精品解析：江苏省南通市2025-2026学年上学期第四次集中作业数学

2025~2026学年度第一学期第四次集中作业 初二数学 （总分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判断，根据定义逐个判断，即将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故该选项符合题意； D、是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000075=7.5×10-6， 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，是最简二次根式，故符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，正确运用各运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项相关运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 已知：如图，，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解决本题的关键是熟练地掌握全等三角形的判定方法．由已知条件可知，，如果增加的条件与已知的条件符合全等三角形判定方法中的任何一种，则可以判定三角形全等，否则不能判定全等． 【详解】解：在和中，已知，， 再添加，根据可证， 故A选项不符合题意； 再添加，根据可证， 故B选项不符合题意； 再添加，根据可证， 故C选项不符合题意； 再添加， 则对应相等的条件的位置关系是，不能判定， 故D选项符合题意． 故选：D． 6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案：A． 8. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用解分式方程的步骤解出方程的解，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 去分母，得 x+m-3m=3(x-2) 解得x=3-m ∵3-m≠2 ∴m≠1 又分式方程的解为正实数 ∴3-m＞0 ∴m＜3 ∴实数m的取值范围是 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式的解，熟练掌握分式方程和分式方程有解的判断方法是解决本题的关键． 9. 中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，完全平方公式的应用，全等三角形的判定和性质，设，，根据正方形的性质及得，进而可得，将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形得，再利用面积的数量关系即可求解． 【详解】解：如图， 设，， ∴， ∵四边形、、都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵剪拼成不重叠无缝隙的大正方形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 即（负值舍去）， ∴， 故选：B． 10. 已知为实数且满足，设，则下列两个结论（ ） ①时，时，；时，；②若，则． A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错 【答案】C 【解析】 【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论； ②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ①当时，， ， 当时，， ， 当时，，或， 或， 或； 当时，和可能同号，也可能异号， 或，而， 或； ①错； ② ， 原式 ，， ， ， ，． ②对． 故选：． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用． 二、填空题（本大题共6小题，第11-12题每小题3分，第13-16题每小题4分，第16题每空2分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 当分式的值为0时，的值为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， ∴的值为3． 12. 点关于轴的对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的对称点的特征，直角坐标系中对应点的坐标变化规律：关于轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标相反；关于轴的对称点坐标横坐标相反，纵坐标不变，据此即可解答． 【详解】解：点关于轴的对称点B的横坐标不变，为；纵坐标变为相反数，即， 因此点B的坐标为． 故答案为：． 13. 分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理计算出，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，，解得． ∴的长为． 故答案为：． 15. 已知为等边三角形，，M在边所在直线上，点N在边所在直线上，且，若，则的长为______． 【答案】4或36##36或4 【解析】 【分析】分两种情形：①当点在的延长线上时，作于．②当点在的延长线上时，作于．分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ①如图，当点在的延长线上时，作于． 在中， ，，， ∴， ， ， ，， ， ． ②如图，当点在的延长线上时，作于， 在中， ，，， ∴， ， ， ，， ， ， 故答案为：4或36． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 16. 如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是______； （2）若，且，则______． 【答案】 ①. 10 ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解和计算： （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用二次根式的性质进行化简，再运算括号内的减法，然后运算除法，最后运算乘法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），再从2，3，4中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】（1），6 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算平方差公式以及完全平方公式，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，得，再把，代入计算，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得，理解题意，结合分母不为0，把代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 把，代入，得． 【小问2详解】 解： ， ∵ ∴ 依题意，把代入，得， 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________； （3）在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹． （4）在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________． 【答案】（1）如下图所示； （2） （3） 如图，点即为所求； （4） 【解析】 【分析】（1）首先确定点关于轴的对称，然后顺次连接即可； （2）结合图形，即可获得答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可获得答案； （4）在轴上取点，结合勾股定理可得，，再结合，利用“”可证明，即可获得答案． 【小问1详解】 解：作出关于轴的对称图形； 【小问2详解】 解：由图可知，点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如下图，在轴上取点， 则，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换、最短路径问题、勾股定理、全等三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 20. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 为了倡导学生科学探索精神，某校九年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话． 小明：你好！我看到你店的B型材料单价比A型材料单价贵15元，我准备买A型材料120元，购B型材料150元． 网店商家：好的，那就是购买A型材料的数量是B型材料的2倍． 根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？ 【答案】商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件．根据题意列出关于x的分式方程， 解方程即可求解． 【详解】解：设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件． 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， ∴商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件． 22. 命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． （1）请依据命题画出图形，并写出已知，求证； （2）写出证明过程． 【答案】（1） 解： 已知：如图，在中，，． 求证：． （2） 证明：∵在中，，， ∴， 延长至，使得，连接，如图： ∵，， 则垂直平分， ∴， 故是等边三角形， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的证明．根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，结合线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质即可求解． （1）根据要求，画出，且，，即可； （2）延长至，使得，连接，根据线段垂直平分线的判定得出垂直平分，进一步得出，结合三角形内角和定理得出，根据等边三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）；（2）32；（3）80；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式时解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以利用这个图形可以验证公式． 故答案为：． （2）， ， 当，时， ． 故答案为：32． （3），， ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 24. 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形． （2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值． （3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 【答案】（1）锐角 （2）x的值为13或 （3） 这个三角形是直角三角形．过程如下： ∵ ， ∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，即可得出结论； （2）由勾股定理可得或，求解即可； （3）由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 ∵， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； 【小问2详解】 ∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或（负值均舍去）， ∴x的值为13或． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键． 25. 【问题情境】 数学活动课上，王老师提出下面的问题： 如图1，在中，，（），点D是边上一点（不与点B，点C重合），连接，以直线为对称轴作关于直线对称的． 【问题探究】 （1）如图2，若，连接并延长与直线相交于点F． ①与有怎样的位置关系？为什么？ ②求证：． 【综合应用】 （2）如图3，当时，直线与直线相交于点F，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】 （1）解：①，理由如下： ， ， 与关于直线对称， ， ， ． ②，， ，， 由①知， ， ， ∵与关于直线对称， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2），理由如下： 延长到点M使得 ∵与关于直线对称， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定； （1）①由可得，再由与关于直线对称可得，进而得到，可判断出； ②由可证明，得到，可得，最后得到； （2）延长到点M使得，先证明可得，，进而得到，再由等腰三角形的性质可得. 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第四次集中作业 初二数学 （总分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 10. 已知为实数且满足，设，则下列两个结论（ ） ①时，时，；时，；②若，则． A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错 二、填空题（本大题共6小题，第11-12题每小题3分，第13-16题每小题4分，第16题每空2分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 当分式的值为0时，的值为__________． 12. 点关于轴的对称点的坐标是________． 13. 分解因式： ________． 14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是______． 15. 已知为等边三角形，，M在边所在直线上，点N在边所在直线上，且，若，则的长为______． 16. 如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是______； （2）若，且，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解和计算： （1）因式分解：； （2）计算：． 18. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），再从2，3，4中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________； （3）在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹． （4）在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________． 20. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 为了倡导学生科学探索精神，某校九年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话． 小明：你好！我看到你店的B型材料单价比A型材料单价贵15元，我准备买A型材料120元，购B型材料150元． 网店商家：好的，那就是购买A型材料的数量是B型材料的2倍． 根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？ 22. 命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． （1）请依据命题画出图形，并写出已知，求证； （2）写出证明过程． 23. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 24. 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形． （2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值． （3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 25. 【问题情境】 数学活动课上，王老师提出下面的问题： 如图1，在中，，（），点D是边上一点（不与点B，点C重合），连接，以直线为对称轴作关于直线对称的． 【问题探究】 （1）如图2，若，连接并延长与直线相交于点F． ①与有怎样的位置关系？为什么？ ②求证：． 【综合应用】 （2）如图3，当时，直线与直线相交于点F，试猜想与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $