第6讲 机械能守恒定律与能量守恒定律 讲义 -2026届高三物理人教版二轮专题整合突破

第6讲机械能守恒定律与能量守恒定律 第6讲机械能守恒定律与能量守恒定律 1 1 一．常见命题角度： 1 二．常用方法： 2 三．思维导图 2 2 8 一．机械能守恒定律 8 【题型1：守恒条件的判断】 8 【题型2：单物体机械能守恒问题】 9 【题型3：多物体系统机械能守恒问题】 10 【题型4：非质点类物体】 13 二．功能关系与能量守恒定律 14 【题型1：功能关系的理解与应用】 15 【题型2：动力学与能量的综合】 16 【题型3：功能图像问题】 16 【题型4：功能关系-传送带模型】 17 【题型5：功能关系-板块模型】 17 【题型6：功能关系-弹簧模型】 18 19 一：基础练 19 二：提能练 24 三：拔高练 28 一．常见命题角度： 1. 机械能守恒的判断与应用：考查对守恒条件（只有重力或弹力做功）的理解，常见于单物体（抛体、圆周）、多物体系统（绳/杆连接体、链条/液柱）及含弹簧系统。 2. 功能关系的综合应用：考查各种力做功与对应能量转化的关系，特别是摩擦力做功与内能（热量）转化的计算。 3. 能量守恒定律的综合应用：在涉及摩擦生热、非保守力做功（如电动机、阻力）等机械能与其他形式能量（内能、电能）相互转化的复杂过程中，运用能量守恒定律列式求解。 二．常用方法： 1. 守恒条件判断：优先分析研究对象（单个物体或系统）的受力及做功情况，判断是否满足机械能守恒条件，或者从能量转化的角度判断。 2. 表达式选择：对系统，常选用“ΔEk=-ΔEp”或“EA增=EB减”的形式，避免涉及中间状态。对单个物体，常选用E初=E末 3. 能量转化分析：对不满足机械能守恒的过程，运用功能关系（如Wf=-ΔE机=Q）或能量守恒定律（E初=E末）建立方程。多过程问题常全程列式。 三．思维导图 1.(2026·四川省·高考真题)如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为，忽略其他摩擦。则这段时间内() A.物块的位移大小为 B.物块机械能增量为 C.小车的位移大小为 D.小车机械能增量为 2.(2025·浙江省·高考真题)如图所示物块从点水平抛出，恰好在点无碰撞进入倾斜传送带，已知传送带沿顺时针匀速传动，由到的运动时间，水平距离为，从抛出到刚进入传送带一段时间内关于物块水平速度和时间、竖直速度和时间、动能和水平位移、机械能和水平位移的图像一定错误的是() A. B. C. D. 3.(2026·山东省·高考真题)（多选）如图，与水平面成夹角且固定于、两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于点，另一端跨过固定在处的光滑定滑轮与位于直杆上点的滑块拴接，弹性轻绳原长为，为且垂直于。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为，弹性轻绳上弹力的大小与其伸长量满足。，取，。则滑块() A.与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C.从释放到静止的位移大小为 D.从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 4.(2025·云南省·高考真题)（多选）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于点。质量为的滑块视为质点与斜面间的动摩擦因数。过程Ⅰ以速度从斜面底端点沿斜面向上运动恰好能滑至点过程Ⅱ将连接在弹簧的下端并拉至点由静止释放，通过点图中未画出时速度最大，过点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为。则() A.、两点之间的距离为 B.过程Ⅱ中，在从点单向运动到点的过程中损失的机械能为 C.过程Ⅱ中，从点沿斜面向上运动的最大位移为 D.连接在弹簧下端的无论从斜面上何处释放，最终一定静止在含、点之间 5.(2026·四川省·高考真题)如图，、为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过、，运动到正下方与相距的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度取。 求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； 求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； 若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 6.(2025·广西壮族自治区·高考真题)图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端运送到顶端后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与水平地面夹角为，以速度匀速运行。若以相同的时间间隔将散货以几乎为的速度放置在倾斜传送带底端，从放置某个散货时开始计数，当放置第个散货时，第个散货恰好被水平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为。每个长度为的货箱装总质量为的一批散货。若货箱之间无间隔，重力加速度为。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积为如图乙，求这段时间内： 单个散货的质量。 水平传送带的平均传送速度大小。 倾斜传送带的平均输出功率。 一．机械能守恒定律 机械能守恒定律的题目多与运动学、动力学、动量结合，构成综合性计算题，求速度、高度、力、能量等物理量。 1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2．常用的三种表达式 (1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。 (2)转化式：ΔEk＝-ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。 (3)转移式：ΔEA＝-ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。 【题型1：守恒条件的判断】 1.(2025·山东省临沂市·联考题)如图所示，在光滑的水平面上，质量为的小物块可看做质点以初速度向右运动，随后“登上”一座可以运动的“小山”，“小山”的质量，高，“小山”的上、下表面均光滑且顶端切线水平，物块在上表面滑行时始终没有脱离“小山”，取重力加速度。则以下说法正确的是() A.小物块和“小山”作用的过程系统的机械能守恒 B.小物块和“小山”作用的过程系统的动量守恒 C.小物块能越过“小山”的初速度至少为 D.若初速度，则小物块再次回到水平面时的速率为 【题型2：单物体机械能守恒问题】 2.(2025·江苏省无锡市·联考题)一个与水平方向夹角为，长为的倾斜轨道，通过微小圆弧与长为的水平轨道相连，然后在处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道，如图所示。在距点高为的水平台面上有一处于压缩状态的弹簧被锁定，弹簧右端紧挨一个质量为的小球，解除锁定，弹簧可将小球弹射出去，此时弹簧已恢复原长。小球到点时速度方向恰沿方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与和间的动摩擦因数均为，取。求： 弹簧处于锁定状态时的弹性势能 小球滑过点时的速率 要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件。圆轨道平面与倾斜轨道平面略微错开，半径可任意调 【题型3：多物体系统机械能守恒问题】 3.(2025·安徽省合肥市·联考题)（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物，轻质定滑轮下方悬挂重物，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，用手托住、使、均处于静止状态且离地足够高，释放后、开始运动。已知的质量为，的质量为，忽略所有阻力，重力加速度为。下列说法正确的是 A.受到细线的拉力大小为 B.A、的加速度大小之比为 C.当的位移大小为时，运动的速度大小为 D.若要使得、释放后静止在图示位置，应将、的质量关系调整为 4.(2025·全国·模拟题)（多选）如图，滑块、的质量均为，套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距，放在地面上．、通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，、可视为质点，重力加速度大小为则() A.落地前，轻杆对一直做正功 B.落地时速度大小为 C.下落过程中，其加速度大小始终不大于 D.落地前，当的机械能最小时，对地面的压力大小为 5.(2025·辽宁省·联考题)（多选）在光滑水平桌面上，轻弹簧的左端固定，右端与质量为的物块相连，细绳跨过光滑的滑轮将物块与质量为的物块连接。已知弹簧的劲度系数，弹性势能与形变量的关系为，重力加速度为。现用手托住物块，使弹簧处于原长，细绳恰好伸直，然后由静止开始释放物块，之后的运动过程中物块始终未碰到滑轮、物块也始终未触及地面，则下列说法正确的是() A.刚释放物块瞬间细绳的拉力大小为 B.物块运动过程中的最大速度为 C.物块下落的最大高度为 D.物块运动至最低点时的加速度大小为 6.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，质量不计的硬直杆可以绕光滑转轴在竖直面内自由转动，杆两端分别固定质量的小球和质量的小球。已知小球到点的距离为，小球到点的距离为。现将杆从水平位置由静止释放，在杆转动到竖直位置时，小球脱离杆水平飞出，恰能从点无碰撞地进入与杆在同一竖直平面内的光滑圆弧轨道，到达圆弧轨道上点之前的点图中未画出脱离轨道。已知为圆弧轨道的最低点，为圆弧轨道的最高点，为圆弧轨道的圆心，与竖直方向的夹角，不计空气阻力，取。 杆转到竖直位置时，求杆对小球的作用力； 杆从水平位置转到竖直位置的过程中，求杆对小球做的功； 若与竖直方向的夹角用表示，写出与圆弧轨道半径的关系式，并判断的取值范围。 【题型4：非质点类物体】 7.(2024·安徽省·联考题)如图所示，内壁光滑的管道各处拐角均为，各段长度均为，质量为、长度为的链条在外力作用下静置于管道内部最上端，链条端恰好处于拐角处，现释放链条，链条会顺着管道下滑。已知重力加速度为，链条质量分布均匀且直径略小于管道内径，忽略链条内部各链节之间挤压及管道弯折处造成的机械能损失，求： 链条端离开管道时的速度大小； 从释放链条至链条端离开管道所用时间。 二．功能关系与能量守恒定律 1. 能量转化的题目常涉及多过程、多形式能量转化。典型情境包括：存在摩擦力的斜面、传送带、板块模型（必有内能产生）；涉及弹簧的系统（弹性势能参与转化）；有外力（如电动机、牵引力）做功的过程（机械能与其他形式能转化）。常以“滑块—斜面”、“滑块—木板”、“传送带”、“弹簧连接体”、“含非质点物体（链条、液柱）”等模型为载体，综合考查动力学、动量与能量观点。 2. 几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力做功 动能变化 (1)合力做正功，动能增加； (2)合力做负功，动能减少； (3)W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少； (2)重力做负功，重力势能增加； (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少； (2)弹力做负功，弹性势能增加； (3)WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 静电力做功 电势能变化 (1)静电力做正功，电势能减少； (2)静电力做负功，电势能增加； (3)W电＝－ΔEp 安培力做功 电能变化 (1)安培力做正功，电能减少； (2)安培力做负功，电能增加； (3)W安＝－ΔE电 除重力和系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能变化 (1)其他力做正功，机械能增加； (2)其他力做负功，机械能减少； (3)W＝ΔE机 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 内能变化 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力的总功一定为负值，系统内能增加； (2)Q＝Ff·l相对(其中l相对为相对路程，即相对运动轨迹的长度) 【题型1：功能关系的理解与应用】 8.(2026·安徽省滁州市·其他类型)（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，该物体的和随它离开地面的高度的变化如图所示。重力加速度取。由图中数据可得() A.物体的质量为 B.时，物体的速率为 C.时，物体的动能 D.从地面至，物体的动能减少 【题型2：动力学与能量的综合】 9.(2025·河南省商丘市·联考题)如图所示，半径为的半球固定在水平面上，质量为的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到点时离开球面，点与球心连线与水平方向夹角为，重力加速度为，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为() A. B. C. D. 【题型3：功能图像问题】 10.(2025·安徽省·联考题)热气球旅游项目是一种结合低空飞行与观光体验的特色旅游活动。通过调整热气球的升力大小，让热气球从地面由静止开始在竖直方向上先匀加速上升再匀速上升，不考虑气体燃烧带来的质量变化，设热气球在空中上升阶段其动能为，重力势能为，机械能为，上升时间为，上升高度为，选地面为势能零点，不计空气阻力。下列描述相关物理量关系的图像一定错误的是() A. B. C. D. 【题型4：功能关系-传送带模型】 11.(2025·河南省·联考题)如图，光滑水平面与水平传送带无缝衔接，传送带足够长，以恒定速率逆时针运动。可视为质点的质量为的滑块，以速率水平向右冲上传送带，最终向左又返回水平面。滑块与传送带之间的动摩擦因数处处相同。滑块在传送带上运动的全过程，因摩擦产生的内能为() A. B. C. D. 【题型5：功能关系-板块模型】 12.(2025·四川省·联考题)（多选）如图甲所示，长木板静置于光滑的水平面上，质量的小滑块可视为质点以某一初速度滑上的左端，从滑上开始计时，相对的速度随时间的变化如图乙所示，已知恰好未从上滑出，达到共速的过程中的位移大小是的位移大小的倍，取。下列说法正确的是() A.长木板的长度为 B.A、之间的动摩擦因数为 C.达到共速的过程中的动能增加了 D.若仅使滑块的初速度增加，则达到共速过程系统机械能的减少量增加 【题型6：功能关系-弹簧模型】 13.(2025·湖南省长沙市·联考题)如图所示，在竖直方向上、两物体通过劲度系数为的轻质弹簧相连，放在水平地面上，、两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，放在固定的足够长的传送带上。传送带倾角为，传送带始终以的速度顺时针运动，在外力作用下静止在传送带顶端点，此时、间细线刚拉直但无拉力作用，与传送带动摩擦因数为，已知的质量为、的质量为，的质量为，重力加速度为，弹簧弹性势能表达式为，细线与滑轮之间的摩擦不计，撤去外力释放后，在传送带作用下向下运动，从开始运动到获得最大速度的过程中，下列说法正确的是() A.从释放物体到速度达到最大过程，、、组成的系统机械能守恒 B.物体的最大速度为 C.此后物体将以最大速度匀速运动 D.当的速度最大时弹簧伸长量为 功能关系的选用原则： (1)总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化，用动能定理分析。(2)只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。 (3)只涉及机械能的变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 (4)只涉及电势能的变化，用静电力做功与电势能变化的关系分析。 一：基础练 1.(2025·浙江省·模拟题)如图所示，是儿童弹力跳跳球，儿童站在弹力球平板上，双脚夹紧上半部分球，上下跳跃，从而达到锻炼目的，关于儿童跳跃过程中下列说法正确的是() A.儿童能够夹着弹力球跳起来，是因为地面对球做正功 B.地面对弹力球的弹力，是因为弹力球的形变产生的 C.儿童向上运动的过程中所受重力对人做负功，重力势能一直增大 D.儿童在上下跳跃的过程中，人和球整体只有动能和势能相互转化，机械能守恒 2.(2025·河南省·模拟题)年月日至月日，第十二届残运会高山滑雪比赛在新疆乌鲁木齐丝绸之路国际滑雪场举行。如图所示为一简化后的滑雪的雪道模型示意图，竖直平面内半径的光滑四分之一圆弧轨道与水平雪道相切于点。质量的运动员由点静止下滑，最后静止于水平雪道上的点。已知运动员与地面间的动摩擦因数。运动员可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为，则运动员在点时所受圆弧轨道的支持力大小和、两点间的距离分别为() A.； B.； C.； D.； 3.(2025·河南省洛阳市·模拟题)雨滴从高空中由静止开始加速下落，随着速度增加，雨滴受到的阻力逐渐增大，当阻力与其重力大小相等时，雨滴匀速下落。下列说法正确的是() A.雨滴加速下落过程中，其机械能不断增大 B.雨滴匀速下落过程中，其机械能不变 C.雨滴从开始下落至落地的过程中，其机械能不断减小 D.雨滴加速下落的过程中，相同时间内，雨滴克服阻力做的功相等 4.(2025·辽宁省沈阳市·模拟题)如图，将一物块用水平推力压在足够高的竖直墙上，随的变化关系为其中常数。从由静止开始运动，此后的动能、机械能随物体位移变化的图像可能正确的是() A. B. C. D. 5.(2025·湖南省郴州市·模拟题)如图所示，光滑水平面与竖直面内的光滑半圆形导轨在点平滑相接，导轨半径为。一个可视为质点的物体质量为，将弹簧压缩至点后静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后滑上半圆形导轨，运动到点时恰好脱离轨道，已知、连线和竖直方向、连线夹角为，取，下列说法中正确的是() A.小球在点时的速度为 B.弹簧释放出来的弹性势能大小为 C.点到物体落地点的水平距离为 D.为使物体能从点飞出，物体到达处时速度至少为 6.(2025·湖北省黄石市·模拟题)多选一物块在高、长的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取则() A.物块下滑过程中机械能不守恒 B.物块与斜面间的动摩擦因数为 C.物块下滑时加速度的大小为 D.当物块下滑时机械能损失了 7.(2025·安徽省阜阳市·模拟题)（多选）如图所示，质量为的小球从不同高度下落压缩弹簧，弹簧的弹性势能的表达式为，其中是弹簧的劲度系数，是弹簧的形变量。假设整个过程弹簧始终在弹性限度内，不计一切阻力，不计小球和弹簧接触时的能量损失，重力加速度为。下列说法正确的是() A.小球和弹簧组成的系统包括地球机械能不守恒 B.无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不会改变 C.克服弹力做功不能度量小球机械能在小球和弹簧之间的转移 D.小球的加速度能达到的最小下落高度是距弹簧上端的高度 二：提能练 8.(2025·辽宁省抚顺市·模拟题)如图所示，以为原点在竖直面内建立平面直角坐标系，第Ⅳ象限的挡板形状满足方程单位：，小球可视为质点从第Ⅱ象限内的光滑四分之一圆弧轨道的顶端由静止释放，通过点后开始做平抛运动，经击中挡板上的点，取重力加速度大小。四分之一光滑圆弧轨道的半径为() A. B. C. D. 9.(2026·安徽省马鞍山市·其他类型)如图所示，光滑斜面固定在水平地面上，质量相等的物块、通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接，一轻质弹簧下端固定在斜面底端，另一端连接在上．开始时被托住，轻绳伸直但没有弹力．现使由静止释放，在运动至最低点的过程中设未落地，未与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内 A.和总的重力势能先减小后增大 B.轻绳拉力对做的功等于机械能的增加 C.当受到的合外力为零时，的速度最大 D.当和的速度最大时，和的总机械能最大 10.(2025·广西壮族自治区贵港市·模拟题)如图所示，轻质弹簧的左端固定，小物块的质量为，从点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到点恰好静止。物块向左运动的最大距离为，与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中() A.弹簧的最大弹力为 B.物块克服摩擦力做的功为 C.弹簧的最大弹性势能为 D.物块在点的初速度为 11.(2025·河南省郑州市·模拟题)（多选）如图，两根光滑细杆固定放置在同一竖直面内，与水平方向的夹角均为。质量均为的两金属小球套在细杆上，用一劲度系数的轻质弹簧相连。将两小球同时由相同的高度静止释放，此时弹簧处于原长，小球释放的位置距杆的最低点的竖直高度差为，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧弹性势能为，为弹簧的形变量，取，下列说法正确的是() A.小球运动过程中的机械能守恒 B.两小球在两杆上运动的过程中，两小球的最大总动能为 C.小球不会从杆的最低点脱落 D.两小球在两杆上运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为 12.(2025·陕西省·模拟题)（多选）如图所示，楔形木块固定在水平面上，粗糙斜面与水平面的夹角为，光滑斜面与水平面的夹角为，顶角处安装一定滑轮。质量分别为、的两滑块和，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动，、不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中() A.轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下 B.拉力和重力对做功之和大于动能的变化量 C.拉力和摩擦力对做功之和等于机械能的变化量 D.两滑块组成系统减少的机械能大于克服摩擦力做的功 三：拔高练 13.(2025·重庆市市辖区·模拟题)（多选）如图所示，电动机带动的传送带与水平方向夹角，与两皮带轮、相切与、两点，从到长度为。传送带以的速率顺时针转动。两皮带轮的半径都为。长度为水平直轨道和传送带皮带轮最高点平滑无缝连接。现有一体积可忽略，质量为小物块在传送带下端无初速度释放。若小物块与传送带之间的动摩擦因数为，与水平直轨道之间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则() A.小物块从运动到的时间为 B.小物块运动到皮带轮最高点时，一定受到皮带轮的支持力作用 C.将小物块由点送到点电动机多消耗的电能为 D.若小物块刚好停在中点，则 14.(2025·重庆市·模拟题)如图是某弹射游戏装置示意图：通过拉杆将弹射器的轻弹簧压缩到最短后释放，将一质量为的小滑块从点水平弹出，滑行距离后经过点无碰撞地进入细口径管道式轨道，最后从点水平飞出，并落在水平台上竖直挡板右侧。整个装置处在同一竖直面内，管道部分为长度可伸缩的软管，部分为半径为、可上下调节的圆弧轨道，其圆心始终在点正下方。滑块与间动摩擦因数为，其余均光滑。以点正下方平台上点为原点、水平向右为正方向建立轴。已知挡板高度为，管道口径略大于滑块，不计空气阻力、滑块大小和挡板厚度，重力加速度为。当点距平台的高度时，滑块恰好能到达点。 求弹簧被压缩到最短时的弹性势能 当点距平台高时，求滑块经过点时轨道对滑块的作用力 要使滑块恰好能落在挡板右侧，求挡板的坐标与之间的函数关系 若将挡板高度调为并竖直固定在处，调整点高度，求滑块落在挡板右侧时的坐标范围。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲机械能守恒定律与能量守恒定律 第6讲机械能守恒定律与能量守恒定律 1 1 一．常见命题角度： 1 二．常用方法： 2 三．思维导图 2 2 8 一．机械能守恒定律 8 【题型1：守恒条件的判断】 8 【题型2：单物体机械能守恒问题】 9 【题型3：多物体系统机械能守恒问题】 10 【题型4：非质点类物体】 13 二．功能关系与能量守恒定律 14 【题型1：功能关系的理解与应用】 15 【题型2：动力学与能量的综合】 16 【题型3：功能图像问题】 16 【题型4：功能关系-传送带模型】 17 【题型5：功能关系-板块模型】 17 【题型6：功能关系-弹簧模型】 18 19 一：基础练 19 二：提能练 24 三：拔高练 28 一．常见命题角度： 1. 机械能守恒的判断与应用：考查对守恒条件（只有重力或弹力做功）的理解，常见于单物体（抛体、圆周）、多物体系统（绳/杆连接体、链条/液柱）及含弹簧系统。 2. 功能关系的综合应用：考查各种力做功与对应能量转化的关系，特别是摩擦力做功与内能（热量）转化的计算。 3. 能量守恒定律的综合应用：在涉及摩擦生热、非保守力做功（如电动机、阻力）等机械能与其他形式能量（内能、电能）相互转化的复杂过程中，运用能量守恒定律列式求解。 二．常用方法： 1. 守恒条件判断：优先分析研究对象（单个物体或系统）的受力及做功情况，判断是否满足机械能守恒条件，或者从能量转化的角度判断。 2. 表达式选择：对系统，常选用“ΔEk=-ΔEp”或“EA增=EB减”的形式，避免涉及中间状态。对单个物体，常选用E初=E末 3. 能量转化分析：对不满足机械能守恒的过程，运用功能关系（如Wf=-ΔE机=Q）或能量守恒定律（E初=E末）建立方程。多过程问题常全程列式。 三．思维导图 1.(2026·四川省·高考真题)如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为，忽略其他摩擦。则这段时间内() A.物块的位移大小为 B.物块机械能增量为 C.小车的位移大小为 D.小车机械能增量为 【答案】C 【解析】A.对物块根据牛顿第二定律有 解得 根据运动学公式有 解得物块的位移大小为，故A错误； B.物块机械能增量为，故B错误； C.对小车根据动能定理有 其中，联立解得，故C正确； D.小车机械能增量为，故D错误。 故选C。 2.(2025·浙江省·高考真题)如图所示物块从点水平抛出，恰好在点无碰撞进入倾斜传送带，已知传送带沿顺时针匀速传动，由到的运动时间，水平距离为，从抛出到刚进入传送带一段时间内关于物块水平速度和时间、竖直速度和时间、动能和水平位移、机械能和水平位移的图像一定错误的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.物块从点到点做平抛运动，水平方向是匀速直线运动，物块从点水平抛出，恰好在点无碰撞进入倾斜传送带，可知物块在点的速度与传送带速度相同，则有物块在传送带上水平速度不变，A正确，不符合题意 B.物块在传送带上由于重力作用，若物块受摩擦力方向沿传送带向下，则物块速度会继续增大，且有可能加速度大于重力加速度，B正确，不符合题意 C.物块从到，设物块位移与水平方向夹角为，由动能定理可得，可得，C错误，符合题意 D.物块从到，机械能守恒，在传送带上可能由于有摩擦力对物块做负功，物块的机械能随位移减小，D正确，不符合题意。 故选C。 3.(2026·山东省·高考真题)（多选）如图，与水平面成夹角且固定于、两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于点，另一端跨过固定在处的光滑定滑轮与位于直杆上点的滑块拴接，弹性轻绳原长为，为且垂直于。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为，弹性轻绳上弹力的大小与其伸长量满足。，取，。则滑块() A.与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C.从释放到静止的位移大小为 D.从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 【答案】AC 【解析】A.根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与间夹角为时，对滑块进行受力分析，如图所示 由平衡条件有，由胡克定律结合几何关系有，联立解得 可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为，故A正确； B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量不相同，故B错误； C.设滑块从释放到静止运动的位移为，此时弹性轻绳与间夹角为，由平衡条件有 解得，由几何关系可得，故C正确； D.从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为，由能量守恒定律有 解得，故D错误。 故选AC。 4.(2025·云南省·高考真题)（多选）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于点。质量为的滑块视为质点与斜面间的动摩擦因数。过程Ⅰ以速度从斜面底端点沿斜面向上运动恰好能滑至点过程Ⅱ将连接在弹簧的下端并拉至点由静止释放，通过点图中未画出时速度最大，过点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为。则() A.、两点之间的距离为 B.过程Ⅱ中，在从点单向运动到点的过程中损失的机械能为 C.过程Ⅱ中，从点沿斜面向上运动的最大位移为 D.连接在弹簧下端的无论从斜面上何处释放，最终一定静止在含、点之间 【答案】CD 【解析】A.Ⅰ过程中上滑受力分析可知，上滑最大位移为Ⅱ过程经过点时，速度最大，可知此时受力平衡，则有，则、两点之间的距离为；故A错误； B.过程Ⅱ中，在从点单向运动到点的过程中，重力势能增加，动能增加，所以的机械能增加，故B错误； C.设过程Ⅱ中，从点沿斜面向上运动到点，由对称性可知，故过程Ⅱ中，从点沿斜面向上运动的最大位移为；故C正确； D.对受力分析可知若平衡，则外界拉力向上最大为即点，最小为零，则连接在弹簧下端的无论从斜面上何处释放，最终一定静止在含、点之间。故D正确； 故选CD； 5.(2026·四川省·高考真题)如图，、为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过、，运动到正下方与相距的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度取。 求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； 求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； 若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】小球从最下端以速度抛出到运动到正下方距离为的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， 小球做平抛运动时， 解得 若小球经过点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置，由动能定理 解得 6.(2025·广西壮族自治区·高考真题)图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端运送到顶端后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入以与水平传送带共速度的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与水平地面夹角为，以速度匀速运行。若以相同的时间间隔将散货以几乎为的速度放置在倾斜传送带底端，从放置某个散货时开始计数，当放置第个散货时，第个散货恰好被水平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数，到达顶端前已与传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为。每个长度为的货箱装总质量为的一批散货。若货箱之间无间隔，重力加速度为。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积为如图乙，求这段时间内： 单个散货的质量。 水平传送带的平均传送速度大小。 倾斜传送带的平均输出功率。 【答案】对单个散货水平方向由动量定理得 解得单个散货的质量为 落入每个货箱中散货的个数为 则水平传送带的平均传送速度大小为 设倾斜传送带的长度为，其中散货在加速阶段，由牛顿第二定律得 解得 加速时间 加速位移 设匀速时间为 其中 则匀速位移为 故传送带的长度为 在加速阶段散货与传送带发生的相对位移为 在时间内传送带额外做的功为 其中，， 倾斜传送带的平均输出功率为 联立可得 一．机械能守恒定律 机械能守恒定律的题目多与运动学、动力学、动量结合，构成综合性计算题，求速度、高度、力、能量等物理量。 1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2．常用的三种表达式 (1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。 (2)转化式：ΔEk＝-ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。 (3)转移式：ΔEA＝-ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。 【题型1：守恒条件的判断】 1.(2025·山东省临沂市·联考题)如图所示，在光滑的水平面上，质量为的小物块可看做质点以初速度向右运动，随后“登上”一座可以运动的“小山”，“小山”的质量，高，“小山”的上、下表面均光滑且顶端切线水平，物块在上表面滑行时始终没有脱离“小山”，取重力加速度。则以下说法正确的是() A.小物块和“小山”作用的过程系统的机械能守恒 B.小物块和“小山”作用的过程系统的动量守恒 C.小物块能越过“小山”的初速度至少为 D.若初速度，则小物块再次回到水平面时的速率为 【答案】AC 【解析】A.小物块和“小山”组成的系统各接触面光滑，作用过程中只有重力做功，系统的机械能守恒，A正确； B.小物块在“上山”和“下山”过程中竖直方向有加速度合力不为零，系统在竖直方向上动量不守恒，而水平方向上没有外力作用，系统在水平方向上动量守恒，所以系统整体动量不守恒，B错误； C.小物块能越过小山的临界条件是，到山顶时共速设为 水平方向动量守恒 系统机械能守恒 解得，C正确； D.小物块再次回到水平面时，设小物块末速度为，小山末速度为， 根据水平动量守恒 系统机械能守恒 解得，即速率为，对照选项的分析可知，这种情况是相互作用过程中，小物块离开小山后，又返回的。这与题中叙述“物块在上表面滑行时始终没有脱离小山”不相符合，所以D错误。 故选AC。 【题型2：单物体机械能守恒问题】 2.(2025·江苏省无锡市·联考题)一个与水平方向夹角为，长为的倾斜轨道，通过微小圆弧与长为的水平轨道相连，然后在处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道，如图所示。在距点高为的水平台面上有一处于压缩状态的弹簧被锁定，弹簧右端紧挨一个质量为的小球，解除锁定，弹簧可将小球弹射出去，此时弹簧已恢复原长。小球到点时速度方向恰沿方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与和间的动摩擦因数均为，取。求： 弹簧处于锁定状态时的弹性势能 小球滑过点时的速率 要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件。圆轨道平面与倾斜轨道平面略微错开，半径可任意调 【答案】解：小球离开弹簧后做平抛运动到达点，如图竖直方向：由 可知 在点的速度恰好沿方向，由几何关系可知 水平方向分速度即小球的初速度 弹簧的弹性势能 从经到点的过程，由动能定理得： 解得小球滑过点时的速率 若小球能通过圆形轨道的最高点，做完整的圆周运动，则其不脱离轨道小球刚能通过最高点时，小球在最高点与轨道没有相互作用，重力提供向心力，根据牛顿第二定律 小球由运动到圆形轨道的最高点，机械能守恒 得 即轨道半径不能超过。 若小球没有到达圆形轨道的与圆心等高处速度就减小到零，此后又沿轨道滑下，则其也不脱离轨道。此过程机械能守恒，小球由到达刚与圆心等高处，有 得 即轨道半径不能小于。综上所述，要使小球不离开轨道，应该满足的条件是或者 【题型3：多物体系统机械能守恒问题】 3.(2025·安徽省合肥市·联考题)（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物，轻质定滑轮下方悬挂重物，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，用手托住、使、均处于静止状态且离地足够高，释放后、开始运动。已知的质量为，的质量为，忽略所有阻力，重力加速度为。下列说法正确的是 A.受到细线的拉力大小为 B.A、的加速度大小之比为 C.当的位移大小为时，运动的速度大小为 D.若要使得、释放后静止在图示位置，应将、的质量关系调整为 【答案】BCD 【解析】A.释放后，下降，上升，设的加速度为，则根据滑轮特点可知的加速度为，受到细线的拉力大小为，对：，对：，联立解得，，则受到细线的拉力大小为，、的加速度大小之比为，故A错误，B正确； C.下降时，上升，设的速度为，则的速度为，对系统，根据机械能守恒定律有，解得，故C正确； D.若要使得、释放后静止在图示位置，对分析，根据平衡条件可知细线拉力，再对分析，有，可得，故D正确。 4.(2025·全国·模拟题)（多选）如图，滑块、的质量均为，套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距，放在地面上．、通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，、可视为质点，重力加速度大小为则() A.落地前，轻杆对一直做正功 B.落地时速度大小为 C.下落过程中，其加速度大小始终不大于 D.落地前，当的机械能最小时，对地面的压力大小为 【答案】BD 【解析】【分析】 、组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，通过的动能变化，分析的机械能的变化，判断轻杆对的做功情况．根据系统机械能守恒求出球运动到最低点时的速度大小． 【解析】 解：、当到达底端时，的速度为零，的速度在整个过程中，先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对先做正功，后做负功，故A错误； B、运动到最低点时，的速度为零，根据系统机械能守恒定律得：，解得故B正确； C、的速度在整个过程中，先增大后减小，所以对的作用力先是动力后是阻力，所以对的作用力就先是阻力后是动力，所以在减速的过程中，对是向下的拉力，此时的加速度大于重力加速度，故C错误； D、整体的机械能守恒，当的机械能最小时，的速度最大，此时受到的推力为零，只受到重力的作用，所以对地面的压力大小为，故D正确。 5.(2025·辽宁省·联考题)（多选）在光滑水平桌面上，轻弹簧的左端固定，右端与质量为的物块相连，细绳跨过光滑的滑轮将物块与质量为的物块连接。已知弹簧的劲度系数，弹性势能与形变量的关系为，重力加速度为。现用手托住物块，使弹簧处于原长，细绳恰好伸直，然后由静止开始释放物块，之后的运动过程中物块始终未碰到滑轮、物块也始终未触及地面，则下列说法正确的是() A.刚释放物块瞬间细绳的拉力大小为 B.物块运动过程中的最大速度为 C.物块下落的最大高度为 D.物块运动至最低点时的加速度大小为 【答案】ABC 【解析】A.刚释放物块瞬间，对物块有，对物块有，联立解得，，故A项正确； B.物块和所受合力为零时速度最大，对物块有，对物块有，可得此时弹簧的伸长量，系统机械能守恒，有，解得物块、的最大速度，故B项正确； C.物块下落到最低点时物块、的速度为零，根据机械能守恒定律有，解得物块下落的最大高度，故C项正确； D.物块在最低点时，对物块有，对物块有，解得，故D项错误。 故选ABC。 6.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，质量不计的硬直杆可以绕光滑转轴在竖直面内自由转动，杆两端分别固定质量的小球和质量的小球。已知小球到点的距离为，小球到点的距离为。现将杆从水平位置由静止释放，在杆转动到竖直位置时，小球脱离杆水平飞出，恰能从点无碰撞地进入与杆在同一竖直平面内的光滑圆弧轨道，到达圆弧轨道上点之前的点图中未画出脱离轨道。已知为圆弧轨道的最低点，为圆弧轨道的最高点，为圆弧轨道的圆心，与竖直方向的夹角，不计空气阻力，取。 杆转到竖直位置时，求杆对小球的作用力； 杆从水平位置转到竖直位置的过程中，求杆对小球做的功； 若与竖直方向的夹角用表示，写出与圆弧轨道半径的关系式，并判断的取值范围。 【答案】杆从水平位置由静止释放转动到竖直位置的过程，根据系统机械能守恒定律有 由于两球具有相同的角速度，则 代入数据解得， 对小球，根据牛顿第二定律有 解得，方向竖直向上； 杆从水平位置转到竖直位置的过程中，对小球，根据动能定理可得 解得； 小球脱离杆水平飞出，做平抛运动，到达点时有 小球到达圆弧轨道上点之前的点脱离轨道，则 脱离轨道时有 联立解得 当小球恰好到达圆心等高处有 解得 当小球恰好到达点有 小球在点，根据牛顿第二定律有 解得 所以要使得小球脱离轨道，则的取值范围为。 【题型4：非质点类物体】 7.(2024·安徽省·联考题)如图所示，内壁光滑的管道各处拐角均为，各段长度均为，质量为、长度为的链条在外力作用下静置于管道内部最上端，链条端恰好处于拐角处，现释放链条，链条会顺着管道下滑。已知重力加速度为，链条质量分布均匀且直径略小于管道内径，忽略链条内部各链节之间挤压及管道弯折处造成的机械能损失，求： 链条端离开管道时的速度大小； 从释放链条至链条端离开管道所用时间。 【答案】根据机械能守恒定律，有：， 解得：。 当链条在管道内运动时，竖直部分长度始终为，有，链条加速度不变， 当链条端离开管道时：， 解得：。 二．功能关系与能量守恒定律 1. 能量转化的题目常涉及多过程、多形式能量转化。典型情境包括：存在摩擦力的斜面、传送带、板块模型（必有内能产生）；涉及弹簧的系统（弹性势能参与转化）；有外力（如电动机、牵引力）做功的过程（机械能与其他形式能转化）。常以“滑块—斜面”、“滑块—木板”、“传送带”、“弹簧连接体”、“含非质点物体（链条、液柱）”等模型为载体，综合考查动力学、动量与能量观点。 2. 几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力做功 动能变化 (1)合力做正功，动能增加； (2)合力做负功，动能减少； (3)W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少； (2)重力做负功，重力势能增加； (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少； (2)弹力做负功，弹性势能增加； (3)WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 静电力做功 电势能变化 (1)静电力做正功，电势能减少； (2)静电力做负功，电势能增加； (3)W电＝－ΔEp 安培力做功 电能变化 (1)安培力做正功，电能减少； (2)安培力做负功，电能增加； (3)W安＝－ΔE电 除重力和系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能变化 (1)其他力做正功，机械能增加； (2)其他力做负功，机械能减少； (3)W＝ΔE机 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 内能变化 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力的总功一定为负值，系统内能增加； (2)Q＝Ff·l相对(其中l相对为相对路程，即相对运动轨迹的长度) 【题型1：功能关系的理解与应用】 8.(2026·安徽省滁州市·其他类型)（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，该物体的和随它离开地面的高度的变化如图所示。重力加速度取。由图中数据可得() A.物体的质量为 B.时，物体的速率为 C.时，物体的动能 D.从地面至，物体的动能减少 【答案】ACD 【解析】本题重在考查重力势能以及机械能与高度的关系；本题中物体在上升的过程中机械能不守恒，这一点一定要注意； A.图像知其斜率为，故，解得，故A正确； B.时，，，故，解得：，故B错误； C.时，，，故C正确； D.时，，时，，故，故D正确。 【题型2：动力学与能量的综合】 9.(2025·河南省商丘市·联考题)如图所示，半径为的半球固定在水平面上，质量为的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到点时离开球面，点与球心连线与水平方向夹角为，重力加速度为，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设物块在点时速度大小为，则，从到过程，根据能量守恒，，解得，项正确。 故选C。 【题型3：功能图像问题】 10.(2025·安徽省·联考题)热气球旅游项目是一种结合低空飞行与观光体验的特色旅游活动。通过调整热气球的升力大小，让热气球从地面由静止开始在竖直方向上先匀加速上升再匀速上升，不考虑气体燃烧带来的质量变化，设热气球在空中上升阶段其动能为，重力势能为，机械能为，上升时间为，上升高度为，选地面为势能零点，不计空气阻力。下列描述相关物理量关系的图像一定错误的是() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据重力做功等于重力势能的变化量知，所以，故C图像正确； 热气球匀加速上升阶段，因为，所以，图像错误 根据动能定理，，因为先匀加速上升后匀速上升，所以图像的斜率先不变，后为零，图像正确； 根据功能关系，，先大于重力，后等于重力，故D图像正确。 本题选不正确的，故选 【题型4：功能关系-传送带模型】 11.(2025·河南省·联考题)如图，光滑水平面与水平传送带无缝衔接，传送带足够长，以恒定速率逆时针运动。可视为质点的质量为的滑块，以速率水平向右冲上传送带，最终向左又返回水平面。滑块与传送带之间的动摩擦因数处处相同。滑块在传送带上运动的全过程，因摩擦产生的内能为() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设滑块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为。当时，滑块先向右减速运动，再向左加速运动，离开传送带时速度大小等于。设运动时间为，有，可得，相对位移，因摩擦产生的内能。C正确。 【题型5：功能关系-板块模型】 12.(2025·四川省·联考题)（多选）如图甲所示，长木板静置于光滑的水平面上，质量的小滑块可视为质点以某一初速度滑上的左端，从滑上开始计时，相对的速度随时间的变化如图乙所示，已知恰好未从上滑出，达到共速的过程中的位移大小是的位移大小的倍，取。下列说法正确的是() A.长木板的长度为 B.A、之间的动摩擦因数为 C.达到共速的过程中的动能增加了 D.若仅使滑块的初速度增加，则达到共速过程系统机械能的减少量增加 【答案】AC 【解析】A.相对的位移由题图乙面积可以求得， 则长木板的长度，A正确； B.从滑上到共速的过程中的位移大小是的位移大小的倍，则， 即共同速度， 可知的加速度， 又， 所以、之间的动摩擦因数为，B错误； C.的加速度， 又， 解得， 达到共速的过程中的动能增加量，C正确； D.根据能量守恒可知，系统机械能的减少量等于系统在该过程产生的内能，整个过程系统产生的内能等于，故仅增加滑块的初速度，整个过程系统机械能的减少量不变，D错误。 故选AC。 【题型6：功能关系-弹簧模型】 13.(2025·湖南省长沙市·联考题)如图所示，在竖直方向上、两物体通过劲度系数为的轻质弹簧相连，放在水平地面上，、两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，放在固定的足够长的传送带上。传送带倾角为，传送带始终以的速度顺时针运动，在外力作用下静止在传送带顶端点，此时、间细线刚拉直但无拉力作用，与传送带动摩擦因数为，已知的质量为、的质量为，的质量为，重力加速度为，弹簧弹性势能表达式为，细线与滑轮之间的摩擦不计，撤去外力释放后，在传送带作用下向下运动，从开始运动到获得最大速度的过程中，下列说法正确的是() A.从释放物体到速度达到最大过程，、、组成的系统机械能守恒 B.物体的最大速度为 C.此后物体将以最大速度匀速运动 D.当的速度最大时弹簧伸长量为 【答案】B 【解析】A.整体达到最大速度时，重力势能相等，动能增大，机械能增大，选项错误； 初始时刻，间无拉力，则间弹簧处于压缩，，沿传送带下滑，与传送带的摩擦力，。当整体达到最大速度时，加速度为，有弹簧处于伸长状态，，，对物体根据能量守恒定律：，，B正确，D错误； C.由于继续运动，间弹力增大，将减速运动，C错误。 故选B。 功能关系的选用原则： (1)总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化，用动能定理分析。(2)只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。 (3)只涉及机械能的变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 (4)只涉及电势能的变化，用静电力做功与电势能变化的关系分析。 一：基础练 1.(2025·浙江省·模拟题)如图所示，是儿童弹力跳跳球，儿童站在弹力球平板上，双脚夹紧上半部分球，上下跳跃，从而达到锻炼目的，关于儿童跳跃过程中下列说法正确的是() A.儿童能够夹着弹力球跳起来，是因为地面对球做正功 B.地面对弹力球的弹力，是因为弹力球的形变产生的 C.儿童向上运动的过程中所受重力对人做负功，重力势能一直增大 D.儿童在上下跳跃的过程中，人和球整体只有动能和势能相互转化，机械能守恒 【答案】C 【解析】A.儿童能够夹着弹力球跳起来，是因为当弹力球恢复到原状时有速度，利用该速度跳离地面，地面对弹力球有力的作用，但该力相对地面没有位移，也就说地面对球不做功，A错误； B.地面对弹力球的弹力，是因为地面的形变产生的，B错误 C.儿童向上运动的过程中，重力竖直向下，位移向上，则重力对人做负功，重力势能一直增大，C正确 D.儿童在上下跳跃的过程中，人的内力做功，人和球整体机械能不守恒，D错误。 2.(2025·河南省·模拟题)年月日至月日，第十二届残运会高山滑雪比赛在新疆乌鲁木齐丝绸之路国际滑雪场举行。如图所示为一简化后的滑雪的雪道模型示意图，竖直平面内半径的光滑四分之一圆弧轨道与水平雪道相切于点。质量的运动员由点静止下滑，最后静止于水平雪道上的点。已知运动员与地面间的动摩擦因数。运动员可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为，则运动员在点时所受圆弧轨道的支持力大小和、两点间的距离分别为() A.； B.； C.； D.； 【答案】A 【解析】运动员从到过程，根据机械能守恒定律有 解得得 运动员在点时，根据牛顿第二定律有 解得 运动员由点运动到点的过程中，根据动能定理有 解得 故选A。 3.(2025·河南省洛阳市·模拟题)雨滴从高空中由静止开始加速下落，随着速度增加，雨滴受到的阻力逐渐增大，当阻力与其重力大小相等时，雨滴匀速下落。下列说法正确的是() A.雨滴加速下落过程中，其机械能不断增大 B.雨滴匀速下落过程中，其机械能不变 C.雨滴从开始下落至落地的过程中，其机械能不断减小 D.雨滴加速下落的过程中，相同时间内，雨滴克服阻力做的功相等 【答案】C 【解析】A.雨滴加速下落时，重力势能转化为动能和克服阻力产生的内能，由于阻力做功，机械能不断减少，故A错误； B.雨滴匀速下落时，动能不变，但重力势能随高度降低持续减少，机械能仍减小，故B错误； C.整个下落过程中，阻力始终做负功，机械能持续转化为内能，因此雨滴的机械能不断减小，故C正确； D.加速阶段，速度增大导致阻力增大，且位移随时间非线性增加，克服阻力做的功会逐渐增大，故D错误。 故选C。 4.(2025·辽宁省沈阳市·模拟题)如图，将一物块用水平推力压在足够高的竖直墙上，随的变化关系为其中常数。从由静止开始运动，此后的动能、机械能随物体位移变化的图像可能正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】物体由静止开始运动，初速度为，开始当滑动摩擦力小于重力时，做加速度减小的加速运动，当滑动摩擦力大于重力时，加速度反向、做加速度增大的减速运动，直至停止运动。在竖直方向摩擦力做负功，机械能一直减小，故D正确，ABC错误。 故选：。 5.(2025·湖南省郴州市·模拟题)如图所示，光滑水平面与竖直面内的光滑半圆形导轨在点平滑相接，导轨半径为。一个可视为质点的物体质量为，将弹簧压缩至点后静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后滑上半圆形导轨，运动到点时恰好脱离轨道，已知、连线和竖直方向、连线夹角为，取，下列说法中正确的是() A.小球在点时的速度为 B.弹簧释放出来的弹性势能大小为 C.点到物体落地点的水平距离为 D.为使物体能从点飞出，物体到达处时速度至少为 【答案】C 【解析】A、球在点恰好脱离轨道时，物体只受重力，重力提供向心力。根据向心力公式， 此时，， 则有。 可得。已知，，，，代入上式可得： ，故A错误； B、根据机械能守恒得，弹簧释放出来的弹性势能，故B错误； C、物体运动到点时恰好脱离轨道，开始做斜抛运动， 竖直方向：， 解得 水平方向：，故C正确； D、为使物体能从点飞出，点：则有， 物体从点至点的过程中，根据动能定理有： 解得：，故D错误。 故选C。 6.(2025·湖北省黄石市·模拟题)多选一物块在高、长的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取则() A.物块下滑过程中机械能不守恒 B.物块与斜面间的动摩擦因数为 C.物块下滑时加速度的大小为 D.当物块下滑时机械能损失了 【答案】AB 【解析】【分析】 分析图像可得机械能、动能、动量的变化情况；由动能定理求解动摩擦因数；根据牛顿第二定律求解物块下滑的加速度大小。 本题主要在斜面模型的基础上结合图象考查功能关系，注意把握基本概念 【解析】 由图象Ⅰ可知，物块开始静止时，其重力势能为，则物块质量为：，斜面长为，高为，则可知斜面倾角为，对物块在斜面上运动沿斜面方向受力分析可知：，由图可知Ⅱ图线的斜率为，由动能定理：可知，物体在该过程中合外力：，带入可知，且存在摩擦力故物块运动过程机械能不守恒，故AB正确； C.故物块加速度为：，故C错误； D.由图可知，当物块下滑时，其重力势能减少，其动能增加，故物块机械能损失了，故D错误。 故选AB。 7.(2025·安徽省阜阳市·模拟题)（多选）如图所示，质量为的小球从不同高度下落压缩弹簧，弹簧的弹性势能的表达式为，其中是弹簧的劲度系数，是弹簧的形变量。假设整个过程弹簧始终在弹性限度内，不计一切阻力，不计小球和弹簧接触时的能量损失，重力加速度为。下列说法正确的是() A.小球和弹簧组成的系统包括地球机械能不守恒 B.无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不会改变 C.克服弹力做功不能度量小球机械能在小球和弹簧之间的转移 D.小球的加速度能达到的最小下落高度是距弹簧上端的高度 【答案】BD 【解析】A.小球在运动过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，故小球和弹簧组成的系统包括地球机械能守恒，故A错误； B.加速度为零时小球的动能最大，此处弹簧的弹力等于小球的重力，所以无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不变，只是小球的最大动能不同，故B正确； C.小球机械能在小球和弹簧之间的转移是通过克服弹力做功度量的，故C错误； D.小球的加速度为时，由牛顿第二定律得，解得，设此时弹簧的压缩量为，由胡克定律有，解得，由机械能守恒定律有，当时是小球下落的最小高度，解得，故D正确。 故选BD。 二：提能练 8.(2025·辽宁省抚顺市·模拟题)如图所示，以为原点在竖直面内建立平面直角坐标系，第Ⅳ象限的挡板形状满足方程单位：，小球可视为质点从第Ⅱ象限内的光滑四分之一圆弧轨道的顶端由静止释放，通过点后开始做平抛运动，经击中挡板上的点，取重力加速度大小。四分之一光滑圆弧轨道的半径为() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：小球从点抛出做平抛运动，满足， 解得：， 由， 解得点的坐标为， 小球击中点时的水平方向速度大小， 解得：， 小球从第Ⅱ象限光滑四分之一圆弧轨道顶端由静止释放，由机械能守恒定律有， 解得， 故A正确，BCD错误。 故选：。 9.(2026·安徽省马鞍山市·其他类型)如图所示，光滑斜面固定在水平地面上，质量相等的物块、通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接，一轻质弹簧下端固定在斜面底端，另一端连接在上．开始时被托住，轻绳伸直但没有弹力．现使由静止释放，在运动至最低点的过程中设未落地，未与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内 A.和总的重力势能先减小后增大 B.轻绳拉力对做的功等于机械能的增加 C.当受到的合外力为零时，的速度最大 D.当和的速度最大时，和的总机械能最大 【答案】C 【解析】A、物块、和弹簧组成的系统机械能守恒，则到最低点，速度为零，弹性势能先减小后增加，则和总的重力势能先增大后减小，故A错误； B、对于，轻绳拉力对做功、重力对做功、弹簧弹力对做功，所以轻绳拉力对做的功与弹簧弹力对做功之和等于机械能的增加，故B错误； C、当受到的合外力为零时，的速度最大，C正确 D、物块、和弹簧组成的系统机械能守恒，当弹簧恢复原长时，弹簧的弹性势能变为，则此时和的总机械能最大，故D错误。 10.(2025·广西壮族自治区贵港市·模拟题)如图所示，轻质弹簧的左端固定，小物块的质量为，从点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到点恰好静止。物块向左运动的最大距离为，与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中() A.弹簧的最大弹力为 B.物块克服摩擦力做的功为 C.弹簧的最大弹性势能为 D.物块在点的初速度为 【答案】D 【解析】A.物体从静止向右运动时，弹力先大于摩擦力，当弹簧的弹力与滑动摩擦力大小相等时，即时，速度最大，物体继续向右运动，弹簧继续伸长直到自然状态，所以弹簧的最大弹力大于，A错误； B.整个过程中，物块所受的摩擦力大小恒定，摩擦力一直做负功，则物块克服摩擦力做的功为，B错误； C.物体向右运动的过程，根据能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能，C错误； D.设物块在点的初速度为，对整个过程，利用动能定理得，可得 D正确。 故选D。 11.(2025·河南省郑州市·模拟题)（多选）如图，两根光滑细杆固定放置在同一竖直面内，与水平方向的夹角均为。质量均为的两金属小球套在细杆上，用一劲度系数的轻质弹簧相连。将两小球同时由相同的高度静止释放，此时弹簧处于原长，小球释放的位置距杆的最低点的竖直高度差为，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧弹性势能为，为弹簧的形变量，取，下列说法正确的是() A.小球运动过程中的机械能守恒 B.两小球在两杆上运动的过程中，两小球的最大总动能为 C.小球不会从杆的最低点脱落 D.两小球在两杆上运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为 【答案】BCD 【解析】A.小球运动过程中弹簧弹力做功，故机械能不守恒，故A错误 B.小球加速度为零时，速度最大，设此时弹簧压缩量为，有，解得 此过程中两个小球下降的高度均为，由系统机械能守恒可得 解得两小球的最大总动能为，故B正确 C.设小球下落高度为时速度减为零，则，解得，小球不会从杆最低点脱落，故C正确 D.当两小球下落高度时弹簧的弹性势能最大，此时弹簧的压缩量为，则有，故D正确。 故选BCD。 12.(2025·陕西省·模拟题)（多选）如图所示，楔形木块固定在水平面上，粗糙斜面与水平面的夹角为，光滑斜面与水平面的夹角为，顶角处安装一定滑轮。质量分别为、的两滑块和，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动，、不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中() A.轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下 B.拉力和重力对做功之和大于动能的变化量 C.拉力和摩擦力对做功之和等于机械能的变化量 D.两滑块组成系统减少的机械能大于克服摩擦力做的功 【答案】BC 【解析】A.根据题意可知，两段轻绳的夹角为，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形定则可知，合力方向与轻绳方向的夹角为，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的，故A错误； B.对受力分析，受到重力、斜面的支持力、轻绳的拉力以及滑动摩擦力作用，根据动能定理可知，动能的变化量等于拉力、重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力做负功，则拉力和重力对做功之和大于动能的变化量，故B正确； C.由除重力和弹力之外的力对物体做的功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对做的功之和等于机械能的变化量，故C正确； D.对两滑块组成系统分析可知，除了重力和系统内弹力之外只有摩擦力对做功，所以两滑块组成的系统的机械能损失等于克服摩擦力做的功，故D错误。故选BC。 三：拔高练 13.(2025·重庆市市辖区·模拟题)（多选）如图所示，电动机带动的传送带与水平方向夹角，与两皮带轮、相切与、两点，从到长度为。传送带以的速率顺时针转动。两皮带轮的半径都为。长度为水平直轨道和传送带皮带轮最高点平滑无缝连接。现有一体积可忽略，质量为小物块在传送带下端无初速度释放。若小物块与传送带之间的动摩擦因数为，与水平直轨道之间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则() A.小物块从运动到的时间为 B.小物块运动到皮带轮最高点时，一定受到皮带轮的支持力作用 C.将小物块由点送到点电动机多消耗的电能为 D.若小物块刚好停在中点，则 【答案】ABC 【解析】A.根据题意可知，小物块在传送带下端无初速度释放后，小物块受到的滑动摩擦力沿传送带向上，做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，代入数据解得，假设小物块能与传送带达到相同速度，则小物块匀加速直线上滑的位移为，所以假设成立，则小物块匀加速运动的时间为，速度相同后，又因为，所以小物块和传送带一起做匀速直线运动，则小物块匀速运动的时间为，则小物块从运动到所用的时间为，代入数据解得，故A正确； B.小物块运动到皮带轮最高点时所需的向心力，代入数据解得，则小物块运动到皮带轮最高点时，一定受到皮带轮的支持力作用，故B正确； C.小物块与传送带的相对位移为，代入数据解得，，小物块与传送带摩擦产生的热量为，代入数据解得，、的高度，代入数据解得，小物块从点运动到点，根据能量守恒可得电动机比空载时额外消耗的电能为，代入数据解得，故C正确； D.若小物块刚好停在中点，由动能定理，代入数据解得，故D错误。 故选：。 14.(2025·重庆市·模拟题)如图是某弹射游戏装置示意图：通过拉杆将弹射器的轻弹簧压缩到最短后释放，将一质量为的小滑块从点水平弹出，滑行距离后经过点无碰撞地进入细口径管道式轨道，最后从点水平飞出，并落在水平台上竖直挡板右侧。整个装置处在同一竖直面内，管道部分为长度可伸缩的软管，部分为半径为、可上下调节的圆弧轨道，其圆心始终在点正下方。滑块与间动摩擦因数为，其余均光滑。以点正下方平台上点为原点、水平向右为正方向建立轴。已知挡板高度为，管道口径略大于滑块，不计空气阻力、滑块大小和挡板厚度，重力加速度为。当点距平台的高度时，滑块恰好能到达点。 求弹簧被压缩到最短时的弹性势能 当点距平台高时，求滑块经过点时轨道对滑块的作用力 要使滑块恰好能落在挡板右侧，求挡板的坐标与之间的函数关系 若将挡板高度调为并竖直固定在处，调整点高度，求滑块落在挡板右侧时的坐标范围。 【答案】解：当时，滑块从点到点过程中，由能量守恒定律可得：， 解得弹簧被压缩到最短时的弹性势能：。 当时，设滑块到达点时的速度大小为，此时轨道对滑块的作用力为， 由能量守恒定律有：，解得：， 以竖直向下为正方向，由牛顿第二定律有：， 联立解得：，方向竖直向下． 设滑块从点平抛时的速度大小为，则有：， 若平抛恰好经过挡板上端，则在水平方向有：， 在竖直方向有：， 联立解得：． 由可知，滑块恰好通过挡板上端时，满足：， 解得：，， 由分析知，要使滑块能落在挡板右侧，需要满足：， 设滑块从点平抛时的速度大小为，落地时的位置坐标为，则从点到点有：，从点到落地有：，， 联立解得：， 当时，取最大值，此时滑块落地的坐标位置最远，即：， 当时，滑块落地时的位置坐标：， 当时，滑块落地时的位置坐标：， 因此，滑块落在挡板右侧的坐标范围为：。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $