第9讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 讲义 -2026届高三物理人教版二轮专题整合突破

第9讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 第9讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 1 1 一．常见命题角度： 1 二．常用方法： 2 三．思维导图 2 2 14 一．磁场基本性质与安培力 14 【题型1：磁感应强度的叠加与计算】 14 【题型2：安培力的分析与计算】 15 二．洛伦兹力与带电粒子在匀强磁场中的基本运动 16 【题型1：洛伦兹力的理解与应用】 16 【题型2：带电体在匀强磁场中的运动】 17 三．带电粒子在有界匀强磁场中的运动 18 【题型1：单一有界磁场中的运动】 18 【题型2：临界、极值与多解问题】 19 【题型3：磁聚焦与磁发散模型】 22 四．带电粒子在组合场中的运动 24 【题型1：电场与磁场组合】 24 【题型2：磁场与磁场组合】 25 五．带电粒子在叠加场中的运动与交变电磁场中的运动 26 【题型1：电场、磁场、重力场共存】 26 【题型2：带电粒子在交变电磁场中的运动】 28 29 一：基础练 29 二：提能练 34 三：拔高练 39 一．常见命题角度： 1. 磁场与安培力及洛伦兹力的概念：磁感应强度叠加；安培力与洛伦兹力的计算、方向判断。 2. 粒子在有界磁场中的运动：直线、平行、圆形、三角形等边界下的单粒子圆周运动；侧重几何轨迹（圆心、半径、偏转角）与运动时间。 3. 临界、极值与多解问题：利用“动态圆”（旋转圆、放缩圆、平移圆）分析速度、磁场范围、时间等临界条件；考虑粒子电性、方向、临界状态、运动周期性导致的多解。 4. 典型模型与应用：磁聚焦与磁发散（圆形磁场）；组合场（电场+磁场，如质谱仪、回旋加速器）；叠加场（电场、磁场、重力场共存，如直线、圆周、复杂运动）；交变电磁场中周期性或往复运动。 二．常用方法： 1. 运动分析：定圆心（两洛伦兹力垂线交点/弦中垂线）、求半径（物理公式结合几何关系）、算时间（）。 2. 几何作图与数学工具：熟练运用圆、三角形的几何关系是核心。 3. 动力学与能量观点：牛顿第二定律用于受力分析；动能定理、能量守恒定律在组合场、叠加场中常用。 4. 等效法：在叠加场中将电场力与重力合成等效重力，简化分析。 5. 分解与合成：分析粒子在立体空间（如螺旋线）或复杂轨迹的运动。 三．思维导图 1.(2025·湖北省·高考真题)如图所示，在磁感应强度大小为的匀强磁场中，放置一通电圆线圈，圆心为点，线圈平面与磁场垂直。在圆线圈的轴线上有和两点，它们到点的距离相等。已知点的总磁感应强度大小为零，则点的总磁感应强度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由安培定则可以判断出电流在圆线圈轴线上产生的磁场方向相同，因为点和点在圆线圈轴线上，且它们到点的距离相等，则通电圆线圈在点和点产生的磁感应强度大小相等、方向相同，又因为匀强磁场大小和方向处处相同，则通电圆线圈和匀强磁场在点和点的叠加磁场相同，点的总磁感应强度大小与点相等，也为，A正确。 2.(2025·福建省·高考真题)如图所示，空间中存在两根无限长直导线与，通有大小相等，方向相反的电流。导线周围存在、、三点，与关于对称，与关于对称且，初始时，处的磁感应强度大小为，点磁感应强度大小为，现保持中电流不变，仅将撤去，求点的磁感应强度大小(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据安培定则，两根导线在点处产生的磁感应强度方向相同大小相等，则单根导线在点处产生的磁感应强度大小为，根据对称性，两根导线在处的磁感应强度大小与点一样，为，根据对称性，在点处产生的磁感应强度为，由于在点处产生的磁感应强度大于在点处产生的磁感应强度，且方向相反，将撤去，点的磁感应强度为，故B正确，ACD错误。 故选：。 3.(2025·安徽省·高考真题)如图，在竖直平面内的直角坐标系中，轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第二象限内，垂直纸面且平行于轴放置足够长的探测薄板，到轴的距离为，上、下表面均能接收粒子。位于原点的粒子源，沿平面向轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为、质量为、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(    ) A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B. 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D. 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C  【解析】A.根据洛伦兹力提供向心力有  ，可得  ，故A错误； B.当粒子沿轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离轴最近，如图轨迹，根据几何关系可知  ；当粒子恰能通过点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离轴最远，如图轨迹，根据几何关系可知，  ，故上表面接收到粒子的区域长度为  ，故B错误； C.根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面点；当粒子沿轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离轴最远，如图轨迹，根据几何关系此时离轴距离为，故下表面接收到粒子的区域长度为，故C正确； D.根据图像可知，粒子恰好打到下表面点时转过的圆心角最小，用时最短，有  ，故D错误。 故选C。 4.(2026·安徽省·高考真题)某同步加速器简化模型如图所示。其中仅直通道内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场。带电荷量为、质量为的离子以初速度从处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为，磁场区域中离子的偏转半径均为。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是(    ) A. 偏转磁场的方向垂直纸面向里 B. 第次加速后，离子的动能增加了 C. 第次加速后，离子的速度大小变为 D. 第次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【答案】A  【解析】A.直线通道  有电势差为  的加速电场，粒子带负电，则粒子运动方向为  ，要使粒子可以在通道中循环加速，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，故A正确； 根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为  ，由于洛伦兹力不做功，则加速次后，带电粒子的动能增量为  ，故BC错误； D.加速次后，由动能定理有 ， 解得 ， 粒子在偏转磁场中运动的半径为  ，则有 ， 联立解得 ， 故D错误。 故选A。 5.(2026·河北省·高考真题)（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。板点处正上方点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过板点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定带正电 B. 若间距增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C. 粒子打到板上表面的位置与点的最大距离为 D. 粒子打到板下表面的位置与点的最小距离为 【答案】BCD  【解析】A.根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B.随着粒子不断打到极板上，极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达极板时满足  ， ，解得 ，即越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C.因粒子发射方向与夹角为时恰能垂直穿过板点的小孔，则由几何关系 ，解得，可得 ，粒子打在板上表面的位置与点距离最大时，轨迹圆弧对应的弦长为直径，可得粒子打到板上表面的位置与点的最大距离为 ，当极板吸收一定量的粒子后，粒子再从点射入极板，会返回再从在点射出，后继续做圆周运动，这时打板在板上表面的位置，则粒子打在板上表面的位置的最大距离为，故C正确 D.因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为长度时，粒子仍可从点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与板夹角为，则在两板间运动时间 ，其中 ，打到板下表面距离点的最小距离  6.(2025·福建省·高考真题) （多选）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平向右的匀强电场，一带电体在复合场中恰能沿着做匀速直线运动，与水平方向呈，水平向右。带电量为，速度为，质量为，当粒子到时，撤去磁场，一段时间后粒子经过点，则(    ) A. 电场强度为 B. 磁场强度为 C. 两点的电势差为 D. 粒子从时距离的距离最大值为 【答案】BC  【解析】由题意可知，未撤磁场之前，带电体在复合场中恰能沿着做匀速直线运动，可知带电体受力情况如图所示。  带电体匀速运动，受力平衡可知，解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。 C.当粒子到撤去磁场后，粒子所受合力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。 且加速度，粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度偏转角的正切值，所以粒子在点的速度，到过程，由动能定理，有 ，解得两点间的电势差，C正确 D.将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且，故粒子能向上运动的最大距离，D错误 故选BC。 7.(2026·河北省·高考真题)（多选）年月日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上点有、、三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知、、带正电且比荷均为，粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；和粒子速度方向相反且与粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(    ) A. 外圆半径等于 B. 粒子返回点所用的最短时间为 C. 、粒子返回点所用的最短时间之比为 D. 粒子的速度大小为 【答案】BD  【解析】由题意，作出  粒子运动轨迹图，如图所示 粒子恰好到达磁场外边界后返回，粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到点， 根据粒子的速度大小为  可得  设外圆半径等于  ，由几何关系得  则  A错误； B.由项分析，粒子返回点所用的最短时间为第一次回到点的时间  粒子做匀速圆周运动的周期  在磁场中运动的时间  匀速直线运动的时间  故粒子返回点所用的最短时间为  B正确； C.由题意，作出  粒子运动轨迹图，如图所示 因为、粒子返回点都是运动一个圆周，根据、带正电且比荷均为  ，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为，C错误； D.由几何关系得  洛伦兹力提供向心力有  联立解得  D正确。 故选BD。 8.(2025·四川省·高考真题) （多选）如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从点离开。取。则带电粒子(    ) A. 在Ⅰ区的轨迹圆心不在点 B. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为 C. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为 D. 在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为 【答案】AD  【解析】A.根据题意可知粒子的运动轨迹如图所示， 由图可知，在Ⅰ区的轨迹圆心不在点，故A正确； B.由洛伦兹力提供向心力 ，可得  故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为  故B错误； D.设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为，由几何关系 ，可得  故粒子在Ⅰ区运动的时间为  粒子在Ⅱ区运动的时间为  联立可得在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之上比为  故D正确； C.粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度分别为   故在区和Ⅱ区的轨迹长度之比为  故C错误。 故选AD。 9.(2025·云南省·高考真题)磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为未知。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为未知，但满足。某质量为、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直轴射入区域，经磁场偏转后刚好从中点垂直射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压、间距、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 求该粒子通过速度选择器的速率 求以及轴上可能检测到该粒子的范围 定义磁屏蔽效率，若在处检测到该粒子，则是多少 【答案】解：根据、、，解得：。 根据几何关系得，根据，解得， 由于，，得， 根据几何关系得：轴上可能检测到粒子的范围为。 粒子经过点，则根据几何关系得， 得 根据， 解得，所以。  10.(2025·湖南省·高考真题)如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 求粒子所带电荷量； 求磁感应强度的大小； 若粒子离开点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有  竖直方向做匀变速直线运动  ，  由闭合电路欧姆定律可得  联立可得  粒子进入磁场与竖直方向的夹角为  ，  粒子在磁场中做匀速圆周运动 由几何关系易得  联立可得  取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有  解得  粒子以  速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为  此时合速度与竖直方向的夹角为  合速度为  粒子做圆周运动的半径  最远距离为  11.(2025·内蒙古自治区·高考真题)如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取为静电力常量，粒子仍沿中的轨迹从点运动到点，求射入磁场的速度大小。 在问条件下，粒子从点射出磁场开始，经时间速度方向首次与点速度方向相反，求电荷量为的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为时，与该点电荷距离为处的电势。 【答案】解：由牛顿第二定律得： 由几何关系得：，则 由以上各式解得： 粒子还通过，依然做中相同半径的圆周运动，由牛顿第二定律得： ，结合问解得： 类比行星运动，正粒子的运动轨迹应当为圆锥曲线。可知点类比于近点，经时间速度方向首次与点速度方向相反此时为远点 。设速度反向点正粒子的速率为，距离负电荷的距离为，从点到速度反向点由能量守恒和面积定律可得： 其中：     由以上各式解得： 椭圆半长轴长度为： 若电荷以为半径绕电荷做匀速圆周运动由牛顿第二定律得： 电荷做半长轴为的椭圆运动的周期为，类比行星的开普勒第三定律可知： 故题中所所求时间 由以上各式解得： 一．磁场基本性质与安培力 聚焦磁场基本性质与安培力，典型考法涵盖通电直导线、圆环、螺线管等产生的磁感应强度矢量叠加计算，以及安培力方向判断、大小计算，分析通电导线在磁场中的平衡、加速或转动问题。常用类型与方法： 1. 磁感应强度叠加：矢量叠加原理计算空间合场强。 2. 安培力方向：左手定则判断。 3. 安培力大小：公式  计算。 4. 导线运动分析：结合受力平衡或牛顿定律分析运动状态。 【题型1：磁感应强度的叠加与计算】 1.(2025·陕西省·联考题)如图甲所示为多路导线输电时经常用到的一个六分导线间隔棒，用于固定和分隔导线，图乙为其截面图．间隔棒将条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点、、、、、上，为正六边形的中心．已知通电直导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比，假设、、三条输电直导线中电流方向垂直纸面向外，、、三条输电直导线中电流方向垂直纸面向里，所有直导线电流大小相等，其中导线对导线的安培力为，下列说法正确的是(    ) A. 点的磁感应强度方向垂直于向下 B. 、、、、根导线在导线处产生磁场的磁感应强度方向沿指向 C. 导线所受安培力方向沿指向 D. 导线所受安培力的合力为 【答案】D  【解析】A、由于正六边形关于中心点的对称性，故条输电导线在点产生的磁场正好抵消，故点的磁感应强度为零，没有方向，故A错误； 、通电直导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与导线的距离成反比，根据同向电流相互吸引，异向电流相互排斥，受力分析可知，导线受到、、、、根导线的合作用力沿方向指向，根据左手定则可知，磁场方向垂直于斜向上，故BC错误； D、假设六边形的边长为，则、、对的作用力分别为， ，， 同理，， 对的力为吸引力，对的力为排斥力，根据几何关系和矢量合成法则可知，，故D正确。 故选D。 【题型2：安培力的分析与计算】 2.(2025·河南省·联考题)如图所示，间距为的平行导轨沿水平方向固定，长为、质量为的导体棒垂直导轨放置，导轨的左端接有电动势为、内阻为的电源，再与一滑动变阻器串联整个空间存在斜向上与水平方向成的匀强磁场磁场与导体棒垂直，磁感应强度大小为，接通电路，当滑动变阻器的电阻值调为时导体棒刚好静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨、导体棒以及导线的电阻可忽略，重力加速度，下列说法正确的是(    ) A. 导体棒所受的安培力水平向左 B. 导体棒所受的安培力大小为 C. 导体棒与导轨间的动摩擦因数为 D. 若仅将磁场方向改为竖直向上，则导体棒沿导轨向左加速运动 【答案】BC  【解析】由电路可知，流过导体棒的电流方向从到，由左手定则可知导体棒所受的安培力方向与磁场垂直斜向左上方，A错误 对导体棒受力分析，如图所示，由闭合电路欧姆定律得，导体棒所受的安培力大小为，代入数据解得， B正确 水平方向上由力的平衡条件得，导体棒刚好静止，则有，又在竖直方向上有，解得，C正确 若仅将磁场方向改为竖直向上，则导体棒所受的安培力水平向左，大小为，导体棒与导轨间的最大静摩擦力为，显然导体棒仍刚好静止，D错误． 二．洛伦兹力与带电粒子在匀强磁场中的基本运动 聚焦洛伦兹力方向、大小判断及不做功特性，分析不同粒子受力与运动参数差异；结合匀强磁场中带电粒子匀速圆周运动，考查半径、周期、速度、比荷等参数的计算与比较。常见类型与方法： 1. 方向判断：左手定则确定洛伦兹力方向。 2. 大小计算：F = qvB sinθ（θ为v与B夹角）。 3. 不做功应用：速度大小不变，动能守恒。 4. 圆周参数：r = mv/(qB)、T = 2πm/(qB)求解运动特征。 5. 参数比较：通过比荷、速度分析不同粒子运动差异。 【题型1：洛伦兹力的理解与应用】 3.(2025·湖北省武汉市·联考题)如图所示，在一通有恒定电流的长直导线的右侧，有一带正电的粒子以初速度沿平行于导线的方向射出。若粒子所受重力及空气阻力均可忽略不计，现用虚线表示粒子的运动轨迹，虚线上某点所画有向线段的长度和方向表示粒子经过该点时的速度大小和方向，则如图所示的图景中可能正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：电流周围存在磁场，根据安培定则可知，导线右侧的磁场方向是垂直纸面向里的，带正电的粒子在磁场中运动受到洛伦兹力作用， 根据左手定则可以判断出粒子受到的洛伦兹力的方向向左，故粒子向左偏转； 又因为磁场不能改变粒子运动的速度大小，只会改变粒子运动的方向，故粒子的运动速度不变，故B正确，ACD错误。 故选：。 【题型2：带电体在匀强磁场中的运动】 4.(2025·河北省衡水市·联考题) （多选）如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，、足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，重力加速度取，则(    ) A. 滑块与木板先一起以的加速度做匀加速直线运动 B. 滑块开始相对于木板滑动的瞬时速度大小为 C. 滑块匀加速运动的时间为 D. 滑块最终的速度大小为 【答案】ACD  【解析】A.外力刚作用在木板上时，假设滑块与木板间不相对滑动，则整体的加速度大小为，滑块与木板间的摩擦力大小为，假设成立，故刚开始时，滑块随木板一起向左做匀加速直线运动，随着速度增大，滑块所受向上的洛伦兹力越来越大，滑块对木板的压力越来越小，滑块与木板间的最大静摩擦力越来越小，当滑块与木板间的最大静摩擦力减小到时，滑块与木板间开始出现相对滑动，此后随着滑块继续向左加速，所受洛伦兹力继续增大，滑块对木板的压力继续减小，滑块所受摩擦力继续减小，滑块的加速度也继续减小，当滑块所受洛伦兹力等于滑块重力时，滑块对木板压力为零，此时滑块的速度达到最大，故 A正确 B.最大静摩擦力，当时，滑块开始滑动，解得，B错误 C.滑块匀加速运动的时间，故C正确 D.滑块最终的速度满足，解得，故D正确。 故选ACD。 5.(2025·河北省衡水市·联考题) （多选）如图所示，在水平面上方建立空间直角坐标系，平面与水平面平行，轴正方向竖直向上，该空间存在相互垂直的匀强电场沿轴正向、匀强磁场沿轴正向。一个质量为、电荷量为的微粒以初速度从坐标原点射入，速度方向在平面内，与轴正向夹角为。若微粒能在射入后做匀速直线运动，下列说法正确的是(    ) A. 该磁场的磁感应强度大小为 B. 该电场的电场强度为 C. 若仅将电场方向改为沿轴正向，则微粒不可做匀速直线运动 D. 若仅将磁场方向改为沿轴正向，则微粒仍可做匀速直线运动 【答案】AC  【解析】由题意可得微粒受力情况，如下图所示。由平衡条件有，，解得，，故A正确，B错误。若仅将电场方向改为沿轴正向，则电场力沿轴，速度在平面内无分量，则方向合力不为零，微粒不可能做匀速直线运动，C正确磁场改为沿轴正向，洛伦兹力在平面内垂直于，无法平衡重力和电场力，D错误。 三．带电粒子在有界匀强磁场中的运动 聚焦带电粒子在有界匀强磁场中的运动，涵盖单一边界（直线/平行/圆形等）的“定圆心、求半径、算时间”几何分析；临界极值问题（如恰好射出磁场的动态圆模型）；多解问题（电性/磁场方向/速度方向不确定等）；磁聚焦与磁发散的特殊几何关系应用。常用方法： 1. 几何三步法：定圆心、求半径（r=mv/qB）、算时间（t=θT/2π）。 2. 动态圆模型：旋转圆/放缩圆/平移圆分析临界条件。 3. 多解分析：全面考虑电性、磁场方向、速度方向、周期性等因素。 4. 磁聚焦/发散：利用轨迹圆与磁场圆半径相等的特殊几何关系推导射出点或射入方向。 【题型1：单一有界磁场中的运动】 6.(2025·安徽省·联考题)如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B. 若粒子的速度，则粒子在磁场中运动的时间 C. 若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 【答案】D  【解析】A.若粒子恰好从点射出磁场，几何关系可知，粒子圆周运动半径为 根据洛伦兹力提供向心力，有  解得  ，故A错误； B.若  ， 则轨迹圆半径  这种情况粒子从点射出，可知圆心角为，运动时间为  ，故B错误； C.若粒子的速度  ， 则轨迹圆半径  则粒子从边射出，设粒子射出磁场时速度方向与轴正方向夹角为  ，则  ，故C错误； D.若粒子从边射出磁场，从点射出，可知圆心角为，时间最长且为  从点射出，可知圆心角为，时间最短且为  则粒子在磁场中运动的时间范围是  ，故D正确。 故选D。 【题型2：临界、极值与多解问题】 7.(2025·云南省昆明市·联考题)为防止宇宙间各种高能粒子对在轨航天员造成的危害，科学家研制出各种磁防护装置。某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面图如图所示，以点为圆心的内圆、外圆半径分别为、，区域中的危险区内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点处开有一小孔，在外圆绝缘薄板上再开小孔，在同一条直线上。一个粒子从左板内侧的点由静止释放，经电场加速后从点沿方向射入磁场，恰好不进入安全区，粒子每次与绝缘薄板碰撞后原速率反弹，最终从点离开磁场，已知质子的质量为、元电荷为、不计重力，两板间电压为，求： 粒子通过点时的速度大小； 磁感应强度的大小； 粒子在磁场中运动的时间。 【答案】解：粒子的电荷量为，质量为。粒子从点运动到点，根据动能定理有  解得粒子通过点时的速度 。 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为，作出粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有  解得 根据牛顿第二定律有  解得 。 设粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为  ，根据几何关系有  解得  粒子在磁场中运动的周期为  粒子从点到第一次与绝缘薄板碰撞所需时间为  粒子从点进入磁场到从点出磁场，共偏转了次  解得 。 8.(2026·河南省·月考试卷)如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为未知的匀强电场，分界线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为未知的匀强磁场，区域存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域后由分界线上的点图中未画出垂直分界线进入区域，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： 点的位置坐标； 带电粒子从点运动到点的时间； 粒子在区域中运动时，第次和第次经过轴的位置之间的距离。 【答案】粒子经过  点时的速度    经过点时的轴分速度    由类平抛规律有  ，  联立解得  粒子从  点到  点，由动能定理得  解得  粒子从  点到  点，由运动学公式有  联立解得  粒子从  点到点，其运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的半径  可知运动时间  则带电粒子从  点运动到  点的时间  粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力  解得  在点将速度分解为沿轴分速度和沿轴负向分速度  ，如图所示，设  对应的洛伦兹力与静电力平衡 这样粒子进入区域Ⅱ中的运动分解为以  的匀速直线运动和以  的匀速圆周运动，静电力等于洛伦兹力有  联立解得  则  设对应的匀速圆周运动的半径为  ，由洛伦兹力提供向心力有  联立解得  其运动轨迹如图所示 粒子从第次到第次经过  轴，共运动了个周期，时间  距离  联立解得  【题型3：磁聚焦与磁发散模型】 9.(2025·江西省·模拟题)如图，在平面直角坐标系的第一、二象限内有沿轴负方向的匀强电场大小未知，在以坐标为的点为圆心、半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场大小未知。在坐标为的点沿轴正方向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子射出的速度大小为，粒子从坐标原点进入磁场，并以平行轴的方向射出磁场，不计粒子的重力，则(    ) A. 匀强电场的电场强度大小为 B. 匀强磁场的磁感应强度大小为 C. 粒子出磁场时的位置离轴的距离为 D. 将此粒子在轴上由静止释放，粒子经电场加速、磁场偏转后也能以平行轴飞出磁场，则粒子释放的位置坐标为 【答案】AC  【解析】A.粒子在电场中做类平抛运动，由  ， ，解得 ，项正确； B.粒子进入磁场时的竖直速度  则进入磁场时的速度为  方向与轴夹角为；根据磁聚焦特点结合几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为  ，根据牛顿第二定律  解得 ，项错误； C.根据几何关系，粒子出磁场时的位置离  轴的距离为 ，项正确； D.设粒子由静止释放的位置为  ，则  ，  其中 ，解得  粒子释放的位置坐标为  ，项错误。 故选AC。 四．带电粒子在组合场中的运动 围绕电场与磁场组合（如“先电后磁”“先磁后电”）、磁场与磁场组合展开，典型考法涉及质谱仪、回旋加速器、速度选择器等仪器原理，考查运动过程衔接、速度关联、几何轨迹分析，以及多场作用下的轨迹变化与参数计算。常用方法： 1. 分段分析：明确电场加速/偏转、磁场圆周运动的阶段特征。 2. 仪器原理应用：利用质谱仪（q/m比）、回旋加速器（周期相同）等推导参数。 3. 几何关系处理：通过圆周运动半径、偏转角、轨迹衔接点坐标等建立方程。 4. 速度关联：电场加速后的速度作为磁场圆周运动的输入条件。 【题型1：电场与磁场组合】 10.(2025·四川省巴中市·联考题)如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，存在竖直向下的匀强电场，在轴与之间的区域存在大小相等、方向相反的匀强磁场，轴上方的磁场垂直纸面向外，轴下方的磁场垂直纸面向里，过点且与轴平行。一质量为，电荷量为的带电粒子以初速度从点沿平行于轴方向射入电场，一段时间后从坐标原点进入第四象限的磁场，假设电场与磁场有理想边界。不计粒子重力 求电场强度的大小； 若带电粒子只在第四象限运动一段时间后，垂直边界离开磁场区域，求磁感应强度的大小； 若，求带电粒子从点进入电场到离开磁场经历的时间。 【答案】带正电粒子从沿轴正方向射入电场区域： 水平方向做匀速直线运动  则 竖直方向做匀加速直线运动 在电场运动 联立解得； 带电粒子进入磁场的速度大小  与水平方向的夹角 若带电粒子垂直边界离开磁场区域 在磁场中运动时 联立解得； 当时，带电粒子进入磁场速度不变，则由 解得带电粒子在磁场中的半径 当带电粒子穿过磁场时 解得 则带电粒子在磁场中运动的时间 解得时间。 【题型2：磁场与磁场组合】 11.(2025·江苏省南通市·联考题)如图所示，在直角坐标系第、象限内存在两匀强磁场，磁感应强度均为，一电子自轴上的处以与轴正向夹角的初速度进入磁场，恰好垂直轴进入第象限，已知电子质量，电量为，则： 求与点的距离； 求电子每次经过轴可能的坐标； 若在第、象限内再加一沿方向的匀强电场，电场强度，使电子由负半轴上某点处图中未画出，仍以与轴正向夹角的初速度进入磁场，经过一段第一次垂直经过轴，求与点的距离．并判断电子再次返回轴时，速度与轴的夹角． 【答案】解：对电子： 解得： 由题意： 解得： 由中可知电子在第Ⅰ象限半径： 电子第一次经过轴的坐标： 电子可能经过轴的坐标：其中，，， 电子在第Ⅱ象限内，由方向内的动量定理： 求和： 解得： 电子在第Ⅱ象限内，由方向内的动量定理： 求和： 电子垂直击中轴时的速度为，对电子由到的动能定理： 解得：      假设电子击中轴上，对电子由到的动能定理： 解得： 对电子由到的方向动量定理： 解得： 即电子再次击中轴时速度与其夹角为  五．带电粒子在叠加场中的运动与交变电磁场中的运动 聚焦电场、磁场、重力场共存及交变电磁场场景。叠加场中考查三力平衡实现匀速直线、等效重力场下匀速圆周运动及复杂曲线运动规律，典型仪器如速度选择器等。交变场中强调电场/磁场周期性变化对粒子运动的影响，需分段分析并利用对称性、周期性及v-t图像辅助。常用方法： 1. 叠加场三力平衡：分析qE、qvB、mg的矢量关系。 2. 等效重力场法：将电场与重力合成“等效重力”，洛伦兹力提供向心力。 3. 功能关系/动量定理：处理复杂曲线运动能量与动量变化。 4. 分段研究：按交变场周期划分运动阶段，逐段分析轨迹与速度。 5. 周期性/对称性应用：简化运动过程计算，结合v-t图像直观展示。 【题型1：电场、磁场、重力场共存】 12.(2025·广东省·联考题) （多选）研究所工作人员设计了如图所示的分离装置，可将氕H、氦两种原子核分离。混合原子核从点进入匀强电场由静止开始加速，然后沿轴线进入电场和磁场的复合区域。已知电场为匀强电场，场强方向垂直于轴线向上，磁场的场强方向垂直于纸面向外，磁感应强度从零开始逐渐增大，直到有原子核沿轴线运动打在收集器上，此时，不计原子核重力及原子核间相互作用，原子核不会打在极板上，则下列说法正确的是(    ) A. 时，沿轴线打在收集器上的是氕 B. 时，氦原子核在电场区域运动时间较短 C. 时，两种原子核离开电场的位置不同 D. 若时，匀强电场的电场强度变为原来的倍，仍能打在收集器上的原子核在复合区域的运动时间不变 【答案】AD  【解析】A.两种原子核均从点由静止开始加速，然后通过电场，则有，整理得，则两种原子核进入电场时氕核的速度最大，设电场的场强为，对于沿轴线打在收集器上的原子核有，逐渐增大，则进入电场时速度最大的氕原子核最先达到受力平衡，故B时，沿轴线打在收集器上的原子核是氕，故A项正确 B.时，原子核进入电场后，沿轴线方向的速度不变，则氕原子核在电场区域运动时间较短，故B项错误 C.原子核从电场右侧离开，沿轴线方向有，垂直轴线方向有，，整理有，则两种原子核从同一位置离开电场，故C项错误 D.由动能定理可知，电场强度变化后，原子核进入复合区域的速度从变为，根据配速法可知，原子核一边以速度做匀速圆周远动，一边以速度向右做匀速直线运动，由项分析可知，又原子核仍打在收集器上，则原子核在复合区域内做了次完整的圆周运动，位移为，故原子核在复合区域内运动的时间仍为，故D项正确。 故选AD。 13.(2025·陕西省汉中市·联考题)如图所示，水平虚线为分界线，分界线上方有方向水平向左的匀强电场，分界线下方有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场。现将一质量为电荷量为的带正电小球从分界线上的点以初速度竖直向上抛出，小球在分界线上方的运动轨迹已画出，点为轨迹的最高点，小球从分界线上的点第一次进入分界线下方区域，且小球恰好在分界线下方区域做匀速圆周运动，经磁场偏转一次后又恰好回到点。已知小球到达点时的速度大小为，重力加速度大小为和的大小均未知，不计空气阻力。 求两点的高度差； 求和的大小。 【答案】将小球在分界线上方的运动分解、可知小球在竖直方向上做竖直上抛运动、根据运动规律有 解得 设小球到达点时的速度方向与分界线的夹角为，将小球到达点时的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，根据几何关系有 即 则分速度为 小球从点运动到点所用的时间 由 解得 两点间的距离 小球在分界线下方做匀速圆周运动，则 解得 设小球做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 根据牛顿第二定律有 解得  【题型2：带电粒子在交变电磁场中的运动】 14.(2026·江苏省·模拟题)如图甲所示，两相同金属极板与的长度为，相距为，极板间的电压如图乙所示，为。在金属板右侧空间存在宽度为的竖直向上的匀强磁场，磁场右边缘处竖直放置一足够大的荧光屏。大量带正电的同种粒子沿极板中线平行于板面方向持续射入板间，射入时的速度为。已知粒子质量为，电荷量为，粒子的重力与相互间的作用力忽略不计。求： 粒子在金属板间运动的加速度大小； 为时射入的粒子离开金属板时，沿垂直于板面方向偏移的距离； 为时射入的粒子，运动轨迹恰好与光屏相切，求右侧空间的磁感应强度。 【答案】由牛顿第二定律可知粒子在两板间运动的加速度  粒子在两板间运动的时间  则时射入的粒子在两板间竖直方向一直做匀加速运动，则沿垂直于板面方向偏移的距离    时射入的粒子，竖直方向在  时间内先向上做匀加速运动，在  时间内向上做匀减速运动，则射出偏转电场时竖直速度减为零，因此离开偏转电场时的速度为  ，方向水平向右，则进入磁场时做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与光屏相切，可知运动半径  根据  解得  一：基础练 1.(2025·山西省·模拟题)如图所示，、、、是半径为的圆周上等间距的四个点，是圆心，在、、三点各固定一通电直导线，电流大小均为，方向均垂直纸面向里，已知每条直导线在点产生的磁感应强度大小均为，通电直导线在点产生磁场的磁感应强度与导线中的电流成正比。下列说法正确的是(    ) A. 点的磁感应强度方向由指向 B. 点的磁感应强度大小为 C. 若再在点放置一根直导线，导线中通有垂直纸面向里、大小为的电流，则点的磁感应强度为 D. 若再在点放置一根直导线，导线中通有垂直纸面向外、大小为的电流，则点的磁感应强度大小为 【答案】C  【解析】、两处的电流在点产生的合磁感应强度为，则点的磁感应强度等于处的电流产生的磁感应强度，即点的磁感应强度大小为，由右手螺旋定则可知，点的磁感应强度方向由指向，选项A、B错误 C.若再在点放置一根直导线，导线中通有垂直纸面向里、大小为的电流，处电流在点产生的磁感应强度大小为方向由指向，则点的磁感应强度为，选项C正确 D.若再在点放置一根直导线，导线中通有垂直纸面向外、大小为的电流，处电流在点产生的磁感应强度大小为方向由指向，则点的磁感应强度大小为，选项D错误。 2.(2026·广东省·月考试卷)如图所示，恒定电流流过边长为的水平放置的正方形导线，点为正方形的中心，点位于点正上方且，每条导线在点的磁感应强度大小均为，则点的磁感应强度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据图中几何关系结合安培定则，可知两相互平行导线在点产生的磁感应强度方向的夹角为  ，如图所示 则两相互平行导线在点产生的合磁感应强度大小为  方向竖直向上；则正方形导线在点的磁感应强度大小为  故选D。 3.(2025·河南省·模拟题)如图所示，空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，由粗细均匀的导线弯曲成的金属构件由共面的半圆和正三角形组成，将构件固定在纸面里，图中、、共线，构件无断点，半圆的直径和正三角形的边长均为，将、两点接入电路，从点通入的电流大小为，则构件受到的安培力大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据题意可知，通电后，构件在磁场中的有效长度为，受到的安培力大小为，项正确。 4.(2025·福建省·模拟题)如图所示，光滑金属导轨与水平面成角，金属杆垂直放置在导轨上，导轨处于匀强磁场中。接通电路后，当磁场方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为时，被释放后保持静止当磁场方向竖直向上、磁感应强度大小为时，被释放后也能保持静止。则为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】磁场方向垂直导轨平面向上，安培力方向沿斜面向上，有：，当磁场方向竖直向上、磁感应强度大小为时，安培力方向水平向右，有：，联立解得：，故B正确，ACD错误。 5.(2025·四川省眉山市·模拟题)如图所示，一带电绝缘小球用绝缘细线悬挂于点，点下方有一匀强磁场。现将小球拉至点并由静止释放，点为最低点，为左侧最高点，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 点比点低 B. 相邻两次过点的速度相同 C. 相邻两次过点的加速度相同 D. 相邻两次过点的绳子拉力相同 【答案】C  【解析】解：洛伦兹力对小球不做功，轻绳的拉力也不做功，只有重力做功，根据机械能守恒，可知左侧最高点应与点等高，故A错误； B.根据机械能守恒，可知相邻两次到达点时，无论是从到还是从到，重力做功相同，重力势能相同，故速度大小都相同，但方向不同，故B错误； C.根据向心加速度表达式可知相邻两次大小相等，且方向都指向点，故C正确。 D.由于相邻两次的洛伦兹力方向不同，所以绳子拉力大小不相等，故D错误。 故选：。 6.(2025·湖南省岳阳市·模拟题)如图所示，在的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子不计重力从坐标原点处沿图示方向射入磁场中，已知。粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是(    ) A. 带正电， B. 带正电， C. 带负电， D. 带负电， 【答案】B  【解析】、粒子能穿过轴正半轴，则由左手定则知粒子带正电，故CD错误； 、刚好没能从右边界射出磁场，轨迹与右边界相切，作出运动轨迹，如图， 由几何关系知，结合得：。故B正确，A错误。 故选B。 7.(2025·江西省·模拟题)为了实现氟核的人工转变，粒子需通过回旋加速器加速后轰击氟核，产生一种稀有气体元素“氖”，其核反应方程为，氖气可作为充装气体用于试电笔中发光指示灯，现用电压有效值为的正弦交流电为回旋加速器提供加速的交变电场，已知回旋加速器的形盒处于磁感应强度为的匀强磁场中，形盒半径为，粒子的质量为，电荷量为，则(    ) A. 是中子 B. 氖原子的衰变是试电笔的氖管发光指示灯通电后发光的原因 C. 若要粒子达到最大动能，加速次数至少为 D. 若加速的粒子为核，必须改变交流电的频率 【答案】C  【解析】A. 是质子，故A错误； B.试电笔的氖管通电后发光的原因是原子能级跃迁，故B错误； C.达到最大动能时，有；用峰值电压加速，次数则最少，由动能定理有，解得最少次数 故C正确； D.实现粒子加速，必须使得粒子在磁场运动的周期与加速电压变化的周期相同，若粒子比荷不变，运动周期也就不变，  粒子和  的比荷相等，因此不需要改变交流电的频率，故D错误。 故选C。 二：提能练 8.(2026·湖北省·期末考试)如图所示，在直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长，粒子源在点将带负电的粒子以大小、方向不同的速度射入磁场，已知粒子质量为，电荷量为，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由左手定则和题意知，沿方向射出的粒子在三角形磁场区域内转半周，运动时间最长，速度最大的轨迹恰与相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径： 由洛伦兹力提供向心力 从而求得最大速度： 所以ABC错误，D正确。 故选D。 9.(2026·广东省·期末考试)如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径为，已知电场强度大小为，方向竖直向下；磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是(    ) A. 带电液滴沿逆时针运动 B. 带电液滴运动速度大小为 C. 若仅撤去匀强磁场，带电液滴可能做曲线运动 D. 若仅撤去匀强电场，带电液滴机械能一定不变 【答案】D  【解析】带电液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知液滴所受重力与电场力平衡，即电场力方向竖直向上，液滴带负电，有  根据左手定则可判断带电液滴沿顺时针运动，对液滴有  联立，解得  故AB错误； C.若仅撤去匀强磁场，带电液滴仅在重力和电场力作用下，受力平衡，将做匀速直线运动，故C错误； D.若仅撤去匀强电场，带电液滴运动过程中，只有重力做功，机械能一定不变，故D正确。 故选D。 10.(2026·广东省·单元测试（多选）)电流天平可以用来测量匀强磁场的磁感应强度的大小。如图甲所示，测量前天平已调至平衡，测量时，在左边托盘中放入质量为的砝码，右边托盘中不放砝码，将一个质量为、匝数为、下边长为的矩形线圈挂在右边托盘的底部，再将此矩形线圈的下部分放在待测磁场中。线圈的两头连在如图乙所示的电路中，不计连接导线对线圈的作用力，电源电动势为，内阻为。开关闭合后，调节可变电阻至时，天平正好平衡，此时电压表读数为。已知，取重力加速度为，则(    ) A. 矩形线圈中电流的方向为逆时针方向 B. 矩形线圈的电阻 C. 匀强磁场的磁感应强度的大小 D. 若仅将磁场反向，在左盘中再添加质量为的砝码可使天平重新平衡 【答案】AC  【解析】由于，根据天平的平衡条件可判定线圈受到的安培力方向竖直向上，由左手定则判断知矩形线圈中电流的方向为逆时针方向，故A正确；根据闭合电路欧姆定律可得，解得矩形线圈的电阻，故B错误；根据平衡条件有，而，，联立解得匀强磁场的磁感应强度的大小  ，故C正确；开始时线圈所受安培力的方向竖直向上，此时安培力大小为，仅将磁场反向，则安培力方向变为竖直向下，大小不变，相当于右边托盘底部受到向下的力比原来增加了，所以需要在左边加砝码，添加质量为的砝码可使天平重新平衡，故D错误。 故选AC。 11.(2026·山东省·单元测试) （多选）笔记本电脑机身和显示屏分别安装有磁体和霍尔元件，当显示屏闭合时，霍尔元件靠近磁体，屏幕熄灭，电脑休眠。其工作原理示意图如图所示，闭合显示屏时，长为、宽为、厚度为的霍尔元件处在磁感应强度大小为、方向垂直于元件上表面向下的匀强磁场中，金属制成的霍尔元件通以大小为的向右电流时，元件的前、后表面间出现电压，笔记本控制系统检测到该电压，立即熄灭屏幕。下列说法正确的是 A. 前表面的电势比后表面的高 B. 前、后表面间的电压与成正比 C. 前、后表面间的电压与成反比 D. 霍尔元件中自由电荷的定向运动速度大小为 【答案】AC  【解析】A.金属制成的霍尔元件通以大小为的向右电流时，金属内自由电子以一定的速度由右向左匀速移动，根据左手定则，受洛伦兹力指向后表面，可知电子偏向后表面，则前表面的电势比后表面的高，选项A正确； D.当平衡时洛伦兹力等于电场力，满足，自由电子的速度大小为，D错误； 、根据电流的微观表达式可知 结合选项 解得 解得：霍尔电压可得，与成反比，与无关。B错误，C正确。 故选AC。 12.(2025·四川省成都市·模拟题) （多选）如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由速度选择器、静电分析器和磁分析器组成。若速度选择器中电场强度大小为，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里。静电分析器通道中心线为圆弧，圆弧的半径为，通道内有均匀辐射的电场，在中心线处的电场强度大小为。磁分析器中有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外。一带电粒子以速度沿直线经过速度选择器后沿中心线通过静电分析器，由点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的点。不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定带负电 B. 极板的电势比极板的电势高 C. 粒子的速度 D. 粒子的比荷为 【答案】BD  【解析】粒子在静电分析器内沿中心线方向运动，说明粒子带正电荷，在速度选择器中由左手定则可判断出粒子受到的洛伦兹力向上，粒子受到的电场力向下，电场方向向下，故速度选择器的极板的电势比极板的高，故A错误，B正确； C.粒子在速度选择器中根据洛伦兹力和电场力相等可得可知粒子的速度，故C错误； D.由上述分析以及可得粒子的比荷为，故D正确。 故选：。 13.(2026·湖北省·月考试卷)如图所示，在坐标系所在的平面内，第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第二、三象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。在轴上点沿轴正方向发射一比荷为的带正电粒子，粒子初速度为，点坐标为，粒子从轴上的点离开电场，点坐标为，粒子经磁场后再次到达轴时刚好从坐标原点处经过。不计粒子重力。求： 匀强电场的场强的大小和匀强磁场的磁感应强度的大小； 粒子从运动到经历的时间。 【答案】解：粒子在电场中做类平抛运动，设经历时间为 则竖直方向有 水平方向有 整理得 设粒子离开电场时速度大小为，与轴夹角为，则 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为 则 整理得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 由可知，所以粒子在磁场中运动的时间 三：拔高练 14.(2025·福建省泉州市·模拟题)如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子不计重力沿着与夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心的正下方点离开磁场。求： 粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； 粒子射入磁场的速度大小； 圆形磁场的磁感应强度。 【答案】解：画出轨迹图如图： ； 在矩形磁场区域，根据几何关系 求得。 根据  解得。 粒子在圆形磁场区域内，根据 解得。 15.(2025·江苏省南京市·期末考试)如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为、带电荷量为的粒子从点沿轴正方向飞出，第次经过轴时的位置为点，坐标为。 求粒子的初速度大小 如果粒子第一次经过轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围 如果粒子第一次经过轴后能再次经过点，求磁感应强度大小的取值。 【答案】解：设粒子在点的速度为  ，在电场中运动的加速度为，从点第一次到达点经过的时间为，做类平抛运动， 由牛顿第二定律，有， 沿轴负方向做匀加速运动，有， 沿轴正方向做匀速运动，有， 联立解得 。 设粒子第一次到达点时速度为，方向与轴正方向夹角为  ，到达点时速度竖直分量， 速度水平分量， 根据平抛运动位移偏角与速度偏角的关系，有， 粒子在点速度， 当磁感应强度为  时，粒子在磁场中的轨迹恰与轴相切，如图所示，设此时轨迹半径为  ， 由洛伦兹力提供向心力，有， 由几何关系有， 解得 ， 则磁感应强度大小的取值范围为。    设粒子在磁场中的轨迹半径为  时，粒子第次经过轴的位置到的距离为  ，如图所示， 由几何关系，有， 之后粒子还能经过  点，需满足 其中  、、， 因粒子在磁场中轨迹不能到达第三象限，还需满足 解得  其中  、、， 又  可取  、、、 根据洛伦兹力提供向心力， 可知  其中  、、、。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 第9讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 1 2 一．常见命题角度： 2 二．常用方法： 2 三．思维导图 3 3 9 一．磁场基本性质与安培力 9 【题型1：磁感应强度的叠加与计算】 9 【题型2：安培力的分析与计算】 9 二．洛伦兹力与带电粒子在匀强磁场中的基本运动 10 【题型1：洛伦兹力的理解与应用】 10 【题型2：带电体在匀强磁场中的运动】 10 三．带电粒子在有界匀强磁场中的运动 11 【题型1：单一有界磁场中的运动】 11 【题型2：临界、极值与多解问题】 12 【题型3：磁聚焦与磁发散模型】 14 四．带电粒子在组合场中的运动 15 【题型1：电场与磁场组合】 15 【题型2：磁场与磁场组合】 15 五．带电粒子在叠加场中的运动与交变电磁场中的运动 16 【题型1：电场、磁场、重力场共存】 16 【题型2：带电粒子在交变电磁场中的运动】 17 18 一：基础练 18 二：提能练 21 三：拔高练 23 一．常见命题角度： 1. 磁场与安培力及洛伦兹力的概念：磁感应强度叠加；安培力与洛伦兹力的计算、方向判断。 2. 粒子在有界磁场中的运动：直线、平行、圆形、三角形等边界下的单粒子圆周运动；侧重几何轨迹（圆心、半径、偏转角）与运动时间。 3. 临界、极值与多解问题：利用“动态圆”（旋转圆、放缩圆、平移圆）分析速度、磁场范围、时间等临界条件；考虑粒子电性、方向、临界状态、运动周期性导致的多解。 4. 典型模型与应用：磁聚焦与磁发散（圆形磁场）；组合场（电场+磁场，如质谱仪、回旋加速器）；叠加场（电场、磁场、重力场共存，如直线、圆周、复杂运动）；交变电磁场中周期性或往复运动。 二．常用方法： 1. 运动分析：定圆心（两洛伦兹力垂线交点/弦中垂线）、求半径（物理公式结合几何关系）、算时间（）。 2. 几何作图与数学工具：熟练运用圆、三角形的几何关系是核心。 3. 动力学与能量观点：牛顿第二定律用于受力分析；动能定理、能量守恒定律在组合场、叠加场中常用。 4. 等效法：在叠加场中将电场力与重力合成等效重力，简化分析。 5. 分解与合成：分析粒子在立体空间（如螺旋线）或复杂轨迹的运动。 三．思维导图 1.(2025·湖北省·高考真题)如图所示，在磁感应强度大小为的匀强磁场中，放置一通电圆线圈，圆心为点，线圈平面与磁场垂直。在圆线圈的轴线上有和两点，它们到点的距离相等。已知点的总磁感应强度大小为零，则点的总磁感应强度大小为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·福建省·高考真题)如图所示，空间中存在两根无限长直导线与，通有大小相等，方向相反的电流。导线周围存在、、三点，与关于对称，与关于对称且，初始时，处的磁感应强度大小为，点磁感应强度大小为，现保持中电流不变，仅将撤去，求点的磁感应强度大小(    ) A. B. C. D. 3.(2025·安徽省·高考真题)如图，在竖直平面内的直角坐标系中，轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第二象限内，垂直纸面且平行于轴放置足够长的探测薄板，到轴的距离为，上、下表面均能接收粒子。位于原点的粒子源，沿平面向轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为、质量为、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(    ) A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B. 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D. 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 4.(2026·安徽省·高考真题)某同步加速器简化模型如图所示。其中仅直通道内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场。带电荷量为、质量为的离子以初速度从处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为，磁场区域中离子的偏转半径均为。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是(    ) A. 偏转磁场的方向垂直纸面向里 B. 第次加速后，离子的动能增加了 C. 第次加速后，离子的速度大小变为 D. 第次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 5.(2026·河北省·高考真题)（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。板点处正上方点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过板点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定带正电 B. 若间距增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C. 粒子打到板上表面的位置与点的最大距离为 D. 粒子打到板下表面的位置与点的最小距离为 6.(2025·福建省·高考真题) （多选）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平向右的匀强电场，一带电体在复合场中恰能沿着做匀速直线运动，与水平方向呈，水平向右。带电量为，速度为，质量为，当粒子到时，撤去磁场，一段时间后粒子经过点，则(    ) A. 电场强度为 B. 磁场强度为 C. 两点的电势差为 D. 粒子从时距离的距离最大值为 7.(2026·河北省·高考真题)（多选）年月日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上点有、、三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知、、带正电且比荷均为，粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；和粒子速度方向相反且与粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(    ) A. 外圆半径等于 B. 粒子返回点所用的最短时间为 C. 、粒子返回点所用的最短时间之比为 D. 粒子的速度大小为 8.(2025·四川省·高考真题) （多选）如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从点离开。取。则带电粒子(    ) A. 在Ⅰ区的轨迹圆心不在点 B. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为 C. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为 D. 在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为 9.(2025·云南省·高考真题)磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为未知。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为未知，但满足。某质量为、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直轴射入区域，经磁场偏转后刚好从中点垂直射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压、间距、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 求该粒子通过速度选择器的速率 求以及轴上可能检测到该粒子的范围 定义磁屏蔽效率，若在处检测到该粒子，则是多少 10.(2025·湖南省·高考真题)如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 求粒子所带电荷量； 求磁感应强度的大小； 若粒子离开点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 11.(2025·内蒙古自治区·高考真题)如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取为静电力常量，粒子仍沿中的轨迹从点运动到点，求射入磁场的速度大小。 在问条件下，粒子从点射出磁场开始，经时间速度方向首次与点速度方向相反，求电荷量为的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为时，与该点电荷距离为处的电势。 一．磁场基本性质与安培力 聚焦磁场基本性质与安培力，典型考法涵盖通电直导线、圆环、螺线管等产生的磁感应强度矢量叠加计算，以及安培力方向判断、大小计算，分析通电导线在磁场中的平衡、加速或转动问题。常用类型与方法： 1. 磁感应强度叠加：矢量叠加原理计算空间合场强。 2. 安培力方向：左手定则判断。 3. 安培力大小：公式  计算。 4. 导线运动分析：结合受力平衡或牛顿定律分析运动状态。 【题型1：磁感应强度的叠加与计算】 1.(2025·陕西省·联考题)如图甲所示为多路导线输电时经常用到的一个六分导线间隔棒，用于固定和分隔导线，图乙为其截面图．间隔棒将条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点、、、、、上，为正六边形的中心．已知通电直导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比，假设、、三条输电直导线中电流方向垂直纸面向外，、、三条输电直导线中电流方向垂直纸面向里，所有直导线电流大小相等，其中导线对导线的安培力为，下列说法正确的是(    ) A. 点的磁感应强度方向垂直于向下 B. 、、、、根导线在导线处产生磁场的磁感应强度方向沿指向 C. 导线所受安培力方向沿指向 D. 导线所受安培力的合力为 【题型2：安培力的分析与计算】 2.(2025·河南省·联考题)如图所示，间距为的平行导轨沿水平方向固定，长为、质量为的导体棒垂直导轨放置，导轨的左端接有电动势为、内阻为的电源，再与一滑动变阻器串联整个空间存在斜向上与水平方向成的匀强磁场磁场与导体棒垂直，磁感应强度大小为，接通电路，当滑动变阻器的电阻值调为时导体棒刚好静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨、导体棒以及导线的电阻可忽略，重力加速度，下列说法正确的是(    ) A. 导体棒所受的安培力水平向左 B. 导体棒所受的安培力大小为 C. 导体棒与导轨间的动摩擦因数为 D. 若仅将磁场方向改为竖直向上，则导体棒沿导轨向左加速运动 二．洛伦兹力与带电粒子在匀强磁场中的基本运动 聚焦洛伦兹力方向、大小判断及不做功特性，分析不同粒子受力与运动参数差异；结合匀强磁场中带电粒子匀速圆周运动，考查半径、周期、速度、比荷等参数的计算与比较。常见类型与方法： 1. 方向判断：左手定则确定洛伦兹力方向。 2. 大小计算：F = qvB sinθ（θ为v与B夹角）。 3. 不做功应用：速度大小不变，动能守恒。 4. 圆周参数：r = mv/(qB)、T = 2πm/(qB)求解运动特征。 5. 参数比较：通过比荷、速度分析不同粒子运动差异。 【题型1：洛伦兹力的理解与应用】 3.(2025·湖北省武汉市·联考题)如图所示，在一通有恒定电流的长直导线的右侧，有一带正电的粒子以初速度沿平行于导线的方向射出。若粒子所受重力及空气阻力均可忽略不计，现用虚线表示粒子的运动轨迹，虚线上某点所画有向线段的长度和方向表示粒子经过该点时的速度大小和方向，则如图所示的图景中可能正确的是(    ) A. B. C. D. 【题型2：带电体在匀强磁场中的运动】 4.(2025·河北省衡水市·联考题) （多选）如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，、足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，重力加速度取，则(    ) A. 滑块与木板先一起以的加速度做匀加速直线运动 B. 滑块开始相对于木板滑动的瞬时速度大小为 C. 滑块匀加速运动的时间为 D. 滑块最终的速度大小为 5.(2025·河北省衡水市·联考题) （多选）如图所示，在水平面上方建立空间直角坐标系，平面与水平面平行，轴正方向竖直向上，该空间存在相互垂直的匀强电场沿轴正向、匀强磁场沿轴正向。一个质量为、电荷量为的微粒以初速度从坐标原点射入，速度方向在平面内，与轴正向夹角为。若微粒能在射入后做匀速直线运动，下列说法正确的是(    ) A. 该磁场的磁感应强度大小为 B. 该电场的电场强度为 C. 若仅将电场方向改为沿轴正向，则微粒不可做匀速直线运动 D. 若仅将磁场方向改为沿轴正向，则微粒仍可做匀速直线运动 三．带电粒子在有界匀强磁场中的运动 聚焦带电粒子在有界匀强磁场中的运动，涵盖单一边界（直线/平行/圆形等）的“定圆心、求半径、算时间”几何分析；临界极值问题（如恰好射出磁场的动态圆模型）；多解问题（电性/磁场方向/速度方向不确定等）；磁聚焦与磁发散的特殊几何关系应用。常用方法： 1. 几何三步法：定圆心、求半径（r=mv/qB）、算时间（t=θT/2π）。 2. 动态圆模型：旋转圆/放缩圆/平移圆分析临界条件。 3. 多解分析：全面考虑电性、磁场方向、速度方向、周期性等因素。 4. 磁聚焦/发散：利用轨迹圆与磁场圆半径相等的特殊几何关系推导射出点或射入方向。 【题型1：单一有界磁场中的运动】 6.(2025·安徽省·联考题)如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B. 若粒子的速度，则粒子在磁场中运动的时间 C. 若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 【题型2：临界、极值与多解问题】 7.(2025·云南省昆明市·联考题)为防止宇宙间各种高能粒子对在轨航天员造成的危害，科学家研制出各种磁防护装置。某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面图如图所示，以点为圆心的内圆、外圆半径分别为、，区域中的危险区内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点处开有一小孔，在外圆绝缘薄板上再开小孔，在同一条直线上。一个粒子从左板内侧的点由静止释放，经电场加速后从点沿方向射入磁场，恰好不进入安全区，粒子每次与绝缘薄板碰撞后原速率反弹，最终从点离开磁场，已知质子的质量为、元电荷为、不计重力，两板间电压为，求： 粒子通过点时的速度大小； 磁感应强度的大小； 粒子在磁场中运动的时间。 8.(2026·河南省·月考试卷)如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为未知的匀强电场，分界线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为未知的匀强磁场，区域存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域后由分界线上的点图中未画出垂直分界线进入区域，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： 点的位置坐标； 带电粒子从点运动到点的时间； 粒子在区域中运动时，第次和第次经过轴的位置之间的距离。 【题型3：磁聚焦与磁发散模型】 9.(2025·江西省·模拟题)如图，在平面直角坐标系的第一、二象限内有沿轴负方向的匀强电场大小未知，在以坐标为的点为圆心、半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场大小未知。在坐标为的点沿轴正方向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子射出的速度大小为，粒子从坐标原点进入磁场，并以平行轴的方向射出磁场，不计粒子的重力，则(    ) A. 匀强电场的电场强度大小为 B. 匀强磁场的磁感应强度大小为 C. 粒子出磁场时的位置离轴的距离为 D. 将此粒子在轴上由静止释放，粒子经电场加速、磁场偏转后也能以平行轴飞出磁场，则粒子释放的位置坐标为 四．带电粒子在组合场中的运动 围绕电场与磁场组合（如“先电后磁”“先磁后电”）、磁场与磁场组合展开，典型考法涉及质谱仪、回旋加速器、速度选择器等仪器原理，考查运动过程衔接、速度关联、几何轨迹分析，以及多场作用下的轨迹变化与参数计算。常用方法： 1. 分段分析：明确电场加速/偏转、磁场圆周运动的阶段特征。 2. 仪器原理应用：利用质谱仪（q/m比）、回旋加速器（周期相同）等推导参数。 3. 几何关系处理：通过圆周运动半径、偏转角、轨迹衔接点坐标等建立方程。 4. 速度关联：电场加速后的速度作为磁场圆周运动的输入条件。 【题型1：电场与磁场组合】 10.(2025·四川省巴中市·联考题)如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，存在竖直向下的匀强电场，在轴与之间的区域存在大小相等、方向相反的匀强磁场，轴上方的磁场垂直纸面向外，轴下方的磁场垂直纸面向里，过点且与轴平行。一质量为，电荷量为的带电粒子以初速度从点沿平行于轴方向射入电场，一段时间后从坐标原点进入第四象限的磁场，假设电场与磁场有理想边界。不计粒子重力 求电场强度的大小； 若带电粒子只在第四象限运动一段时间后，垂直边界离开磁场区域，求磁感应强度的大小； 若，求带电粒子从点进入电场到离开磁场经历的时间。 【题型2：磁场与磁场组合】 11.(2025·江苏省南通市·联考题)如图所示，在直角坐标系第、象限内存在两匀强磁场，磁感应强度均为，一电子自轴上的处以与轴正向夹角的初速度进入磁场，恰好垂直轴进入第象限，已知电子质量，电量为，则： 求与点的距离； 求电子每次经过轴可能的坐标； 若在第、象限内再加一沿方向的匀强电场，电场强度，使电子由负半轴上某点处图中未画出，仍以与轴正向夹角的初速度进入磁场，经过一段第一次垂直经过轴，求与点的距离．并判断电子再次返回轴时，速度与轴的夹角． 五．带电粒子在叠加场中的运动与交变电磁场中的运动 聚焦电场、磁场、重力场共存及交变电磁场场景。叠加场中考查三力平衡实现匀速直线、等效重力场下匀速圆周运动及复杂曲线运动规律，典型仪器如速度选择器等。交变场中强调电场/磁场周期性变化对粒子运动的影响，需分段分析并利用对称性、周期性及v-t图像辅助。常用方法： 1. 叠加场三力平衡：分析qE、qvB、mg的矢量关系。 2. 等效重力场法：将电场与重力合成“等效重力”，洛伦兹力提供向心力。 3. 功能关系/动量定理：处理复杂曲线运动能量与动量变化。 4. 分段研究：按交变场周期划分运动阶段，逐段分析轨迹与速度。 5. 周期性/对称性应用：简化运动过程计算，结合v-t图像直观展示。 【题型1：电场、磁场、重力场共存】 12.(2025·广东省·联考题) （多选）研究所工作人员设计了如图所示的分离装置，可将氕H、氦两种原子核分离。混合原子核从点进入匀强电场由静止开始加速，然后沿轴线进入电场和磁场的复合区域。已知电场为匀强电场，场强方向垂直于轴线向上，磁场的场强方向垂直于纸面向外，磁感应强度从零开始逐渐增大，直到有原子核沿轴线运动打在收集器上，此时，不计原子核重力及原子核间相互作用，原子核不会打在极板上，则下列说法正确的是(    ) A. 时，沿轴线打在收集器上的是氕 B. 时，氦原子核在电场区域运动时间较短 C. 时，两种原子核离开电场的位置不同 D. 若时，匀强电场的电场强度变为原来的倍，仍能打在收集器上的原子核在复合区域的运动时间不变 13.(2025·陕西省汉中市·联考题)如图所示，水平虚线为分界线，分界线上方有方向水平向左的匀强电场，分界线下方有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场。现将一质量为电荷量为的带正电小球从分界线上的点以初速度竖直向上抛出，小球在分界线上方的运动轨迹已画出，点为轨迹的最高点，小球从分界线上的点第一次进入分界线下方区域，且小球恰好在分界线下方区域做匀速圆周运动，经磁场偏转一次后又恰好回到点。已知小球到达点时的速度大小为，重力加速度大小为和的大小均未知，不计空气阻力。 求两点的高度差； 求和的大小。 【题型2：带电粒子在交变电磁场中的运动】 14.(2026·江苏省·模拟题)如图甲所示，两相同金属极板与的长度为，相距为，极板间的电压如图乙所示，为。在金属板右侧空间存在宽度为的竖直向上的匀强磁场，磁场右边缘处竖直放置一足够大的荧光屏。大量带正电的同种粒子沿极板中线平行于板面方向持续射入板间，射入时的速度为。已知粒子质量为，电荷量为，粒子的重力与相互间的作用力忽略不计。求： 粒子在金属板间运动的加速度大小； 为时射入的粒子离开金属板时，沿垂直于板面方向偏移的距离； 为时射入的粒子，运动轨迹恰好与光屏相切，求右侧空间的磁感应强度。 一：基础练 1.(2025·山西省·模拟题)如图所示，、、、是半径为的圆周上等间距的四个点，是圆心，在、、三点各固定一通电直导线，电流大小均为，方向均垂直纸面向里，已知每条直导线在点产生的磁感应强度大小均为，通电直导线在点产生磁场的磁感应强度与导线中的电流成正比。下列说法正确的是(    ) A. 点的磁感应强度方向由指向 B. 点的磁感应强度大小为 C. 若再在点放置一根直导线，导线中通有垂直纸面向里、大小为的电流，则点的磁感应强度为 D. 若再在点放置一根直导线，导线中通有垂直纸面向外、大小为的电流，则点的磁感应强度大小为 2.(2026·广东省·月考试卷)如图所示，恒定电流流过边长为的水平放置的正方形导线，点为正方形的中心，点位于点正上方且，每条导线在点的磁感应强度大小均为，则点的磁感应强度大小为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·河南省·模拟题)如图所示，空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，由粗细均匀的导线弯曲成的金属构件由共面的半圆和正三角形组成，将构件固定在纸面里，图中、、共线，构件无断点，半圆的直径和正三角形的边长均为，将、两点接入电路，从点通入的电流大小为，则构件受到的安培力大小为(    ) A. B. C. D. 4.(2025·福建省·模拟题)如图所示，光滑金属导轨与水平面成角，金属杆垂直放置在导轨上，导轨处于匀强磁场中。接通电路后，当磁场方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为时，被释放后保持静止当磁场方向竖直向上、磁感应强度大小为时，被释放后也能保持静止。则为(    ) A. B. C. D. 5.(2025·四川省眉山市·模拟题)如图所示，一带电绝缘小球用绝缘细线悬挂于点，点下方有一匀强磁场。现将小球拉至点并由静止释放，点为最低点，为左侧最高点，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(    ) A. 点比点低 B. 相邻两次过点的速度相同 C. 相邻两次过点的加速度相同 D. 相邻两次过点的绳子拉力相同 6.(2025·湖南省岳阳市·模拟题)如图所示，在的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子不计重力从坐标原点处沿图示方向射入磁场中，已知。粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是(    ) A. 带正电， B. 带正电， C. 带负电， D. 带负电， 7.(2025·江西省·模拟题)为了实现氟核的人工转变，粒子需通过回旋加速器加速后轰击氟核，产生一种稀有气体元素“氖”，其核反应方程为，氖气可作为充装气体用于试电笔中发光指示灯，现用电压有效值为的正弦交流电为回旋加速器提供加速的交变电场，已知回旋加速器的形盒处于磁感应强度为的匀强磁场中，形盒半径为，粒子的质量为，电荷量为，则(    ) A. 是中子 B. 氖原子的衰变是试电笔的氖管发光指示灯通电后发光的原因 C. 若要粒子达到最大动能，加速次数至少为 D. 若加速的粒子为核，必须改变交流电的频率 二：提能练 8.(2026·湖北省·期末考试)如图所示，在直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长，粒子源在点将带负电的粒子以大小、方向不同的速度射入磁场，已知粒子质量为，电荷量为，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度最大值是(    ) A. B. C. D. 9.(2026·广东省·期末考试)如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径为，已知电场强度大小为，方向竖直向下；磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是(    ) A. 带电液滴沿逆时针运动 B. 带电液滴运动速度大小为 C. 若仅撤去匀强磁场，带电液滴可能做曲线运动 D. 若仅撤去匀强电场，带电液滴机械能一定不变 10.(2026·广东省·单元测试（多选）)电流天平可以用来测量匀强磁场的磁感应强度的大小。如图甲所示，测量前天平已调至平衡，测量时，在左边托盘中放入质量为的砝码，右边托盘中不放砝码，将一个质量为、匝数为、下边长为的矩形线圈挂在右边托盘的底部，再将此矩形线圈的下部分放在待测磁场中。线圈的两头连在如图乙所示的电路中，不计连接导线对线圈的作用力，电源电动势为，内阻为。开关闭合后，调节可变电阻至时，天平正好平衡，此时电压表读数为。已知，取重力加速度为，则(    ) A. 矩形线圈中电流的方向为逆时针方向 B. 矩形线圈的电阻 C. 匀强磁场的磁感应强度的大小 D. 若仅将磁场反向，在左盘中再添加质量为的砝码可使天平重新平衡 11.(2026·山东省·单元测试) （多选）笔记本电脑机身和显示屏分别安装有磁体和霍尔元件，当显示屏闭合时，霍尔元件靠近磁体，屏幕熄灭，电脑休眠。其工作原理示意图如图所示，闭合显示屏时，长为、宽为、厚度为的霍尔元件处在磁感应强度大小为、方向垂直于元件上表面向下的匀强磁场中，金属制成的霍尔元件通以大小为的向右电流时，元件的前、后表面间出现电压，笔记本控制系统检测到该电压，立即熄灭屏幕。下列说法正确的是 A. 前表面的电势比后表面的高 B. 前、后表面间的电压与成正比 C. 前、后表面间的电压与成反比 D. 霍尔元件中自由电荷的定向运动速度大小为 12.(2025·四川省成都市·模拟题) （多选）如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由速度选择器、静电分析器和磁分析器组成。若速度选择器中电场强度大小为，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里。静电分析器通道中心线为圆弧，圆弧的半径为，通道内有均匀辐射的电场，在中心线处的电场强度大小为。磁分析器中有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外。一带电粒子以速度沿直线经过速度选择器后沿中心线通过静电分析器，由点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的点。不计粒子重力。下列说法正确的是(    ) A. 粒子一定带负电 B. 极板的电势比极板的电势高 C. 粒子的速度 D. 粒子的比荷为 13.(2026·湖北省·月考试卷)如图所示，在坐标系所在的平面内，第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第二、三象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。在轴上点沿轴正方向发射一比荷为的带正电粒子，粒子初速度为，点坐标为，粒子从轴上的点离开电场，点坐标为，粒子经磁场后再次到达轴时刚好从坐标原点处经过。不计粒子重力。求： 匀强电场的场强的大小和匀强磁场的磁感应强度的大小； 粒子从运动到经历的时间。 三：拔高练 14.(2025·福建省泉州市·模拟题)如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子不计重力沿着与夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心的正下方点离开磁场。求： 粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； 粒子射入磁场的速度大小； 圆形磁场的磁感应强度。 15.(2025·江苏省南京市·期末考试)如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为、带电荷量为的粒子从点沿轴正方向飞出，第次经过轴时的位置为点，坐标为。 求粒子的初速度大小 如果粒子第一次经过轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围 如果粒子第一次经过轴后能再次经过点，求磁感应强度大小的取值。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $