理得 结合（2）问中荷质比结论可解得 由几何关系得，感光底片只有上端的范围内有质子击中，则感光底片单位长度受到的冲击力 解得 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，整个平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为，电场强度大小为，一些质量为，电荷量为的带正电粒子从原点点出发沿轴正方向以某初速度射入场区，不计粒子重力，求： (1)粒子初速度多大时，粒子沿轴做直线运动？ (2)粒子初速度多大时，粒子运动到最高点时速度刚好为0？ (3)若粒子一个周期内的运动轨迹与直线只有一个交点，求粒子初速度和运动过程中经过轴时的坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子沿轴做直线运动，有 解得 （2）假设最高点离轴的距离为，由动能定理 水平方向动量定理 联立两式，解得 （3）设粒子的初速度大小为，粒子的运动轨迹与直线只有一个交点，则粒子在最低点与直线相切。 配速法：将粒子的初速度用两个速度替代，即，其中，将电场力抵消，另一分速度受到洛伦兹力提供向心力，粒子的实际运动可看做以为线速度做匀速圆周运动和以做匀速直线运动的合运动，洛伦兹力提供向心力，有 得轨道半径 由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 粒子运动过程中经过轴时的坐标为 解得 15．（2025·海南海口·模拟预测）如图1所示，离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束正离子，其初速度可忽略不计。离子经电场U加速后竖直向上进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场区域Ⅰ。水平射出后匀速通过叠加场区域Ⅱ，区域Ⅱ中磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，电场方向为竖直方向（未画出），离子最后打在与区域Ⅱ右端荧光屏上的O点。以O为原点，建立如图坐标系。不计离子重力和离子间作用力及阻力，求： (1)加速电场电压U的大小； (2)叠加场中电场强度的大小与方向： (3)如图2所示，区域Ⅱ宽度为，撤去区域Ⅱ中电场，粒子从区域Ⅱ右侧射出后打在y轴上M点。在y轴正向铺设足够长的光滑绝缘板（厚度不计），离子打到板上后垂直板方向的碰后速度总是碰前该方向上速度的0.5倍，平行板方向上分速度不变，在板左边有边界垂直于y轴的有界磁场区域Ⅲ。磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，磁场水平方向足够长，下边界在M点，磁场宽度，d＝0.9R，求离子在磁场Ⅲ中与板碰撞的次数（M点除外）。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3)3次 【详解】（1）在加速电场中，有 以速度v进入磁场I后刚好水平出射，由几何关系可知半径 即有 解得 （2）在叠加场区域II中，电场力与洛伦兹力等大反向，所以电场方向竖直向下，且 计算得 （3）在区域II内偏转时半径依然为R，从板间射出时速度方向与竖直方向夹角设为，根据几何关系有 解得，从区域II出射时速度方向与竖直方向成30°角。 此时速度沿光屏方向的分量为，垂直光屏的分量为 第一次碰撞后速度垂直面的速度变为 此时的合速度，角度与竖直方向夹角变为 在磁场中运动的半径为 第1次与第2次打在板上的落点之间距离为 代入数据可得 同理可得，第2次与第3次打在板上的落点直接距离为 第3次与第4次打在板上的落点之间距离为 第n次与第n+1次打在板上的落点之间距离为 时，n的最大整数为3， 则会碰撞3次。 16．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图甲所示，真空中建立一个平面直角坐标系。紧靠轴左侧有一对水平放置的平行金属板，板间距离为，中轴线沿轴，板间所加交变电压随时间的变化图像如图乙所示，时刻上极板电势高。轴右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，在轴右侧一定距离处有一个荧光屏。现有大量质量为、电荷量为的粒子以初速度沿轴正方向持续不断地射入两板间，所有粒子均可以从板间射出并进入轴右侧范围足够大的复合场，两板间的粒子穿过两板的时间等于交变电压的周期。当，电场强度与磁感应强度的大小关系为，为已知量，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求： (1)时刻进入两板间的粒子从板间射出时沿轴方向速度的大小； (2)若能让粒子垂直打到荧光屏上，荧光屏距离轴的最小距离； (3)若荧光屏处在第（2）问的位置，粒子打到荧光屏上轴的坐标范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在平行板中运动过程，由动量定理得 代入已知量解得 （2）方法一：由第（1）问可知，粒子从平行板间射出时速度相同，粒子在轴右侧区域运动过程中：由牛顿第二定律得 设粒子在复合场中运动周期为，则 沿方向由动量定理得 全程累积得 联立解得 方法二：粒子从平行板间射出时同时参与了沿轴正向的初速度为的匀速直线运动，和顺时针旋转的速度为的匀速圆周运动，四分之一周期后速度第一次垂直于屏，四分之一周期内匀速运动位移 四分之一周期内圆周运动水平位移 最小距离 （3）时刻进入的粒子，在平行板中方向的位移为 时刻进入的粒子：运动时的速度为为 粒子在复合场中运动过程中 所有粒子均向上平移，故 则荧光屏上坐标范围为 粒子打到荧光屏上轴的坐标范围 17．（2025·河南·模拟预测）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x=L的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角θ最大值为60°，且速度大小与θ角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为v0（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为（L，L）的P点；②当离子的入射速度大小为v1（未知），方向与y轴夹角60°入射时，离子垂直通过x=L界面。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求①情况下v0的大小； (2)求②情况下离子到达x=L界面时与x轴之间的距离； (3)若离子入射速度大小随θ变化的关系，在界面x=L右侧加一宽度也为L且平行于+x轴的匀强电场，如图所示。为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面x=L，求所加电场的电场强度至少为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）当离子沿y轴正方向以大小为的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点，由几何关系可得 由牛顿第二定律有      联立解得 （2）若离子与y轴夹角向左上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 离子到达界面时与x轴之间的距离 若离子与y轴夹角向右上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 离子到达界面时与x轴之间的距离 （3）离子入射速度大小随变化的关系为 由牛顿第二定律有    离子运动半径为 可知，圆心一定在界面上，即离子一定垂直通过界面，当时，通过界面的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面即可，此时速度 恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为，对该离子竖直方向运用动量定理有 两边求和可得 又由动能定理得      联立解得 18．（2025·湖南常德·三模）三维直角坐标系的oxy平面与水平面平行，空间存在与z轴平行的周期性变化的匀强磁场和匀强电场（图中没有画出），磁场和电场随时间变化规律分别如图甲和乙所示，规定沿z轴正方向为匀强磁场和匀强电场的正方向，不考虑磁场和电场变化而产生的感生电磁场的影响。在t＝0时刻，一个质量m，带电量+q的小球，以速度v0从坐标原点O点沿y轴正方向开始运动，小球恰好沿圆周运动，已知重力加速度为g，图中t0已知，，而E0未知。求： (1)求E0的大小 、画出0~2t0时间内小球的运动轨迹； (2)3t0时刻小球的位置坐标； (3)20t0时刻小球在z轴的位置坐标。 【答案】(1)； (2)（，，） (3) 【详解】（1）内，小球在xOy平面内做匀速圆周运动有得 小球做圆周运动周期 得 可知轨迹如图示 （2）内小球做圆周运动半径为r， 内，小球做匀速直线运动 内，小球在水平面内做匀速圆周运动，正好运动半周，竖直方向上做 自由落体运动，下落距离 可知时，小球位置坐标（x，y，z） （3）小球在水平面内运动具有周期性，时小球恰好沿x轴正向平移了4r，时，，小球在竖直方向上 第一个内不运动，竖直位移 第二个做加速运动，竖直位移 第三个再匀速 由v-t图意义可知公差为∆d=2gt02 时刻小球z轴上坐标为 19．（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，在空间直角坐标系、区域内存在沿z轴负方向的匀强电场，在区域内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在区域内还可以施加沿x轴方向的交变电场和沿z轴方向的交变电场。一质量为m、电荷量为（）的粒子从yOz平面内的点沿着与z轴正方向成某一角度的方向射出，经电场偏转后恰好从原点O沿y轴正方向以速度v进入磁场和交变电场区域，当粒子经过原点O时开始计时，交变电场、随时间变化的规律分别如图乙、丙所示，图乙中电场的正方向沿x轴正方向，图丙中电场的正方向沿z轴正方向，图乙、丙中，不计粒子重力。 (1)求粒子从P点射出时的速度； (2)若仅在区域内施加如图乙所示的沿x轴方向的电场，求时刻粒子的速度大小； (3)若在区域内同时施加如图乙、丙所示的交变电场、，求粒子相邻两次经过原点O的时间间隔及粒子在运动过程中与xOz平面间的最大距离。 【答案】(1)，速度方向与z轴正方向间的夹角 (2) (3), 【详解】（1）粒子偏转的逆过程可视为类平抛运动沿y轴负方向，有 沿z轴负方向，有 联立可得粒子从P点射出时速度的大小 速度方向与z轴正方向间的夹角 解得 故粒子从P点射出时的速度与z轴正方向间的夹角为，斜向右上方。 （2）粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，沿x轴方向做往返运动。粒子在yOz平面内做圆周运动，则有 解得 根据 可得粒子做圆周运动的周期 在 时刻，粒子沿x轴方向的速度 此刻粒子的速度大小 （3）粒子在复合场内可视为沿yOz平面和沿x轴方向的合运动。粒子在yOz平面内的运动，在时间内，在yOz平面内做圆周运动的半径 粒子在时间内，粒子做滚轮线运动，可视为沿y轴的匀速运动和在yOz平面内圆周运动的叠加，匀速直线运动的速度满足 解得 其运动轨迹的示意图如图所示 粒子在运动过程中与xOz平面间的最大距离 由原点出发回到x轴的时间（、2、3……） 粒子沿x轴方向做往复运动，回到yOz平面的时间（、2、3…） 粒子连续两次经过原点的时间间隔，应是粒子在yOz平面内回到x轴和沿x轴方向回到yOz平面所需时间的最小公倍数 20．（2025·江西·模拟预测）如图，间距为d的平行板M、N间有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，两板间加有恒定电压，在过两板右端的竖直线PQ右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等，足够大荧光屏垂直于纸面固定在PQ上。一粒子源以速度大小，不断地沿两板间的中线向磁场Ⅰ内射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子在两板间做直线运动，从O点进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转，粒子打在荧光屏上的A点（未标出），A、O两点的距离为d，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)两板间所加电压U的大小； (2)若撤去磁场Ⅰ，结果粒子打在荧光屏上的位置离A点的距离为，则极板的长度L为多少？ (3)若两极板足够长，调整两极板间的电压，使粒子能进入磁场Ⅱ，则两板间的电压最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设匀强磁场的磁感应强度大小为B，根据题意，粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律 在磁场Ⅰ中运动时，根据力的平衡 解得 （2）撤去磁场Ⅰ后，粒子在两板间做类平抛运动，设粒子进磁场Ⅱ时的位置在C点，在C点进磁场Ⅱ时速度与PQ的夹角为，则粒子进磁场Ⅱ时的速度大小 设粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律 设粒子打在荧光屏上的位置到C点的位置距离为s，则 联立且结合，可得 由此可见，粒子在电场中的侧移为，由， 解得 （3）当两板间的电压最小为时，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹刚好与上板相切，设粒子轨迹与上板刚好相切时的速度大小为，根据动能定理有 根据动量定理 又，即 由（1）求得 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $