2026年寒假结业测试卷01-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

2026年寒假结业测试卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册 第6章~第7章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·福建福州·期末）计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 2．（5分）（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 4．（5分）（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．（5分）（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 6．（5分）（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·云南曲靖·月考）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 8．（5分）（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 10．（6分）（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·甘肃天水·期中）如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·江苏南通·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 13．（5分）（24-25高二下·江苏·月考）如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 14．（5分）（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大，则展开式中的系数为 （用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·山东菏泽·月考）求值： (1) (2) (3)解方程：． 16．（15分）（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 17．（15分）（24-25高二下·江苏扬州·期中）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)4名男学生互不相邻； (2)2名老师之间恰有1名男学生和1名女学生． 18．（17分）（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 19．（17分）（24-25高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册 第6章~第7章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·福建福州·期末）计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 【答案】B 【解题思路】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【解答过程】. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【解答过程】， 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【解答过程】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【解答过程】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 5．（5分）（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】D 【解题思路】根据分步乘法原理计算求解. 【解答过程】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基底的定义，任意两个向量不共线，三个向量不共面，即可判断. 【解答过程】向量， 得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，故A错误； 同理，得与是共面向量， 不能构成空间的一个基底，故B错误； 又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，故C正确； 由题意得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二下·云南曲靖·月考）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 【答案】B 【解题思路】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案. 【解答过程】若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 故不同的演出顺序的种数为. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点O，连接，可得平面，建立如图所示的直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【解答过程】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【解题思路】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【解答过程】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】利用赋值法，令得，即可判断选项A；由展开式的通项公式，令求得的值，即可判断选项B；令得，即可判断选项C；令得，两式相减即可判断选项D. 【解答过程】∵，∴令得，故选项A正确； 由展开式的通项公式， 令得，所以，故选项B不正确； 令得，故选项C正确； 令得，两式相减得，故，故选项D不正确. 故选：AC. 11．（6分）（24-25高二下·甘肃天水·期中）如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解题思路】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【解答过程】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，易知， 结合C选项可得点到平面的距离为，故D错误. 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·江苏南通·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 【答案】4 【解题思路】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解. 【解答过程】 故, 故答案为：4.    13．（5分）（24-25高二下·江苏·月考）如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】6 【解题思路】先涂点，再涂点、，此时分颜色相同和颜色不同两种情况，即可得出四点的涂色情况，再利用分步乘法计数原理即可. 【解答过程】先给点涂色，因为有红、黄、蓝3种颜色可供选择，所以点有3种涂色方法； 再给点、涂色，若颜色相同，则需与点不同，有种，则点、只有1种； 若颜色不同，则点、无法保证同一条棱的两个顶点不同色， 则共有种 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大，则展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】560 【解题思路】先求出二项展开式的通项，再求出第三项的二项式系数和第二项的系数即可求出，再利用通项即可求出展开式中的系数. 【解答过程】二项展开式的通项为， 则第二项的系数为，第三项的二项式系数为， 因第三项的二项式系数比第二项的系数大， 则，即，得或（舍） 令，得， 则展开式中的系数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·山东菏泽·月考）求值： (1) (2) (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据排列数、组合数的计算公式求解. （2）根据组合数的性质求解. （3）根据排列数、组合数的计算公式求解. 【解答过程】（1） . （2） . （3）由，得， 即， 即， 而由，知，解得， 所以原方程的解为. 16．（15分）（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 17．（15分）（24-25高二下·江苏扬州·期中）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)4名男学生互不相邻； (2)2名老师之间恰有1名男学生和1名女学生． 【答案】(1)2880 (2)3840 【解题思路】（1）利用插空法，先排老师和女学生，最后排剩余的4名男学生即可. （2）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）先排老师和女学生共有种站法， 再将男生插入到五个空中，有种， 所以共有种不同的站法． （2）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 18．（17分）（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【解答过程】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 19．（17分）（24-25高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $