2026年寒假结业测试卷02-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

2026年寒假结业测试卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册 第6章~第7章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·期末）若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 2．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二下·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 5．（5分）（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 6．（5分）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 8．（5分）（24-25高二上·北京·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·吉林长春·期末）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 10．（6分）（24-25高二下·贵州·期中）某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是（   ） A．若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B．若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C．若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D．若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法 11．（6分）（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 13．（5分）（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 14．（5分）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 16．（15分）（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 17．（15分）（24-25高二上·海南海口·月考）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 18．（17分）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）从、、等人中选出人排成一排. (1)必须在内，有多少种排法？ (2)、、都在内，且在前，在后，有多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 19．（17分）（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册 第6章~第7章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·期末）若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 【答案】C 【解题思路】先由得或，由题意符合题意，再结合组合数的计算可得. 【解答过程】因为，所以或 ，解得或， 因为，所以，可得， 所以 . 故选：C. 2．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【解答过程】 由题意，. 故选：D. 3．（5分）（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据向量平行得出，，再计算模长即可. 【解答过程】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 4．（5分）（24-25高二下·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 【答案】B 【解题思路】按照分步、分类计数原理计算可得. 【解答过程】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 故选：B. 5．（5分）（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 【答案】D 【解题思路】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案. 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为1、1、3的三组，有种分组方法， 若分为1，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【解答过程】设，即， ，此方程组无解， ，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 7．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【解答过程】 ， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·北京·月考）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【解答过程】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·吉林长春·期末）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据二项式系数的增减性判断A，根据组合数运算及性质计算判断B，C，D. 【解答过程】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第100行中共有101个数，从左到右看第51个数最大，A错误； 对于B选项，第100行的所有数的和为，B正确； 对于C选项，由组合数的性质可得，C正确； 对于D选项， ，D正确． 故选：BCD． 10．（6分）（24-25高二下·贵州·期中）某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是（   ） A．若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B．若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C．若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D．若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法 【答案】AB 【解题思路】利用倍缩法计算A，利用插空法判断B，利用捆绑法判断C，分丙排尾与丙不在排尾两种情况讨论，即可判断D. 【解答过程】对于A：若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列， 将6位专家全排列，其中专家甲、乙、丙三人的顺序固定，则用倍缩法，所以有种排法，故A正确； 对于B：若专家甲、乙两人不相邻，先将其余四人全排列，再将甲、乙两人插空， 所以有种排法，故B正确； 对于C：若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，先将甲、乙、丙三人作为一组与其余三人全排列，组内再排乙、丙， 所以有种排法，故C错误； 对于D：若丙排尾，则有种排法，若丙不在排尾，则有种排法， 综上可得若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有种排法，故D错误. 故选：AB. 11．（6分）（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABD，根据向量法求距离公式即可判断C. 【解答过程】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【解题思路】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【解答过程】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【解答过程】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1. 14．（5分）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 【答案】114 【解题思路】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【解答过程】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【解题思路】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【解答过程】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 16．（15分）（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【解答过程】（1）二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． （2）， 令，解得； 令，整理得， 故． （3）的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 17．（15分）（24-25高二上·海南海口·月考）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） ， ，，， . 18．（17分）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）从、、等人中选出人排成一排. (1)必须在内，有多少种排法？ (2)、、都在内，且在前，在后，有多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先在剩余人中选出，再将这人与进行全排列； （2）先在剩余人中选出，再根据部分定序问题排列方式进行排列； （3）根据特殊元素与特殊位置分情况讨论. 【解答过程】（1）先从余下的人中选人共有种不同结果， 再将这人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法； （2）因，，都在内，所以只需从余下人中选人有种不同结果， ，，相对顺序确定，共有种不同排法； （3）分四类：第一类：所选的人无、，共有种排法； 第二类：所选的人有、无，共有种排法； 第三类：所选的人无、有，共有种排法； 第四类：所选的人有、，若排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 19．（17分）（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【解答过程】（1）由于平面平面，平面平面 ， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $